Проблема Лагранжа

В обстоятельной монографии Ф. Гриффитса [45] изложена геометрия гамильтонова формализма общей вариационной проблемы Лагранжа и решен ряд конкретных вариационных задач (однако автор неверно полагает, что при этом он решил некоторые задачи неголономной механики). [c.27]

Соотношение (111.67b) является четвертым алгебраическим интегралом дифференциальных уравнений (III. 12) и (III. 14), не зависящим от времени. По теореме о последнем множителе Якоби задача сводится к квадратурам. Отметим, что задача С. В, Ковалевской приводится к квадратурам гиперэллиптического типа. Характер движения тела в случае Ковалевской гораздо сложнее, чем в случаях Эйлера и Лагранжа. В то время как в упомянутых двух классических случаях общие свойства движения твердого тела исследованы очень подробно, этого нельзя сказать о случае Ковалевской. Трудности, связанные с анализом движения тела в последнем случае, заставляют даже обратиться к экспериментальному изучению проблемы ). [c.453]

После Ньютона трудами Эйлера (1736), Даламбера (1743) и Лагранжа (1788) проблемы механики полностью сводятся к математическим задачам, решение которых облегчается созданием дифференциального исчисления. [c.89]

Проблема трех тел частный случай Лагранжа) 233 [c.233]

ПРОБЛЕМА ТРЕХ ТЕЛ (ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА) [c.233]

Мы не можем противостоять искушению дополнить наше рассмотрение относительного движения доказательством знаменитой теоремы Лагранжа (Парижская академия, 1772 г.) Проблема трех тел допускает строгое решение в элементарных функциях, если принять, что треугольник, образованный тремя небесными телами, постоянно остается подобным самому себе. При этом массы трех тел произвольны. [c.233]

Вообще уравнением Эйлера произвольной вариационной задачи называют получаемое по образцу уравнений (34.4) и (34.5) дифференциальное уравнение типа (34.6). Таким образом, можно сказать, что уравнения Лагранжа являются эйлеровыми уравнениями вариационной проблемы, заданной функцией L. [c.249]

Подобно тому, как в 35 [ср. формулы (35.10) и (35.11)] мы рассматривали смешанный тип уравнений (по отношению к уравнениям Лагранжа первого и второго рода), мы теперь познакомимся еще с одним, смешанным типом уравнений , занимающих промежуточное положение между уравнениями Лагранжа и уравнениями Гамильтона. Этот тип уравнений носит имя Рауса , в продолжение нескольких десятков лет преподававшего механику в Кембриджском университете. Несколько позднее Гельмгольц положил этот же тип уравнений в основу своей теории моно- и полициклических систем, связанной с основными проблемами термодинамики. [c.296]

Замечание относительно терминологии. Прилагательное аналитическая в выражении аналитическая механика не имеет ничего общего с философским процессом анализа оно происходит от математического термина анализ и указывает на приложение методов исчисления бесконечно малых к тем или иным проблемам чистой или прикладной математики. Во французской и немецкой литературе термин аналитическая механика относится лишь к абстрактной математической трактовке проблем механики методами Эйлера, Лагранжа п Гамильтона в английской же, и особенно в американской [c.27]

Здесь имеется одно положение, которое требует некоторых пояснений. При переходе с одной поверхности на другую, бесконечно близко к ней расположенную, можно наверняка добиться такого соответствия, чтобы в каждой точке первой поверхности 8ж и Sy имели такие значения, какие нам желательно. Таким образом, если речь идет об исследовании проблемы максимума и.т1и минимума, здесь не возникает никаких неудобств — даже для условий на границах, — в чем легко убедиться, если принять, что 8х зависит только от ж я Sy только от у. Однако дальше (отд. V, п. 44) Лагранж применяет формулы пунктов 32—34, выведенные на основе указанного допущения, к случаю, когда Sx и Sy выражают любое виртуальное перемещение и, следовательно, являются совершенно произвольными функциями X и у. Поэтому представляется небесполезным произвести вычисление, исходя из предположения, что Sx и Sy являются произвольными. [c.136]

