Многочлен интерполяционный

СПЛАЙН (сплайн-функция).Всегда можно подобрать такой многочлен, кривая которого проходит через п заданных точек. В общем случае характер изменения значений заданной им функции будет волнообразным. Такую кривую трудно признать сглаженной . Сглаживание можно осуществить с помощью сплайна. Дословно сплайн означает полосу из гибкого материала, которая проходит через заданные точки. Сплайном в вычислительной математике называют такую функцию, кривая которой состоит из отрезков полиномиальных кривых эти отрезки состыкованы так, что производные полученной функции непрерывны на всем рассматриваемом промежутке. Подобные функции удобны для интерполяции. Сплайн обеспечивает непрерывность производных интерполяционной функции до максимально высокого возможного порядка при выполнении условия, что степень многочленов, используемых для сглаживания исходных данных, ниже степени того единого многочлена, кривая которого проходит через все заданные точки. [c.70]

Построим интерполяционный многочлен [c.6]

Формулы дифференцирования. Погрешность. Если функция /(д ) задана в точках Xoестественным способом вычисления ее производной в точке х (считаем, что Хп) является дифференцирование интерполяционного многочлена. Интерполяционный многочлен Лагранжа (1.3) приближает функцию f x) с погрешностью Rn(x) [см. формулу (1.5)], поэтому замена производной f(x) производной полинома Лагранжа порождает погрешность. Имеем [c.10]

Чтобы вычислить интеграл в правой части (1.45), нужно знать /(х) на отрезке [л ,-, Хг+ . Для этого можно построить интерполяционный многочлен для f(x) по узлам Xi, Xi-. ....xi-h -и использовать его в (1.45) вместо Цх). Формулы такого типа называют экстраполяционными. Приведем их для А = 0, 1, 2, 3 [c.19]

Построение интерполяционных многочленов. В соответствии со сказанным выше искомую функцию записывают на элементе в виде интерполяционного многочлена. При этом в случае одномерного линейного элемента, содержащего два узла (одномерный симплекс-элемент), искомую функцию записывают в виде [c.200]

Тогда, считая, что значения qik и Uk определяются в режиме обучения манипулятора, можно найти непрерывные значения обобщенных координат qi, представляя каждую координату интерполяционным многочленом Лагранжа [c.563]

Использование этого алгоритма позволяет отказаться от представления в явном виде преобразования декартовых координат захвата в обобщенные координаты манипулятора. При этом точность воспроизведения заданной кривой между узлами интерполирования определяется степенью интерполяционного многочлена. По сравнению с контурным (непрерывным) управлением применение интерполяционных многочленов в условиях позиционного управления позволяет уменьшать необходимый объем памяти, обеспечивая одновременно необходимую точность воспроизведения заданной кривой. [c.564]

Многочлен Рщ (a ) является интерполяционным многочленом первой степени с узлами интерполяции x -i, Хп- [c.141]

Для приближенного (численного) интегрирования /(а) следует эту функцию заменить интерполяционным многочленом (а). Интегрирование р (а) приводит к формулам трапеций, Сн.ми-сона и др. (см. стр. 182). [c.304]

Переход от классических интерполяционных многочленов к сплайнам существенно повышает также качество приближения [c.189]

Обобщенный многочлен Ф (х) степени п называют интерполяционным, если он удовлетворяет условию [c.133]

Интерполяционный многочлен существует и [c.133]

Существуют различные явные формы записи интерполяционного многочлена. Одну из таких форм дает многочлен Лагранжа [c.133]

Многочлен Ньютона с конечными разностями. Для таблицы с равноотстоящими узлами интерполяционный многочлен можно записать в виде [c.134]

По трем заданным точкам йц, щ строим интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени [c.173]

Рассмотрим теперь интерполяцию Эрмита. В этом случае, в отличие от предыдущего, интерполяционный многочлен должен принимать не только заданные значения в узлах, но и заданные значения производных от интерполируемой функции, вообще говоря, в других узлах. [c.281]

На рис. 37 изображены построенные fi-сплайны. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ. Подобно тому, как интерполяционный.многочлен Лагранжа явным образом выражается через фундаментальные многочлены, интерполяционный сплайн можно выразить через так называемые фундаментальные сплайны. [c.178]

Более точной является параболическая интерполяция, при которой табличная функция заменяется многочленом ф (х). Степень интерполяционного многочлена не выше п, где п — число узлов интерполяции. Значения интерполяционного многочлена [c.38]

Используют различные виды интерполяционных многочленов Лагранжа, Гаусса, Эрмита, Стирлинга и др. [13]. Наиболее удобен для реализации на ЭВМ интерполяционный многочлен Ньютона [c.39]

Сравнение погрешности при равном числе членов интерполяционного и экстраполяционного многочленов [c.50]

По этим данным видно, что использование большого числа членов в статистическом интерполяционном многочлене при принятой аппроксимации корреляционной функции нецелесообразно погрешность при этом уменьшается незначительно. Практически при принятых ограничениях на вид и параметры корреляционной функции измеряемой величины число членов 0 2 Оу 0 5 О,в многочлена редко превышает три, ввиду этого подбор многочлена [c.52]

При постоянном интервале h интерполяционный многочлен может быть найден методом разностей по формулам Ньютона, Стирлинга или Бесселя, приводимых в справочниках по математике. [c.67]

З.З.5.2. Интерполяция Лагранжа. Может быть использовано много различных приемов интерполяции, упрощающих вычисления [115], но все они дают один и тот же интерполяционный многочлен для данного набора пар величин. Одним из простейших подходов является метод полиномов Лагранжа. Основная идея состоит в использовании вместо одного полинома п различных полиномов степени п, составленных так, что вычисление коэффициентов становится несложным. Для этого построим полиномы так, чтобы они были равны единице при определенном значении независимой переменной д и нулю при всех прочих [c.172]

