Лагранжа двойственность

Наиболее значительного сокращения числа неизвестных в многокомпонентной многофазной системе можно достичь, исключая из (22.9) все переменные. ....n. Такая возможность представляется благодаря особой, седловидной форме поверхности функции L(n, к) вблизи экстремума и ввиду очевидного термодинамического смысла множителей "к (см. (16.20)). Вычислительный процесс при этом организуется иначе вместо минимизации функции L в пространстве переменных п ведется поиск максимума этой функции по переменным к. Такую замену называют переходом от решения прямой задачи к решению сопряженной с ней двойственной задачи. В теории выпуклого программирования доказывают теоремы, позволяющие из формулировки прямой задачи по стандартным правилам составить соответствующую ей двойственную. В общем случае часть целевой функции двойственной задачи, от которой зависят координаты максимума, представляет собой функцию Лагранжа прямой задачи, а вместо ограничений л/< >>0 в прямой задаче выступают ограничения (22.10) в двойственной. Для рассмотренного выше частного примера из области линейного программирования двойственная к (22.2), (22.3) задача формулируется следующим образом найти максимум функции [c.188]

Переменные г = 1,..., т, двойственной задачи ЛП являются множителями Лагранжа прямой задачи ЛП и называются двойственными переменными прямой задачи. Аналогично переменные Xf, /=1,..., га, прямой задачи являются двойственными переменными двойственной задачи ЛП. [c.129]

Можно доказать (см. [17, 34]), что, если пара (й,р ) является седловой точкой лагранжиана Ь(у,р ), то элемент й — решение исходной вариационной задачи, элемент р — решение задачи (83), которую называют сопряженной (или двойственной) к исходной задаче минимизации функционала J(v) на множестве К кроме того, операции нахождения нижней и верхней грани в задаче (88) можно поменять местами. [c.110]

Таким образом, каждое возмущение Ф(г ,р) функционала 7(г>) порождает пару новых задач — двойственную задачу максимизации (83) и задачу разыскания седловой точки лагранжиана (88). [c.110]

Двойственность. Зная гамильтониан Н и уравнения связей (42), можно перейти к функции Лагранжа по обычному правилу 1 = д- р — Н. Пусть = Я 4-2Я,Ф,. Если [c.52]

Теория краевых лагранжевых особенностей ведёт к интересной лагранжевой двойственности , меняющей местами функцию на объемлющем пространстве и её ограничение на край (эта версия правила множителей Лагранжа была получена И.Г.Щербак [157]). [c.175]

Обе функции (( , ). Ю и Ф дифференцируемы. Поэтому существует такой единственный множитель Лагранжа (- ол —двойственное пространство для Х д), что 0 ((г хд- фд. Хд) = Н, .ЛФ( х , [c.384]

Используя хорошо известный в теории двойственности результат (см. упр. 7.2.1), что (( л, Фй). Фл —Фол)—седловая точка функции Лагранжа S, имеем [c.387]

Существуют даже более общие понятия гибридных методов Например, Фикс [5] называет метод конечных элементов гибридным, если для учета неприятных ограничений используется (какого-либо рода) техника двойственности. Предложенное Бабушкой [8] использование множителей Лагранжа для учета краевых условий —пример таких методов. [c.408]

Лагранжа двойственность 175 Лагранжа множители 175 Лагранжев (цилиндрический) кобордизм 116 Лагранжев идеал 207 Лагранжев край 115 Лагргшжева особенность 26 Лагранжева эквивалентность 25 Лагранжево включение 150 Лагргшжево двойственная функция 175 Лагранжево многообразие 22 [c.334]