Впрочем, хотя Лагранж дает основание полагать, что при его методе можно применять координаты любого вида, если только они пригодны для определения положений тел, чрезвычайно интересно, что этот математик никогда не применял иных координат, кроме тех, которые фактически подходят к принципу виртуальных скоростей по крайней мере я не знаю такого примера и полагаю, что его и нельзя найти в работах Лагранжа. В самом деле, если бы для разрешения какой-либо проблемы он попытался воспользоваться некоторыми координатами, недопустимыми при его методе, то весьма вероятно, что заметная ошибка в каком-либо полученном им выводе навела бы его на мысль об ошибочности его формул тогда, конечно, он сам не замедлил бы сделать по этому поводу ясную оговорку, по крайней мере во втором издании своего прекрасного труда. [c.534]

В начале шестого отдела (стр. 438) Лагранж подвергает углубленному исследованию малые колебания, выполняемые различными телами системы, когда их лишь немного выводят из положения равновесия. Только применение замечательных результатов, которыми аналитическая механика обязана Лагранжу, позволяет успешно разрешить этот вопрос, один из наиболее важных и общих, какие только встречаются в теории движения. Но некоторые из выводов, приведенных Лагранжем, недостаточно обоснованы. Решение этой проблемы зависит от разрешения алгебраического уравнения, метод составления которого был указан Лагранжем это уравнение никогда не имеет мнимых корней, но, в противоположность утверждению [c.574]

Решение профессором Гамильтоном этой замечательной проблемы содержит, действительно, одну неизвестную функцию, именно — главную функцию 5, к изучению и отысканию которой сводится математическая динамика. Эта функция не может быть смешана с прекрасно известной функцией Лагранжа ) для простого и удобного выражения известных уравнений движения. Функция Лагранжа ставит, функция Гамильтона решает проблему. Одна годится для того, чтобы образовать дифференциальные уравнения [c.285]

Для нас в этой блестящей характеристике является важным подчеркивание основного значения математического метода для работы Лагранжа в области механики. И действительно, в силу аналитического (и принципиально аналитического) характера его механики подход Лагранжа к отдельным проблемам теснейшим образом связан с его математическими работами в различных ветвях анализа. Фурье говорит ...Он сводит все законы равновесия и движения к одному принципу, и, что не менее удивительно, он их подчиняет одному методу исчисления, изобретателем которого он сам является ). В самом деле, как известно, с Лагранжа начинается новая эпоха вариационного исчисления. [c.796]

Возвращаясь к рассмотрению общего направления этой работы, напомним, как мы уже отметили, что само заглавие подчеркивает сугубо математический характер этого сочинения Лагранжа. Действительно, в нем не затрагивается ни одна из проблем, связанных с обоснованием механики. В этой работе проблемы механики представляют собой лишь определенный класс задач вариационного исчисления. [c.797]

Хотя не известно никакого обш его формального решения проблемы трех тел, однако существуют частные решения проблемы, известной как задача Лагранжа ), в которой конфигурация этих тел представляет собой либо жесткую прямую линию, либо треугольник это следующие движения [c.162]

Но мы могли потребовать большего. Мы можем стремиться не только к пониманию математической структуры некоторой отдельной динамической проблемы, но к пониманию математической структуры класса проблем столь широкого, что в конце концов мы можем считать всю динамику находящейся в поле нашего зрения. Мы будем рассматривать те системы, для которых имеют место уравнения движения в форме Лагранжа или в форме Гамильтона этот класс и в самом деле включает очень широкий круг проблем. [c.197]

И твердых тел исследуются методами Лагранжа без векторных обозначений и чертежей. Во второй половине книги рассматриваются гамильтоновы системы, интегральные инварианты, теория преобразований, первые интегралы, проблема трех тел, теория траекторий. [c.443]

Экстремали, на которых достигается экстремум функциона.яа /, являются решением и исходной вариационной проблемы. Величины %1 называются неопределенными (функциональными) множителями Лагранжа. Уравнения Эйлера вариационной проблемы для функционала / и условия для /г позволяют найти у1 Я,у ( = 1, 2,. .., п у = 1,. .., т). Аналогичная ситуация имеет место и при отыскании экстремума функции, но множители Лагранжа при этом не являются функциональными. [c.449]

Из условия стационарности функционала П получаются дифференциальные уравнения равновесия как уравнения Эйлера — Лагранжа вариационной проблемы, из этого же условия вытекают условия равновесия на границе (см. 15.20). Уравнения равновесия для дискретных статически неопределимых систем выводятся из (15.64) в нашей книге (см. сноску ) на стр. 563). [c.487]

