Лагранжев идеал

Наряду с изложенным методом большое практическое значение при составлении уравнений относительного движения имеет также метод уравнений Лагранжа, идея применения которых в динамике относительного движения совершенно естественна. Поскольку движение относительной системы по отношению к абсолютной задано, абсолютные координаты (декартовы или обобщенные) движущейся системы точек могут быть выражены как функции от относительных координат и времени. Принимая последние за независимые обобщенные координаты системы, составим уравнения Лагранжа реп. ая их, найдем относительные координаты как функции от времени, т. е. уравнения относительного движения. [c.424]

И действительно, его Аналитическая механика сыграла роль сочинения, открывшего новый этап в развитии механики. Основная для Лагранжа идея построения механики как систематического и гармоничного здания, возводимого на фундаменте единой общей предпосылки, пронизывает Аналитическую механику . И это стремление к систематичности и изяществу выражений, к математической законченности построения нашло восторженную оценку у другого великого мастера математического анализа проблем механики — Гамильтона. Во введении к своей работе Общий метод динамики Гамильтон говорит Лагранж, может быть, сделал больше, чем все другие аналитики, для того, чтобы придать широту и гармонию таким дедуктивным исследованиям, показав, что самые разнообразные следствия относительно движения системы тел могут быть выведены из одной основной формулы красота метода настолько соответствует достоинству результата, что эта великая работа превращается в своего рода математическую поэму ). [c.795]

Составляющие функций Лагранжа (П.32) и (П.ЗЗ), куда входят множители gi, в совокупности оказывают влияние на значение Q только при нарушении ограничений. В противном случае сумма этих составляющих равна нулю и значения Q и Но совпадают. Поэтому указанной сумме составляющих придается смысл штрафа за нарушение ограничений, а множители g, трактуются как коэффициенты стоимости, определяющие величину штрафа. Исходя из этой аналогии, развит метод штрафных функций, идея которого принадлежит Куранту [76]. [c.252]

Замечание 4.6.2. Метод неопределенных множителей Лагранжа есть математическая формулировка принципа освобождения от идеа.тьных связей (определение 3.8.1). В такой форме этот принцип механики можно успешно использовать в произвольных задачах на условный экстремум. В частности, пусть требуется найти экстремум скалярной функции (функционала, см. 8.11) F(x), х Л (или X ( 2)", если F(x ) — функционал) при выполнении ограничений [c.340]

Из сказанного выше видно, что основная идея С. А. Чаплыгина получения уравнений движения неголономных систем заключается в отказе от метода множителей Лагранжа и применении непосредственного исключения зависимых обобщенных скоростей. Ограничения, наложенные С. А. Чаплыгиным на уравнения связей, кинетическую и потенциальную энергии, легко устранимы. Это, собственно, и было выполнено П. Аппелем, а затем Больцманом и Гамелем. [c.164]

Лагранжу принадлежит замечательная идея ввести для вариации специальный символ б, чтобы подчеркнуть ее виртуальный характер. Сходство с обозначением дифференциала d напоминает, что оба символа означают бесконечно малое изменение. Однако d относится к действительным, а б — к виртуальным изменениям. Так как в задачах, связанных с вариациями определенных интегралов, встречаются одновременно оба типа изменений, это различие в обозначениях оказывается весьма существенным. [c.61]

Из формул (2.5.7) и (2.5.9) видно, что все коэффициенты в сумме (2.5.6) обращаются в нуль, как если бы все вариации Ьи были свободными. В результате идея метода неопределенных множителей Лагранжа может быть сформулирована следующим образом вместо изучения условий обращения в нуль вариации можно рассматривать обращение в нуль выражения [c.67]

Идея о нахождении фундаментальной функции, из которой при помощи дифференцирования и конечных преобразований без всякого интегрирования могли бы быть получены все решения уравнений движения, принадлежит Гамильтону. Он первый доказал существование такой функции в геометрической оптике, назвав ее там характеристической функцией эта функция оказалась необычайно полезной в целом ряде задач. Позднее, в своих исследованиях по динамике, Гамильтон снова столкнулся с той же самой функцией, назвав ее на этот раз главной функцией . Ввиду общей вариационной основы у оптики и механики, эти две концепции эквивалентны и открытие Гамильтона относится по существу к вариационному исчислению, а специальная форма вариационного интеграла несущественна. (Этот интеграл определяет время в оптическом принципе Ферма и действие в механическом принципе Лагранжа.) [c.257]

