Основные уравнения, граничные и начальные условия

Д.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ [c.194]

Основную систему уравнений, граничные и начальные условия при помощи соотношений [c.119]

В прямых решениях задач об упругих телах ищутся тензоры напряжений, деформаций и вектор перемещения, вызываемые действующими на них внешними силами. Для этого следует проинтегрировать дифференциальные уравнения Ляме (5.4), если за основные неизвестные приняты перемещения Uk, и дифференциальные уравнения (5.26) и соотношения Бельтрами — Митчелла (5.33), (5.34), если за основные неизвестные приняты компоненты тензора напряжений при заданных граничных и начальных условиях. В первом случае говорят, что задача решается в перемещениях, во втором — в напряжениях. [c.89]

Не останавливаясь здесь на основных положениях теории подобия, предложим читателю монографию [28]. Заметим только, что для соблюдения подобия явлений необходимо равенство соответствующих безразмерных комплексов (критериев подобия), входящих в уравнения, а также соответствие граничных и начальных условий. С некоторыми критериями уже познакомились при выводе уравнений пограничного слоя. [c.37]

Полученную систему уравнений при решении конкретных задач необходимо интегрировать с учетом конкретных граничных и начальных условий. Система уравнений Эйлера представляет собой систему квазилинейных уравнений первого порядка. В случае На, = О получим основную систему уравнений классической газодинамики. В курсе газовой динамики показано, что эта система гиперболического типа. Поскольку при решении уравнений Эйлера с соответствующими начальными и граничными условиями мы получаем с определенной степенью точности информацию о реальных течениях сжимаемых газовых сред, уместно ввести понятие о математической модели реального явления. [c.135]

Из определения следует связь между соответствующей системой уравнений (с граничными и начальными условиями) и реальным явлением и неединственность подобных систем. В частности, в рамках модели Эйлера ввиду способа получения основной системы уравнений принципиально невозможно учесть такие явления, как диффузия и молекулярная теплопроводность. [c.135]

Анализ результатов численного интегрирования показывает что для замороженных течений коэффициент теплоотдачи а, который определяется при известных тепловом потоке ди, и температуре поверхности из закона Ньютона, слабо изменяется с течением времени. Так, пользуясь значениями теплового потока соответствующими точками кривой 1 на рис. 7.8.9, можно найти а = 1865 Дж/(м -с- К) для / = о с и а = 1809 Дж/(м -с-К) для t = 0,8843 с. В связи с этим решение основной системы уравнений с соответствующими граничными и начальными условиями можно разбить на два этапа (см. 5.6, где описан так называемый раздельный способ решения задач теплообмена). [c.421]

Наибольшие возможности и точность обеспечиваются электрическими (и электронными) моделями, позволяющими решать линейные, плоские и трехмерные статические и динамические задачи. Если написана система уравнений для этих задач, то может быть построена соответствующая модель [13], [15]. Электрическая модель выполняется со сплошным полем, воспроизводящем дифференциальные зависимости, или в виде сетки с расположенными между узлами сосредоточенными элементами (сопротивления, емкости, индуктивности), на которой воспроизводятся зависимости, записанные уравнениями в конечных разностях. Основной частью работы на модели является удовлетворение заданных граничных и начальных условий. [c.600]

Итак, приведенная выше система дифференциальных уравнений интегрируется численно при заданных граничных и начальных условиях от сечения перехода снарядного режима течения в дисперсно-кольцевой (х 0,01), причем обычно допускается, что в пленке в начальном сечении движется приблизительно 1 % от общего расхода жидкости. Интегрирование продолжается до сечения, где расход в пленке становится равным нулю, что и является основной характеристикой кризиса кипения. [c.125]

Автомодельные решения представляют, конечно, лишь некоторые простейшие частные решения поставленной общей задачи, но вместе с тем в большинстве случаев оказываются полезными, так как позволяют судить об основных сторонах рассматриваемого явления. Стоит отметить — в дальнейшем это будет подтверждено многочисленными примерами,— что возможность существования автомодельных решений обусловливается отсутствием в постановке задачи (уравнениях и граничных и начальных условиях) некоторых характерных масштабов времени, длины, массы или др., т. е. некоторой ограниченностью самой постановки задачи, отказом от общности постановки. Так, например, в предыдущей задаче о центрированных волнах разрежения за движущимся поршнем не могло быть речи о произвольном заданном наперед законе движения поршня, а, наоборот, по ходу решения задачи был определен тот частный закон движения поршня, при котором возможно существование центрированных волн. [c.153]

