Малые делители

В. И. Арнольд . Преодолев значительные математические трудности, характерные для исследований сходимости рядов, встречающихся в задаче трех и многих тел, путем применения процесса последовательных канонических преобразований и исключения частот, соответствующих быстро убывающим малым делителям, они построили строгую теорию возмущений [c.115]

Первый нетривиальный результат в теории малых делителей принадлежит К. Брунсу. Он доказал, что [c.198]

С проблемой малых делителей приходится сталкиваться при решении многих задач математики и механики (см., например, [9, 29, 77]). Общей чертой здесь является применение теоретико-числовых оценок типа неравенства (4). [c.198]

По существу, вековое множество — это множество тех торов невозмущенной интегрируемой задачи, которые распадаются при добавлении возмущения порядка е. В типичной ситуации В всюду плотно в 0 с этим связана хорошо известная трудность — появление малых делителей , препятствующих не только сходимости, но даже формальному построению рядов классической схемы теории возмущений. [c.123]

Основные математические трудности в вопросах о сходимости рядов, представляющих решения задач небесной механики (для трех и большего числа материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Нью-тона), тесно связаны с так называемой проблемой малых делителей , которые могут давать весьма большие значения членам рядов и этим крайне затрудняют рассмотрение их сходимости. [c.356]

Несмотря на то, что указанные теории (и подобные им) дают возможность понять некоторые особенности колебаний жидкости конечной амплитуды, они ни в коей мере не приближают нас к ответу на основной вопрос существуют ли в ограниченном объеме жидкости периодические движения Развитые теории носят весьма формальный характер. Они представляют решение в виде рядов того или другого типа, причем ни одному из авторов не удалось доказать их сходимость. Трудности доказательства упирались, прежде всего, в проблему малых делителей. Неудачи этих попыток убеждают в том, что построенные ряды могут служить только как вычислительная процедура и доказать их сходимость прямым путем очень трудно. Здесь нужны, по-видимому, совсем другие подходы. Одновременно возникает подозрение, что периодических движений в жидкости, заключенной в ограниченном сосуде, может и не быть вообще. Может быть, все те движения, которые мы называем стоячими волнами конечной амплитуды,— это некоторые почти-периодические решения Все эти вопросы стоят на повестке дня, и ответа на н х нет. [c.64]

Необходимо заметить, что эта сложность вызывается тем, что при определении и 21 входит малый делитель [c.156]

Если же индексы кик имеют такие значения, что сумма кПо -к п0 есть величина численно малая (такие делители называются малыми делителями), то период соответствующего неравенства будет весьма большим и по этой причине такие неравенства называются долгопериодическими. Периоды таких долгопериодических неравенств из-за малого знаменателя могут иметь заметные значения, вследствие чего такие неравенства играют значительную роль в теории возмущений, особенно когда рассматриваются большие промежутки времени. [c.652]

Амплитуды долгопериодических неравенств также могут оказаться значительными вследствие того, что в знаменатель соответствующего периодического члена входит величина k nS > k jni-f (малый делитель). [c.673]

Возмущающая функция. В случае орбит с малыми эксцентриситетами правые части уравнений Лагранжа для оскулирующих элементов е и п содержат малый делитель е. Эта трудность легко устраняется, если вместо элементов е, п и в ввести переменные А, / и Я [c.573]

Малые делители. Мы видели в 98, что в результате интегрирований коэффициент V появляется в знаменателе. Из этого следует, что если v = О, формулы (1) и (2) теряют смысл и в этом случае мы должны использовать формулы (3). Но [c.110]

Тогда говорят, что эти члены являются весьма большими вследствие наличия малых делителей. [c.110]

Что касается класса, то он зависит от наличия малых делителей в знаменателе. Малые делители, как мы видели, появляются в результате последовательных интегрирований. [c.114]

Пусть тге — показатель малого делителя, находящегося в знаменателе, или сумма показателей малых делителей, если малых делителей больше одного. В 101 мы видели, что последний случай встречается очень редко. [c.114]

Если ki и I 21 велики, а v есть малый делитель, то [c.136]

Предположим, что средние движения почти соизмеримы, так что интегрирование может ввести малые делители. Пусть т есть показатель этого малого делителя в знаменателе. [c.289]

Интегрирование может ввести множитель I или малый делитель в знаменателе, но оно не может ввести и то и другое. Действительно, множитель I может появиться только при интегрировании чисто векового члена, а малый делитель Уо появляется только при интегрировании члена, имеющего множителем [c.290]

Пусть Уо — рассматриваемый малый делитель. Тогда [c.292]

Отсюда видно, что р должны быть целыми кратными чисел / J, соответствующими малому делителю Уо. [c.294]

Иногда нужно вычислять в возмущающей функции члены более высокой степени, пе вычисляя члены низшей степени. Вообще коэффициенты различных членов убывают очень быстро по мере того, как возрастает степень. Но может случиться, что член с малым коэффициентом все же будет играть очень большую роль, так как интегрирование вводит малые делители, благодаря которым малый член иногда порождает значительное возмущение. [c.320]

Чтобы можно было применять результаты главы X, необходимо рассмотреть пг (поскольку он входит в и>") и как две независимые переменные. При этих условиях наши разложения будут расположены по степеням х, но их коэффициенты будут функциями различных постоянных и, в частности, Пг. Мы видели, что интегрирование приводит к появлению малых делителей вида + Л2 2- Один из этих делителей в точности равен 2- [c.461]