Для того чтобы проследить, откуда берут свое начало тензорные методы в динамике, мы должны обратиться к идеям Лагранжа об общих свойствах динамических систем, а также к идеям Р и м а н а в области многомерной геометрии. Л а г р а н i был противником применения современных ему геометрических средств к динамике. В введении к его, Аналитической механике сказано , В этом сочинении нет чертежей. Методы, в нем излагаемые, не требуют ни геометрических построений, ни механических рассуждений они требуют лишь алгебраических операций, подчиненных правильному н однообразному ходу. Любители анализа с удовольствием увидят, что механика становится новой его отраслью, и будут признательны мне за такое расширение его области. [c.7]

Основная идея этих уравнений заключается в том, что движение системы исследуется в обобщенной системе координат, т. е. в независимых один от другого параметрах, изменение которых определяет движение системы. Число этих параметров равно числу степеней свободы системы и соответственно числу уравнений Лагранжа. [c.31]

Во многих задачах, например для выпуклых функционалов, использование этих двух положений позволяет проследить и за изменением экстремальных свойств функционалов (см. 3). В ряде задач без ограничений можно искусственно ввести дополнительные условия, чтобы затем внести их в функционал с множителями Лагранжа и производить дальнейшие преобразования. Эта идея оказалась очень плодотворной. Она позволяет получить множество различных формулировок одной и той же вариационной задачи с различными переменными и, в частности, осуществлять важное преобразование Фридрихса (см. 2.4). [c.34]

Основная идея решения контактных задач методом множителей Лагранжа состоит в том, чтобы к стандартному уравнению принципа возможных перемещений, примененному к двум неза висимым телам, которые входят в контакт, добавить потенциал контактных сил вида [69, 82, 92] [c.153]

Вдохновляемые идеями Лагранжа, различные авторы пытались вычислять коэффициенты устойчивости исходя из априорных соображений. Хотя для дирижаблей и подводных лодок удалось добиться некоторых успехов, эксперименты показали, что в действительности присоединенная масса при стационарном движении испытывает значительные изменения. Соответствующие вычисления коэффициентов устойчивости для самолетов гораздо труднее нужно учитывать циркуляцию и распределение вихрей большие сомнения вызывает использование условия Жуковского. Мы отсылаем читателя за подробностями к технической литературе ). [c.207]

Если вместо обобщенных скоростей ввести новые переменные, то система уравнений Лагранжа будет представлять собой систему уравнений, разрешенную относительно производных от этих новых переменных. Гамильтон обнаружил преобразования, которые делают функцию Лагранжа линейной относительно скоростей при одновременном удвоении числа переменных. Благодаря этому преобразованию задачи механики могут быть сведены к каноническим дифференциальным уравнениям. В основе преобразования Гамильтона лежит идея общих преобразований французского математика Лежандра (1752—1833). [c.446]

Идея метода Гамильтона — Якоби восходит к работам Пфаффа, Коши (и к более ранним исследованиям Лагранжа и Монжа) по теории характеристик. Его суть заключается в следующем преобразование независимых переменных p,q P,Q вида [c.10]

Принцип Даламбера-Лагранжа. Выше была описана логически ясная процедура, которая, вообще говоря, позволяет определить движение системы материальных точек при наличии линейных независимых связей и определить силы реакций идеальных связей. Однако эта процедура редко применяется, так как она не является наиболее простой ни для анализа, ни для вычислений. Для онределения движения системы материальных точек при идеальных связях более эффективным является другой аппарат, с которым мы познакомимся пиже. Основная идея других подходов состоит в следующем найти такие эквивалентные уравнения, которые описывают движение системы материальных точек, стесненных идеальными связями, с помощью минимально возможного числа переменных, или, иначе, найти движение системы, не определяя реакций связей. [c.124]