Таким образом, в теории подобия поставленный основной вопрос распадается на ряд других. Первым из них является вопрос о научном описании наблюдаемых явлений— о построении научной картины их протекания. Такая картина должна быть математически выражена системой дифференциальных уравнений и системой граничных и начальных условий. Для того, чтобы математическое описание явлений было правильным, необходимо, чтобы правильной была математическая постановка за- [c.11]

Мы можем теперь сформулировать основную задачу гидродинамики в следующем виде найти в конечном виде общие выражения для гидродинамического давления р и проекций скорости и, V, ы) в функции координат х, у, г ш времени i, удовлетворяющие четырем дифференциальным уравнениям в частных производных (22) и (23). Искомые функции и, у, ау и р, кроме того, должны удовлетворять граничным и начальным условиям. Граничные условия, как показывает само название, дают нам значения проекций скоростей и гидродинамического давления на границах рассматриваемого течения жидкости. Решение конкретной гидродинамической задачи должно быть таким, чтобы граничные условия, определяемые физической сущностью задачи, удовлетворялись в любой момент времени. Начальные условия определяют значение искомых функций и, V, ау для некоторого заданного момента времени i = to во всех точках простран- [c.264]

Итак, во всех случаях нестационарного одномерного течения дело сводится к интегрированию уравнения (14.3). Это уравнение есть основное уравнение теории теплопроводности известно рещение большого числа частных задач, связанных с этим уравнением, что даёт возможность определить большое число соответствующих течений вязкой жидкости. Конечно, при решении уравнения (14.3) необходимо также учитывать соответствующие граничные и начальные условия последние сводятся к заданию функции v для начального момента времени i —0. Если и граничные и начальные условия не зависят от координаты у, то и решение v уравнения (14.3) не будет зависеть от у, а тогда функция v z, t) будет удовлетворять уравнению теплопроводности для линейного случая [c.438]

Вернемся теперь к вопросу о единственности решения наших основных задач. Пусть какая-либо из них допускает два решения с одинаковыми граничными и начальными условиями и одинаковыми объемными силами. Составим разность этих двух решений (ср. 20). Полученное новое решение и, V, V)) будет удовлетворять тем же уравнениям, что и два данных, но при отсутствии объемных сил кроме того, в случае первой задачи будем иметь [c.84]

Физический процесс полностью описывается системой основных уравнений и присоединенных к ним граничных и начальных условий в том случае, когда эта система является замкнутой. Тогда принципиально возможно получить решение относительно любой из неизвестных величин, т. е. выразить решение рассматриваемой системы уравнений в виде функции [c.18]

В макроскопической теории исходным моментом является задание уравнений состояния, включая восприимчивости, внешних полей, граничных и начальных условий, выраженных через значения (локальные) термодинамических параметров, а основной математической проблемой является решение соответствующей краевой задачи математической физики для системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных. [c.235]

Приведенную систему основных уравнений (с соответствующими граничными и начальными условиями) можно использовать для исследования общих закономерностей распространения плоских нестационарных волн и эволюции импульсных воздействий конечной длительности в подобных средах. Решение этой многопараметрической задачи зависит от следующих безразмерных чисел и комбинаций [c.101]

К основному дифференциальному уравнению добавляются граничные и начальные it t условия, которые диктуются, с одной стороны, способом опирания балки, а с другой [c.77]

Для получения конкретных решений при интегрировании системы уравнений (22) должны быть использованы граничные, а в случае нестационарного движения и начальные условия. Вспомним, что в идеальной жидкости основное граничное условие на омываемой жидкостью твердой поверхности заключалось в непроницаемости поверхности и в связи с этим в совпадении нормальных к поверхности составляющих скоростей частиц жидкости и точек самой поверхности. В случае вязкой жидкости это граничное условие заменяется условием прилипания частиц жидкости к твердой стенке. Это означает отсутствие как нормальной к твердой поверхности относительной скорости между частицами жидкости и близлежащими точками поверхности, так и касательных составляющих относительной скорости, т. е. отсутствие скорости скольжения жидкости по поверхности. [c.364]