Можно построить математическое представление упругого поля с помощью так называемого обратного описания деформации тела, развитого в работах Маженна (G. А. Маи-gin), которые подытожены в монографии [2] (см. также обзорную статью [23]). Обратное описание деформации сплошной среды и соответствующая вариационная формулировка нелинейной теории упругости (когда действие для упругого тела представлено на основе эйлерова описания и варьированию подвергается обратное отображение = Х х , t)) неожиданно оказываются удобными для исследования сингулярного упругого поля и позволяют, в частности, с иных позиций взглянуть на энергетические соотношения нелинейной механики разрушения. Сам автор этого подхода называет обратное описание деформации описанием Пиола (G. Piola) и отмечает, что обратная вариационная формулировка в сущности совпадает с использованной Пиола еще в XIX в. [24] (затем забытой и никогда на деле не применявшейся). Ясно, что и два традиционных способа описания деформации сплошного тела (в духе Лагранжа и Эйлера), и возможность расширения понятия группы инвариантности функционала действия и обобщенного варьирования — следствия универсального принципа двойственности и полной равноправности отсчетной и актуальной конфигураций тела в состоянии его деформации, пронизывающих механику деформируемых тел как единую теорию. [c.674]

Упражнение. Вычислить двойственную скобку Ь,ф. Проверить результат с помош,ью метода Эрмана и Лагранжа. [c.37]

Не останавливаясь подробно на теории краевых особенностей, етмечу двойственность Лагранжа , переставляющую функцию и ее ограничение на край (с точностью до стабильной эквивалентности) такова современная трактовка правила множителей Лагранжа (И. Г. Щербак, 1982). [c.463]

Это — ковекторы — элементы пространства Т М, двойственного касательному пространству Т М, Для натурального лагранжиана Ь = Т - У формула (5.12) [c.58]

Вариационный принцип определяет отображение пространства кокасательного расслоения базового многообразия (в предыдущем примере — это пространство-время) в пространство симметрпческпх (т X т)-матриц (более точно, в симметрический тензорный квадрат пространства, двойственного слою). Это отображение однородно (элементы матрицы являются однородными многочленами степени (1 = 2г, если вариационный принцип содержит производные порядка г). Обратно, любая симметрическая матрица с такими свойствами является главным матричным символом системы Эйлера-Лагранжа некоторого вариационного принципа с квадратичным лагранжианом, включающим г-е производные. [c.282]

Две попытки унификации двойственных принципов предприняты Севеллом (1969) и Артурсом (1970). Первый из них использует преобразования Лежандра (или инволютивные преобразования), второй—каноническую теорию уравнений Эйлера — Лагранжа. Превосходный обзор двойственных вариационных принципов вообще содержится в статье Нобла и Севелла (1972). [c.48]

Хотя изложение замкнуто, читатель, желающий лучше познакомиться с теорией оптимизации, и в частности с использовавшимися здесь методами и техникой теории двойственности (функцией Лагранжа, седловой точкой, градиентным методом, методом Удзавы и др.), может обратиться к книгам Ауслен-дера [1], Лорана [1], Сеа 12), Экланда и Темама [1], [c.394]

Тогда как методы напряжений по определению основываются на формулировке только с одним неизвестным (градиентом и для модельной задачи, те[гзэром напряжений о для задачи теории упр угости и др.), использование для снятия ограничения техники теории двойственности дает в результате дополнительно второе неизвестное — тож мепъ Лагранжа. Такой подход, в частности, служит основой смешанных методов и двойственных гибридных методов, являющихся др ги.ми альтернативами учета ограничений. [c.401]

Такой подход особенно важен для пластин, где вторые частные производные перемещения представляют моменты. В двойственно-основной формулировке тройка д т и, д и, 322 ) г1ер-выи аргумент седловой точки, тогда как вторым аргументом, т. е. множителем Лагранжа, оказывается само перемещение и. Анализ таких методов см. у Джонсона [1, 2], Кикути, Андо [1, 5], Миёси [2], Самуэльсона [1]. [c.404]

Сам автор этого подхода называет обратное описание деформации описанием Пиола (G. Piola) и отмечает, что обратная вариационная формулировка в сугцностп совпадает с использованной егце в XIX в. (и затем забытой) формулировкой [ ]. Ясно, что и два традиционных способа описания деформации сплошного тела (в духе Лагранжа и Эйлера), и возможность расширения понятия группы инвариантности функционала действия и обобгценного варьирования — следствия универсального принципа двойственности и тотальной равноправности отсчетной и актуальной конфигураций тела в состоянии его деформации, пронпзываюгцпх всю механику деформируемых тел. [c.23]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...