Идея переменных параметров упругости оказывается полезной и при применении вариационных принципов типа Лагранжа или Кастильяно (Л. М. Качанов). Вместо того чтобы отыскивать стационарные значения сложного неквадратичного функционала, рассматривается последовательность квадратичных потенциалов того же типа, что и для соответствующих задач теории упругости с переменным модулем. Каждый из функционалов [c.134]

По окончании курса, в возрасте 16 лет, Сен-Венан поступил в 1813 г. в знаменитую Политехническую школу. Созданная еще в 1794 г. специальным декретом Конвента, Политехническая школа была основана по идеям Монжа для подготовки гражданских и военных инженеров ее профессорами являлись Лагранж, Лаплас, Монж, Прони и др. [c.9]

З.З.5.2. Интерполяция Лагранжа. Может быть использовано много различных приемов интерполяции, упрощающих вычисления [115], но все они дают один и тот же интерполяционный многочлен для данного набора пар величин. Одним из простейших подходов является метод полиномов Лагранжа. Основная идея состоит в использовании вместо одного полинома п различных полиномов степени п, составленных так, что вычисление коэффициентов становится несложным. Для этого построим полиномы так, чтобы они были равны единице при определенном значении независимой переменной д и нулю при всех прочих [c.172]

Лагранжа двойственность 175 Лагранжа множители 175 Лагранжев (цилиндрический) кобордизм 116 Лагранжев идеал 207 Лагранжев край 115 Лагргшжева особенность 26 Лагранжева эквивалентность 25 Лагранжево включение 150 Лагргшжево двойственная функция 175 Лагранжево многообразие 22 [c.334]

Идея. -метода Уиттекера заключает в использовании интеграла 31иергии для замены аргумента / в -ураанениях Лагранжа (4.4) новым аргументом — какой-либо обобщённой коордивамй, например [c.104]

Принцип Эйлера — Лагранжа позволяет определять реакции связей. Действительно, если к заданным активным силам, действующим на механическую систему, добавим все реакции связей, то из принципа Эйлера — Лагранжа получим уравнения Ньютона для системы совершенно свободных точек. Однако практически более интересным является метод определения отдельных реакций. Идея этого метода заключается в том, что заданные активные силы дополняют одной интересующей нас реакцией, но зато систему понимают свободной от связи, порождающей одну и именно эту интересующую пас реакцию. Для освобожденной таким образом механической системы, имеющей на одну степень свободы больше, определяют дополнительную голоноыную координату q, изменение которой дает освобожденное перемещение в системе вычисляют новые Г, обобщенную силу Qq в освобожденном движении, подставляют значения переменных для действительного движения в уравнение Лагранжа [c.171]

Идея такого подхода связана с принципом виртуальных перемещений (т. е. возможных, допускаемых для данной системы) в механике, который был сформулирован И, Бернулли и применен к расчетам механических систем Лагранжем. Применение и обобщение дан 10го метода для исследования равновесия термодинамических систем было сделано Гиббсом, разработавщим общую теорию термодинамических потенциалов — основной метод современной термодинамики. [c.113]

Формулировка принципа. Ученые искали различные способы сведения уравнений движения к единому началу путем введения интегралов или функций, которые обращаются в минимум для действительного движения системы по сравнению с возможными 6an3KitMH движениями. Эта идея находит свое выражение прежде всего в принципе наименьшего действия (п. 486) затем следует более общий принцип Гамильтона (п. 483), из которого очень просто выводятся уравнения Лагранжа для голономных систем, но в случае систем не-голономных эти рассуждения и выводы становятся уже неверными. Мы займемся здесь принципом наименьшего принуждения Гаусса. Этот принцип, являясь наиболее общим, не вызывает к тому же никаких затруднений при его приложениях. Преимущество принципа состоит и в том, что он имеет простое аналитическое выражение, позволяющее свести нахождение уравнений движения произвольной системы, как голономной, так и неголономной, к нахождению минимума функции второй степени. [c.420]