Относительно динамических уравнений можно поставить задачи, совершенно аналогичные тем основным задачам, которые были сформулированы выше ( 20) для статического случая. Существенным различием является то, что к граничным условиям присоединяются еще и начальные условия , т. е. задание смещений и скоростей точек тела в определенный начальный момент времени tQ. ]Математически эти задачи формулируются так [c.81]

Далее с привлечением предположения о несжимаемости получены относительно простые аналитические зависимости для вычисления главных напряжений в слоях двухслойной трубы, нагруженной импульсным нормальным давлением экспоненциальной формы по внутренней поверхности. Для синусоидальной формы импульса нагружения подобная задача решена в работе [11. Там же записаны основные уравнения и условие несжимаемости. Начальные условия задачи нулевые, граничные — имеют вид [c.253]

Теория подобия и моделирования рассматривается как база научной постановки опытов и обобщения экспериментальных данных. Из анализа дифференциальных уравнений, характеризующих общие функциональные связи между основными факторами, и условий однозначности, включающих характеристики геометрии, физических свойств и краевые условия (начальные и граничные), получаем предпосылки к экспериментально-теоретическому изучению процессов. В решении поставленных задач приходится встречаться с различными по сложности явлениями. В некоторых случаях теоретическое решение задач позволяет получить общие качественные связи параметров, например в определении коэффициента трения при решении контактно-гидродинамической задачи. При анализе же весьма сложного процесса изнашивания твердых тел или твердосмазочных покрытий в настоящее время не удается получить достаточно общих математических описаний явлений. В связи с этим различается подход к проблеме трения и износа тел, работающих в масляной среде и всухую (с твердо-смазывающими покрытиями или из самосмазывающихся материалов). Теория подобия базируется на следующих основных теоремах [c.160]

Смысл получения критериальных уравнений, связывающих определяемые критерии с определяющими, состоит в том, что число новых безразмерных переменных и постоянных величин, входящих в основные уравнения, а также в начальные и граничные условия, оказывается меньше числа размерных величин, существенных для исследуемого процесса. А. А. Гухман подчеркивает, что для процесса важно не влияние отдельных факторов, а взаимодействие между ними, их относительное влияние. Теория подобия позволяет рассматривать сразу совокупное в целом влияние факторов на процесс. Интенсивность эффектов определяют соотношения операторов, входящих в дифференциальные уравнения. Например, р(Оц/Ут) отражает инерционную силу, а оператор — силу [c.233]

Для получения решения конкретной задачи необходимо помимо уравнения основного процесса (в данном случае уравнения теплопроводности), ввести еще так называемые условия однозначности. Эти условия включают геометрические данные об исследуемом объекте физические свойства среды вместе с зависимостями их от параметров изучаемого процесса начальные условия, характеризующие состояние объекта в начальный момент времени и наконец граничные условия, описывающие характер теплообмена на границах исследуемой области. [c.11]

Отличительная черта нового направления в теории подобия (разрабатываемого А. А. Гухманом) заключается в том, что она последовательно развивается как учение о методах построения характерных переменных. В основе такого понимания теории подобия лежит идея, что любой процесс должен рассматриваться в специфических для него переменных. Эти переменные объединяют в себе величины, играющие роль параметров исследуемой задачи (т. е. заданные по условию величины, определяющие размеры системы, ее физические свойства, длительности циклов, начальные и граничные значения переменных), и, следовательно, представляют собой параметры комплексного типа. Множественность факторов, влияющих на процесс, в сильнейшей степени осложняет его исследование, так как представляющие их величины (геометрические, физические и режимные параметры) должны входить в качестве аргументов в уравнения, определяющие искомые величины в функции независимых переменных. Возможность объединения всего множества этих величин в параметры комплексного типа обусловлена тем, что влияние их на развитие процесса проявляется не разрозненно, а в виде эффектов сложной физической природы, являющихся результатом взаимодействия определенных совокупностей различных факторов. Реальный ход процесса определяется относительной интенсивностью этих эффектов. Поэтому целесообразно исследовать процесс в переменных, представляющих собой количественную меру отношения интенсивностей эффектов и построенных в виде комплексов величин, существенных для процесса. Законы построения комплексов определяются непосредственно из рассмотрения основных уравнений задачи, в структуре которых отражен физический механизм процесса. [c.17]