В 1893 году Хивисаид (О. Heaviside) в своих исследованиях о значении самоиндукции при распространении разговорных токов по проводам обратил внимание на то, что затухание, вызываемое линией, м. б. уменьшено путем искусственного увеличения самоиндукции линии. Он указал, что увеличение самоиндукции м. б. произведено при помощи катушек, включаемых в линию на определенном расстоянии. Эта идея получила практич. осуществление в 1900 г. благодаря Пупину, который, исходя из аналогичной механич. проблемы Лагранжа (колебания натянутой струны, масса которой увеличивалась с помощью шаров, подвешиваемых к струне на определенных расстояниях), вывел ур-ие для определения расстояния между катушками и дал расчет катушек. [c.260]

После Лагранжа принципиально новых мыслей было высказано не так много Гамильтон развил оптико-механическую аналогию Гаусс установил принцип наименьшего принуждения в работах Лагранжа, Лапла/са, Пуассона, Пуанкаре, Ляпунова через основные космогонические проблемы стихийно обнаружился принцип устойчивости. [c.209]

С формальной точки зрения задача нахождення минимума определенного интеграла является собственно задачей вариационного исчисления, в то время как задача нахождения минимума функции принадлежит к обычному анализу. Исторически эти две проблемы возникли одновременно и четкого разграничения между ними не было вплоть до Лагранжа, развившего технику вариационного исчисления. Знаменитая задача Дидоны, хорошо известная геометрам древности, была вариационной задачей, требовавшей нахождения минимума некоторого интеграла. Герон Александрийский вывел закон отражения, исходя из того, что луч света, выходящий из точки А и приходящий в точку В после отражения от зеркала, достигает цели в кратчайшее время. Ферма применил этот принцип для получения законов преломления. Все эти задачи решались геометрическими методами. Задача о брахистохроне (кривой быстрейшего спуска) была предложена Иоганном Бернулли и решена независимо им самим, Ньютоном и Лейбницем. Основные дифферен- [c.57]

Обращаясь к конкретному содержанию статики п динамикн Лагранжа, мы находим большое богатство основных форм условий равновесия и дифференциальных уравнений движения для многих фундаментальных задач, имеющих определенное техническое и естественно-иаучное значение и происхождение. Среди последних существенную роль в трактате Лагранжа играют проблемы небесной механики, что далеко не случайно, ибо Лагранж явился одним из основоиоложников классической небесной механики. [c.5]

Лагранж уделяет 1акже большое внимание проблеме аффективной трактовки самих задач, проблеме эффективного нх решения. В этом опять проявляется конкретная материалистичность содержания трактата Лагранжа, его стихийная направленность на критерий практики. [c.5]

В IV отделе Динамики Лагранж указал чрезвычайно интересный вид, какой получают уравнения динамици, если вместо координат различных точек подставить любую систему переменных. В настоящей Статье мы вернемся к составлению этих уравнений. Затем мы укашем чрезвычайно удачное преобразование, которому подверг их Гамильтон (Hamilton) и из которого можно вывести ряд свойств их интегралов, подходящих ко всем тем проблемам, при которых применяется преобразование Гамильтона. [c.549]

Уравнение (3) допускает бесчисленное множество решений, причем каждое из них родержит k произвольных постоянных Лагранж называет их полными ompletes) инте-грала и. Одним из этих интегралов будет функция. У, которую мы определили в предыдущем параграфе, нр мы сейчас покажем, что всякий другой полный интеграл может ее заменить и дать решение исследуемой нами механической проблемы. [c.560]

Ввиду невозможности поместить в тексте некоторые записи, касающиеся вращательного движения, слишком неполные, чтобы составить отде.чьный параграф, они были объединены в заметки, помещенные в конце тома. Другая заметка получилась из замечания Лагранжа, найденного также среди его рукописей она касается проблемы определения орбит комет, которая рассмотрена в III отдела VII. [c.6]

В физических и технических проблемах встречаются и другие виды естественных движений, а также некоторые виды движения тех же самых голономных систем, которые, хотя и выражаются уравнениями более общими, чем уравнения Лагранжа, но могут быть сопоставлены с состояниями равновесия голономной системы благодаря тому, что уравнения допускают соответствующие частные решения (статические или меростатические решения). Мы распространим наше исследование и на эти решения. Наконец, мы введем, наряду со строгим определением понятия устойчивости, приближенное понятие, соответствующее устойчивости в течение конечного, но достаточно длительного промежутка врзмени, или линейной устойчивости ), исследованием которой мы и будем часто ограничиваться в силу непреодолимых математических трудностей, возникающих при анализе устойчивости в строгом смысле. [c.352]