Это унифицирующее свойство вариационного принципа понстине замечательно. Хотя современная физика существенно отошла в своем развитии от старого курса вследствие появления теории относительности и квантовой теории, тем не менее идея о получении основных уравнений природы из вариационных принцииов сохранилась. И уравнения теории относительности, и уравнения волновой механики получаются, подобно более старым уравнениям физики, из принципа наименьшего действия . Только функцию Лагранжа L определяют по-разному. [c.140]

Если даже дополнить рассуждения Лагранжа для случая, к которому они применяются и где наличие максимума устанавливается при помощи членов второго порядка, рассма и-ваемая теорема не может быть доказана в полном своем объеме. Известно, что существование максимума совместимо с исчезновением членов второго порядка вообще достаточно, чтобы первые члены, отличные от нуля, были четного порядка и чтобы сумма этих членов была всегда отрицательной. Формулы, относящиеся к этому последнему условию, до сих пор еще не были даны даже в том случае, когда речь идет о членах четвертого порядка. Поэтому сначала следовало бы найти эти формулы. Но это неизбежно ввело бы большое осложнение в доказате-льство теоремы механики, о которой сейчас идет речь. К счастью, положение об устойчивости равновесия можно доказать независимо от этих формул, пользуясь очеиь простым рассуждением, которое непосредственно связано с идеей максимума. [c.538]

К этому же периоду относится и создание знаменитой Мёсап1дие Analytique , перевод первого тома которой здесь дается. Исходя из основного принципа возможных скоростей, которому Лагранж дал новое доказательство, и пользуясь разработанными им же вариационными методами, Лагранж строит здесь впервые полную систему аналитической механики. В этом классическом труде сосредоточено такое количество фундаментальных идей и блестящих методов, до такой предельной ясности доведено изложение основных законов механики, что и до сих пор эта книга не потеряла своей свежести и может быть использована как классический трактат по аналитической механике. Здесь впервые появляется идея обобщенных координат лагранжев метод рассмотрения жидкости, как материальной системы, характеризуемой большой Подвижностью частиц, уничтожил различие между механикой жидкости и механикой твердого тела, так что общие принципы механики могли быть распространены на гидростатику и гидродинамику. Механика у Лагранжа стала общей наукой [c.584]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

Циклический вариант взаимосвязи симметрия — сохранение , заключающийся в том, что каждой обобщенной циклической координате отвечает некоторый.сохраняющийся обобщенный импульс, по существу говоря, был известен уже Лагранжу который и закон сохранения энергии связывал с цикличностью временной координаты В 70—80-х годах XIX в. эта идея Лагранжа была существенно развита и применена к анализу не только механических, но и физических систем в работах Рауса (1877 г.), Гельмгольца, В. Томсона и Тэта, Дж. Дж. Томсона и др. (1879—1888 гг.). Разработанная на основе метода циклических координат (называемых также игнорируемыми , отсутствующими , киностеническими , скоростными и т. д.) теория скрытых движений позволяла механически интерпретировать лагранжианы, имеющие значение в теории теплоты и электродинамике. Вместе с тем упомянутые исследователи не обращали достаточного внимания на, так сказать, нетеровский аспект метода циклических координат. Ведь циклический характер некоторой координаты означает, что движение системы, как целого, соответствующее этой координате, никак не сказывается на свойствах системы. А это эквивалентно инвариантности (или симметрии) системы (ее лагранжиана или гамильтониана) относительно преобразования, характеризующего циклическое движение. Таким образом, устанавливается непосредственная связь между симметриями типа однородности и изотропности пространства с законами сохранения типа импульса. Характер циклической координаты (трансляционный иди вращательный) [c.236]

Он сконструировал неголономные механизмы (один из них известен в литературе под названием кресла Аппеля), позволяющие реализовать некоторые нелинейные неголономные связи путем предельного перехода от однопараметрических линейных связей. Э. Делассю подробно исследовал свойства механического движения с учетом материального осуществления связей. 97 Из этих исследований вытекает, что в ряде случаев, например при реализации связей первого порядка, движение механической системы зависит от способа реализации связей. Для преодоления возникающих при этом принципиальных трудностей при построении аналитической механики Делассю предложил рассматривать идеальное движение, возникающее при линейной идеальной реализации связей. Оказывается, что для идеа.чьных движений механической системы с нелинейными неголономными связями первого порядка принцип Даламбера — Лагранжа теряет свою силу, а принципы Гаусса и Аппеля — Майера остаются правомерными. При этом идеальные движения совершенно не зависят от кинематического и динамического строения вспомогательного объекта, реализующего неголономные связи. [c.97]