Рассмотрим некоторый член разложения, зависящий от этого малого делителя пг. Пусть а — показатель Нч Р — показатель малого делителя, так что наш член содержит в качестве множителя величину [c.461]

Как мы видели в конце 353, интегрирование вводит малый делитель [c.533]

Вообще члены, порождаемые действием планет, весьма малы и становятся заметными только благодаря наличию малых делителей, если промежуток времени достаточно большой. Чаще всего они становятся заметными в случае двойного интегрирования, которое вводит в знаменателе квадраты малых делителей. Мы получим наиболее существенную часть некоторого долгопериодического члена, ограничиваясь интегрированием следующих уравнений [c.563]

Можно произвести некоторые интересные исследования этих рядов, которые представляют большой интерес для решения задачи трех тел. Для построения рядов (12) можно использовать приближенные методы, которые употребляются в теории возмущений . Рассмотрим, например, спутниковый случай Ibo, в котором движущееся тело должно оставаться в окрестности массы К, и предположим, что масса К сравнительно мала, тогда можно для получения выражений для координат использовать разложения по степеням малой массы К. При определении методом последовательных приближений значений коэффициентов i,, i, пришлось бы преодолевать трудности, возникающие за счет малых делителей, имеющих вид + г аПа (о которых впоследствии мы будем говорить), и ряды (12) не были бы равномерно сходящимися, хотя это и имеет место для истинных рядов (12). Можно было бы заранее сказать, почему должны возникать такие трудности. Объяснение этого, видимо, кроется в том, что, как было доказано в 3 гл. II, для расстояния г от тела К не существует никакой нижней границы, отличной от нуля. Поэтому не существует также никакого среднего значения этого расстояния в том смысле, в каком это понятие используется в теории возмущений. [c.126]

Другую трудность при исследовании сходимости порождают малые делители. С точки зрения теории возмущений незначительный или даже исчезающе малый до интеграции член мог бы дать какое угодно большое по величине возмущение, если только средние движения планет приблизительно соизмеримы. [c.494]

В мы включаем такие члены, которые фактически будут входить в (упомянутые) числовые расчеты. Сумма Sj охватывает все такие члены, в которых малые делители не становятся меньше определенной нижней границы. Так как сумма предпо- [c.613]

Подставляя в и у значения а, р, и н объединяя члены в группы, как и выше, найдем, что здесь благодаря малым делителям различие между вычислениями и наблюдениями в и у возрастает пропорционально второй степени времени, илп по крайней мере может возрастать. Если ряды [c.614]

Таким образом, возмущенную задачу можно считать решенной , если ряды теории возмущений корректно определены и являются сходящимися. Из их сходимости вытекал бы ряд важных следствий (в частности, вечная устойчивость Солнечной системы). Забегая вперед, скажем о разочаровывающем результате Пуанкаре в общем случае из-за наличия так называемых малых делителей ряды теории возмущений расходятся. Более того, расходятся ряды усовершенствованной теории возмущений, предложенной Пуанкаре и Болином, в которой решения разлагаются в ряды не по степеням е, а по степеням у/ё. Заметим, что если ряды теории возмущений сходятся, то уравнения движения имеют полный набор интегралов в инволюции, которые можно представить в виде сходящихся степенных рядов по е (или у/е). [c.15]

Основная идея работ советской школы заключалась в применении вместо рядов, расположенных по степеням малых возмущающих масс (которые являлись основным математическим аппаратом классической небесной механики), процесса последовательных канонических преобразований, которые в той же форме применялись еще С. Ньюкомом и А. Пуанкаре но при этом в каждом приближении исключается множество частот, соответствующих тем малым делителям, которые стремятся к нулю слишком быстро (множество исключенных частот мало вместе с возмущающей массой). Эта методика, указанная впервые А. Н. Колмогоровым (1954), была затем строго обоснована В. И. Арнольдом и прил1е-нена им для доказательства устойчивости (в смысле Лагранжа) модельной системы материальных точек с отрицательной энергией типа Солнечной системы. [c.357]

Выше мы говорили, что на практике не рассматривают члены, в которых малый делитель v = Aj/ii -)- кгПг соответствует очень большим целым ki и kz. Благодаря этому обстоятельству мы могли сказать в 101, что на практике никогда нет необходимости рассматривать несколько малых делителей. [c.136]

Члены наименьшего класса имеют больпгие коэффициенты в силу наличия малых делителей, появляющихся в результате интегрирования. Период этих членов, зависящих от ни, например, [c.301]

Можно поставить вопрос, не появятся ли в процессе вычисления члены, содержащие в качестве множителя отрицательные степени т в случае малых делителей, кратных m или m Можно показать, что такие члены могут появиться только, когда будут вводиться весьма малые аналитические делители. Ия этого следует, согласно предыдущему параграфу, что такие делители могут появиться только в членах высших степеней этого не может быть, если предположить, что Е2 = О или Ез — О, так как в этих случаях весьма малых аналитических делителей нет, и самое большее, что может быть, это то, что малые аналитические делители будут делиться только на тге. Доказательство этого утверждения имеется в Bulletin astronomique , т. XXV, стр. 321. [c.535]

Различие между истинными средними и оскулирующими движениями при известных обстоятельствах может стать, очевидно, значительным также и при малом ц, в частности, если имеются малые делители в соизмеримостях низшего порядка. [c.613]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...