Наконец, путем одновременного применения двух различных вариационных характеристик к фундаментальному уравнению мы придем к теореме, значительно более общей, чем аналогичная теорема Лагранжа, положенная им в основу исследования вариаций произвольных постоянных в вопросах динамики. Мы установим для проблемы изопериметров теорию варьирования произвольных постоянных. [c.317]

Лагранж, а позднее и другие геометры рассматривали обе проблемы как один вопрос, требуя, чтобы функция V имела частный вид, а именно не зависела бы от времени, внося этим ограничение. Исключая это, повторяем, что проблема изопериметров и принцип наименьшего действия были для Лагранжа одним и тем же вопросом. Ибо этот великий геометр, отправляясь от одного, пришел к другому. Само собой разумеется, что мы ограничиваемся [c.337]

В такой общеисторической и историко-научной обстановке развивается творчество Лагранжа. Ему принадлежат фундаментальные результаты в аналитической механике, и именно он сыграл решающую роль в развитии принципа наименьшего действия. В 1760 г. проблема принципа наименьшего действия становится объектом его внимания. [c.795]

Аналитической механике ставит вопрос о физическом смысле принципа наименьшего действия. В самом деле, Лагранж отнюдь не так безразличен к физической стороне механических проблем, как это обычно полагают. Да и трудно было бы ожидать, чтобы Лагранж, живший в кругу людей, которые не только живо интересовались философией, но иногда сами являлись крупными философами (например Гольбах, Д Аламбер и др.), остался совершенно в стороне от проблемы обоснования механики и анализа содержания ее понятий. Исторической легендой является обычное представление о Лагранже, как об ученом, который равнодушно и даже презрительно относился к философским проблемам. Мало кому известно, что в жизни Лагранжа был период, когда он временно потерял интерес к математике и усиленно занимался философией, химией, медициной и другими науками. Все современники, знавшие его лично, указывают, что он хотя и не писал ничего на специально философские темы, но с большим интересом принимал участие в философских беседах и спорах. [c.798]

Для характеристики отношения Лагранжа к философским проблемам мы находим у Ф. А. Ланге любопытное указание. При изложении обстоятельств, связанных с выходом взволновавшей весь образованный мир книги Гольбаха Система природы , он отмечает, что в силу ряда причин [c.798]

Итак, мы видим, что Лагранж и здесь, как и в проблеме обоснования анализа, идет по пути известного самоограничения. Он ограничивает сферу применимости принципа наименьшего действия областью применимости закона живых сил, следуя в этом отношении за Эйлером. Он рассматривает свойство интеграла dt 2 давать минимум или максимум для действительного движения как свойство аналитического характера. У Лагранжа принцип наименьшего действия перестал уже иметь явно логическое значение, признаком которого было бы нечто большее, чем чисто аналитические свойства, выражающиеся возможностью делать вариацию нулем , — говорит Дюринг ). Но то, что Дюринг считает достоинством Лагранжа, на самом деле есть его недостаток, ибо, кроме метафизики , существует также научный анализ физического содержания математических выражений ). Исследование Лагранжа, которое было выше нами рассмотрено, пред- [c.800]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Продолжая классическую традицию английской физики У. Томсона, Фарадея Мак-Куллоха, Максвелла, которые шли по пути построения физических (механических) моделей на основе аналогии, Лармор ) в конце XIX в. также ставит перед собой задачу сведения всего многообразия явлений к динамическим принципам. Он считает центральной задачей разработку идеи о каком-либо определенном характере связи между эфиром и веществом. Для этой цели он воспользовался принципом наименьшего действия, который, по его мнению, позволяет свести к динамике такие физические теории, внутренний динамический механизм которых скрыт от непосредственного наблюдения. Аналогичную точку зрения на проблемы электродинамики развивал ранее Гельмгольц. Лармор находит классический вид лагранжиана и, воспользовавшись определением величин Е и Н и тем, что полная энергия системы связана с L, выводит уравнения Максвелла. Легко доказать, идя несколько иным путем, что уравнения [c.856]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...