Условия потенциальности движения. Основываясь на уравнениях Бернулли (18.3) и (18.4), легко показать, что уравнения движения жидкости значительно упрощаются, если предположить, что движение безвихревое. Обычно для обоснования этого предположения пользуются теоремой Коши — Лагранжа (п. 17), которая утверждает, что баротропное движение идеа. 1ЬНой жидкости является безвихревым, если каждая частица жидкости первоначально нахо- [c.60]

Вариационные принципы газовой динамики. В этом пункте мы рассмотрим некоторые экстремальные свойства установивщегося дозвукового течения. Изучение этих свойств объясняется, с одной стороны, желанием обобщить теорему Кельвина о минимуме кинетической энергии на случай течений сжимаемой жидкости, а с другой стороны,—необходимостью создания методов расчета таких течений. Заметим, что установленная в п. 15 теорема Херивела — Линя не является вариационным принципом в точном значении этого слова, однако идея Херивела о выборе в качестве функции Лагранжа при формулировке принципа Гамильтона величины 2 — Ё в дальнейшем будет служить нам ориентиром при выборе подинтегральной функции. [c.143]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Нам остается рассмотреть еще одно течение в качественно-аналитическом направлении работ московской группы, зародившееся в opo-ковых годах но инициативе Н. Д. Моисеева и основанное на классических идеях Ж. Л. Лагранжа и К. Гаусса. [c.345]

Основная идея работ советской школы заключалась в применении вместо рядов, расположенных по степеням малых возмущающих масс (которые являлись основным математическим аппаратом классической небесной механики), процесса последовательных канонических преобразований, которые в той же форме применялись еще С. Ньюкомом и А. Пуанкаре но при этом в каждом приближении исключается множество частот, соответствующих тем малым делителям, которые стремятся к нулю слишком быстро (множество исключенных частот мало вместе с возмущающей массой). Эта методика, указанная впервые А. Н. Колмогоровым (1954), была затем строго обоснована В. И. Арнольдом и прил1е-нена им для доказательства устойчивости (в смысле Лагранжа) модельной системы материальных точек с отрицательной энергией типа Солнечной системы. [c.357]

К. Г. Гудерлей и Дж. В. Армитедж предложили ) новый подход к решению вариационных задач газовой динамики, свободный от перечисленных ограничений. Этот подход, идея которого была также независимо высказана Т. К. Сиразетдиновым (1963), состоит в том, что экстремальная задача формулируется для интеграла от давлений, записанного непосредственно по контуру тела, при наличии связей между искомыми функциями в области влияния.контура в виде дифференциальных уравнений, описывающих движение газа. При составлении минимизируемого функционала эти связи учитываются введением соответствующих переменных множителей Лагранжа, так что функционал состоит из суммы интеграла, взятого вдоль искомого контура, и двойного интеграла, взятого по области влияния контура. Необходимые условия экстремума дают краевую задачу для системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с условиями на границе области влияния. [c.180]

В 1893 году Хивисаид (О. Heaviside) в своих исследованиях о значении самоиндукции при распространении разговорных токов по проводам обратил внимание на то, что затухание, вызываемое линией, м. б. уменьшено путем искусственного увеличения самоиндукции линии. Он указал, что увеличение самоиндукции м. б. произведено при помощи катушек, включаемых в линию на определенном расстоянии. Эта идея получила практич. осуществление в 1900 г. благодаря Пупину, который, исходя из аналогичной механич. проблемы Лагранжа (колебания натянутой струны, масса которой увеличивалась с помощью шаров, подвешиваемых к струне на определенных расстояниях), вывел ур-ие для определения расстояния между катушками и дал расчет катушек. [c.260]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...