При количественном анализе диссипации энергии в общем случае необратимых процессов требуется совместное решение уравнений термомеханики сплошной среды при заданных начальных и граничных условиях. Такая система уравнений обсуждается, например, в [72, 87]. Получение замкнутых решений связанных задач термомеханики даже в наиболее простых случаях (например, для одномерных процессов) связано со значительными трудностями. Численный анализ термомеханических процессов осуществляют обычно на основе пространственно-временной дискретизации основных уравнений. При этом дискретизацию по пространственным координатам проводят с помощью конечных элементов, а по времени - с помощью конечных разностей. Основы конечно-элементного подхода к расчету термомеханического поведения твердых деформируемых тел изложены, например, в [72], Подробный анализ диссипативных процессов применительно к пластическому деформированию твердых тел дан в [87, т.П]. [c.195]

Условия (15.9) отражают тот факт, что начальные условия (15.7) не играют главной роли в семействе вариационных принципов Гамильтона. Можно сказать, что основное значение имеет вывод уравнений движения и граничных условий в момент t, начальные условии имеют второстепенное значение. [c.373]

Отметим еще раз, что полученное рещение (4.133) является приближенным решением нестационарной задачи, которое точно удовлетворяет граничным условиям и интегрально основному уравнению (4.97). Условию нормировки это решение удовлетворяет в том случае, если начальное распределение Wo(Ai) тоже удовлетворяет этому условию [c.182]

В заключение отметим, что сделанные выводы о характере формообразования тающей сосульки остаются справедливыми только в рамках решения основного уравнения задачи (6.12), которое получено при вполне определенных начальных условиях. Принятие иных начальных и граничных условий приведет к получению других качественных результатов. [c.20]

Первая основная внутренняя [внешняя ] задача динамики (1)" [(I) 1 найти регулярное решение уравнений динамики (12.3) или (11.4) по граничному условию (14.1) и по начальным условиям (14.2). [c.56]

Основная сложность метода анализа размерностей заключается в том, что нужно знать все параметры, влияющие на искомую величину. Для совершенно неисследованных процессов эти параметры находят, проводя предварительные эксперименты. Если же процесс уже описан математически, хотя бы на уровне дифференциальных уравнений, то в эти уравнения, в граничные и начальные условия к ним, очевидно, входят все влияющие на процесс параметры. Приводя к безразмерному виду математическое описание процесса, получают те же самые безразмерные числа. Этим занима- [c.83]

Уравнение (8.17) вместе с граничными и начальными условиями является основным уравнением пятиконстант-яой теории упругости. Это уравнение нелинейно. Формальными причинами нелинейности являются упомянутая ранее геометрическая нелинейность и нелинейность обобщенного закона Гука (8.16). Последнюю обычно называют физич еской нелинейностью, ибо она связана с нелинейной упругостью конкретного твердого тела. Физическая нелинейность во втором приближении определяется упругими модулями третьего порядка (8.12), Пятиконстантная теория упругости является по существу нелинейной теорией с зачетом величин второго порядка малости. Поэтому естественно вдесь воспользоваться методом малого параметра вектор смещения можно представить в виде [c.298]

Для решения большинства своих задач гидроаэро- и газодинамика применяют строгие математические приемы интегрирования основных дифференциальных уравнений при установленной системе граничных и начальных условий или другие эквивалентные им математические методы (например, конформное отображение в задачах плоского движения идеальной жидкости). Для получения суммарных характеристик используются такие общие теоремы механики, как теорема количества и моментов количеств движения, энергии и др. Однако большая сложность и недостаточная изученность многих явлений вынуждают механику жидкости и газа не довольствоваться применением строгих методов теоретической механики и математической физики, столь характерных, например, для развития механики твердого тела, но и широко пользоваться услугами всевозможных эмпирических приемов и так называемых нолуэмпирических теорий, в построении которых большую роль играют отдельные опытные факты. Такие отклонения от чисто дедуктивных методов классической рациональной механики естественны для столь бурно развивающейся науки, как современная механика жидкости и газа. [c.15]