Преимущества метода сплайнов над интерполяцией многочленами очевидны. Второй метод удовлетворительно работает лишь для малого числа узлов, тогда как сплайн легко построить на огромном количестве интервалов, и при этом он будет оставаться очень гладкой функцией с непрерывными первой и второй производными. Его недостатками являются разрывность третьей производной и неопределенность высших производных. Однако как мы увидим в следующих главах, эти производные обычно вообще не нужны. Поэтому можно считать кубический сплайн лучшей интерполяционной функцией, имеющейся в нашем распоряжении. Он будет использоваться в гл. 9 как инстру- [c.176]

Многочлен Бернштейна дает наилучшее приближение к функции. Для выражения функции ко.а= ) как интерполяционной формулой Лагранжа, так и многочленом Бернштейна требуется большой объем вычислительной работы. Коэффициенты ряда Фурье вычисляются довольно просто и быстро. [c.244]

При этой интерполяции задается тг+1 табличное значение (л ,-, г/ ), где 1=0, 1, п. Предполагается, что точки (х , у ) принадлежат кривой у= (х) в интервале Интерполяционный многочлен для этого метода имеет вид [c.204]

Существует множество разностных методов интерполяции, однако наиболее распространен метод Ньютона для интерполирования вперед, известный также как метод Ньютона — Грегори. Интерполяционный многочлен для этого метода имеет вид [c.205]

Вторая трудность, встречающаяся при численном дифференцировании, иллюстрируется на рис. 8.4. Даже в случае, когда интерполяционный многочлен хорошо аппроксимирует табличную функцию, его производные высших порядков могут не иметь ничего общего с производными аппроксимируемой функции. Это хорошо видно из рис. 8.4 при сравнении наклона и кривизны двух кривых. [c.216]

Рис. 8.4. Одна из трудностей, встречающихся при использовании интерполяционных многочленов для численного дифференцирования.

Аналогичным образом можно получить производные более высоких порядков для форм с правыми, центральными и левыми разностями. Полученные при этом формулы для интерполяционных многочленов разных типов сведены в табл. 8.2—8.4. [c.221]

Интервал неопределенности 142 Интерполяционный многочлен 204 Интерполяция 203 [c.231]

Если задана интерполируемая функция /(х), то остаточный член интерполяционной формулы (т. е. разность между /(х) и интерполяционным многочленом степени п) выражается при помощи формул [c.248]

Помимо аппроксимации вида (4.27) возможны и другие. Например, можно прибегнуть [224] к аппроксимации функции В1д+ - — интерполяционным многочленом. Кроме того, в некоторых контактных задачах [272, 273] естественным образом вытекает аппроксимация такого сорта [c.52]

В этом случае для представления функции на каждой части интервала разбиения можно применить интерполяционные многочлены более высокой степени, чем первая, что и позволяет уменьшить число частей. Однако в этом случае необходимо сохранять в памяти ЭВМ значения коэффициентов полиномов, что, естественно, снижает эффект от уменьшения числа частей. Кроме того, объединение интерполяционных многочленов, полученных для соседних частей, может приводить к разрьтам уже первой производной функции в точках стыка. [c.232]

Интерполяционный многочлен Лагранжа. Рассмотрим простейший и самый распространенный случай, когда ф(д )—многочлен. Итак, требуется построить многочлен Рп х) степени п, который IB заданных точках а=хо, л ь. .., Хп = Ь (узлах интерполирования) принимает заданные значения fo, fi,. .., /п. Заметим, что такой многочлен только один. Действительно, пусть Qn(x) — другой многочлен степени п, также совпадающий с /о, f, . .., fn в узлах интерполирования. Но тогда многочлен Pn(x)—Qn x), степень которого не больше п, обрашается в нуль п+1 раз и, следовательно, тождественно равен нулю, т. е. Qn x) =Рп(х). [c.5]

Для приближенного подсчета интеграла (4) восггользу-емся следующими соображенияим. Представим функцию y t — х) через интерполяционный многочлен Лагранжа х) с узлами интерполяции в точках x -mh, —(т — [c.50]

Многочлен Ньютона. Интерполяционный многочлен можно записать в виде ийогочлела Ньютона с разделенными разностями [c.134]

Интерполяция с использованием схемы Эйт-кена. Обозначим черезР j (х) интерполяционный многочлен с узлами интерполяции к> к+ 1> т- обозначениях (х) [c.134]

Так как для интегрирования системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений используем метод Кутта—Мерсона, имеющий пятый порядок точности, для интерполяции функции одной переменной целесообразно выбрать интерполяционный многочлен пятой степени п = 5). [c.172]

Определение значени]1 функции, заданной таблицей, для значений аргумента, находящегося между двумя соседними табличными значениями, или построение тахой фуикции, которая для даины.х значений аргумента принимала бы данные значения, называется интерполировачие.м. Наиболее употребительной интерполяционной функцией является многочлен ф (л-) = a + ],v - -... Ч а х , а для периодических функций — тригонометрический полином. [c.74]

Продолжая исследование контакта упругого круглого диска под действием центральной силы с круговым отверстием в неограниченной упругой пластинке, А. И, Каландия [182] использовал потенциалы Колосова— Мусхелишвили и свел задачу к сингулярному интегральному уравнению, отличаюш,емуся от хорошо изученного лишь наличием некоторого регулярного интегрального оператора. Автор построил приближенное решение этого уравнения, в основе которого лежит аппроксимация искомого решения тригонометрическим интерполяционным многочленом Лежандра по чебышевским узлам. [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...