Принято следующее построение книги. После кратких сведений об основных уравнениях динамики вязкой жидкости, граничных и начальных условиях (гл. 1) рассмотрены способы определения телового потока на стенке, коэффициента теплоотдачи и гидравлического сопротивления (гл. 2). Затем приведены необходимые для последующего анализа данные об изменении физических свойств жидкости и газа в зави-мости от температуры и давления (гл. 3). Рассмотрение общих вопросов заканчивается анализом течения и теплообмена в трубах методом подобия, и на этой основе дается классификация возможных случаев течения и теплообмена (гл. 4). [c.3]

В дополнении даны основные уравнения динамической теории упругости, кото]рые использованы в основном тексте монографии. Приведены уравнения движения в перемещениях, сформулированы граничные и начальные условия. Представлено решение в виде скалярного и векторного потенциала. О юрмулирован1 вариационные принципы динамической теории упругости и теорема взаимностн, а также приведена формула Сомилианы. Рассмотрены гармонические колебания [c.7]

Граничные и начальные условия выведены из основных уравнений теории Тимошенко с учетом условий симметрии для изгиба и угла сдвига. Параметр s для реальных материалов изменяется от 3 до 4. Пренебрежение деформацией сдвига соответствует бесконечной жесткости на сдвиг, и в этом случае s=0. Получены точные решения в явной форме для прогиба И изгибающего момента на основе преобразования Лапласа по i, л и обращения по формулам Римана— Меллина. Сначала решения строятся на основе представления нагрузки в классе гладких функций, аппроксимирующих б-функцию. Затем предельным переходом получаются решения, соответствующие б-функциям. Показано, что решение задачи с самого начала для нагрузок в классе б-функций приводит к таким же результатам. Для s = 3 проведены численные расчеты в нескольких сечениях. Из расчетов следует, что первой приходит более быстрая изгибная волна со скоростью Е/ р, а затем приходит сдвиговая волна со скоростью / kGIp. [c.60]

В случае динамики упругого тела, как и в случае статики, для уравнений (5.4) также ставятся три основные задачи. В отличие от основных граничных задач статики упругого тела, в случае ди- амической нагрузки к граничным условиям следует присоединить еще и начальные условия, состоящие в задании проекции вектора перемещения Uk° и проекции вектора скорости Vk° точки тела в некоторый момент времени to, с которого начинается изучение задачи, т. е. [c.86]

В настоящей главе приведены основные уравнения газовой динамики с учетом физико-химических превращений. Даны уравнения газовой динамики в дифференциальной и интегральной формах, а также их запись в дивергентном виде. Выписаны уравнения газовой динамики, в которых в качестве независимых переменных использованы функции тока. Представлены соотношени5г на поверхностях разрывов. Обсуждены наиболее характерные начальные и граничные условия. Выведены соотношения на характеристиках уравнений газовой динамики. Представлены некоторые фундаментальные аналитические решения основных задач газовой динамики обтекания тел, течения в соплах и струях, задача о распаде произвольного разрыва, задача о взрыве. [c.31]

При выводе уравнения (XIV.50) использованы дифференциальные уравнения движения, уравнение неразрывности, связи между скоростями деформаций и скоростями перемещений, начальные условия, кинематические и динамические граничные условия, включая условия трения, а также уравнения состояния. Методами вариационного исчисления можно показать, что из уравнения (XIV.50) следует краевая задача теории пластичности. Действительно, осуществим варьирование в уравнении (XIV.50), учитывая все ограничения, накладываемые на вариации, и приведем его к независимым вариациям. После этого на основании основной леммы вариационного исчисления можно получить все уравнения и условия, перечисленные выше. Таким образом, решение краевой задачи в дифференциальной форме эквивалентно исследованию на стационарное состояние функционала I, заклю ченногов фигурные скобки в (XIV.50). [c.315]

Решение каждой конкретной диффузионной задачи сводится к нахождению решения второго уравнения < ка, удовлетворяющего начальныл и граничным условиям рассматриваемой задачи. Все многочисленные способы и приемы получения диффузионных слоев математически сводятся в основном только к изменению граничных условий. [c.94]

Основные обыкьювенные дифференциальные уравнения (3) и (4) чОыли записаны ц конечно-разностном виде и решены численно при соответствующих начальных и граничных условиях. В настоящей работе начальные значения зависимых переменных определены соотношением [c.203]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...