Функции двойственные

Двойственная задача имеет ряд особенностей по сравнению с исходной, называемой прямой. Если прямая задача требует максимизации целевой функции, то двойственная задача является задачей минимизации, и наоборот. Коэффициенты целевой функции прямой задачи а,,. .., Ор становятся правыми частями ограничений двойственной задачи, а правые части ограничений прямой задачи С],. .., с , — коэффициентами целевой функции двойственной задачи. [c.238]

Наиболее значительного сокращения числа неизвестных в многокомпонентной многофазной системе можно достичь, исключая из (22.9) все переменные. ....n. Такая возможность представляется благодаря особой, седловидной форме поверхности функции L(n, к) вблизи экстремума и ввиду очевидного термодинамического смысла множителей "к (см. (16.20)). Вычислительный процесс при этом организуется иначе вместо минимизации функции L в пространстве переменных п ведется поиск максимума этой функции по переменным к. Такую замену называют переходом от решения прямой задачи к решению сопряженной с ней двойственной задачи. В теории выпуклого программирования доказывают теоремы, позволяющие из формулировки прямой задачи по стандартным правилам составить соответствующую ей двойственную. В общем случае часть целевой функции двойственной задачи, от которой зависят координаты максимума, представляет собой функцию Лагранжа прямой задачи, а вместо ограничений л/< >>0 в прямой задаче выступают ограничения (22.10) в двойственной. Для рассмотренного выше частного примера из области линейного программирования двойственная к (22.2), (22.3) задача формулируется следующим образом найти максимум функции [c.188]

Положим Н = 12. На кривой х = х Ь), у = у Ь), задающей движение световой частицы, очевидно, Н =1. Следовательно, Н — введенная выше функция, двойственная параметрическому лагранжиану Ь. Используя теперь теорему 5, получаем уравнения (4.16) [c.50]

Формулировки смешанного типа 212 Функции двойственные 191 [c.424]

Матрица коэффициентов функций ограничений двойственной задачи получается путем транспонирования соответствующей матрицы прямой задачи. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных прямой задачи, а число переменных двойственной задачи — числу ограничений прямой. Знаки неравенств в ограничениях двойственной задачи изменяются на обратные по сравнению с прямой задачей. Указанные особенности позволяют формализовать процесс построения двойственной задачи при заданной прямой и наоборот. [c.238]

Сначала, пользуясь выражениями Но типа (П.44) и (П.45), строится двойственная функция V типа (П.53). Затем решается задача отыскания max V при выполнении [c.257]

Множители X характеризуют чувствительность двойственной функции к уровню функций-ограничений. Появление множителей kj не вызывает принципиальных затруднений при решении двойственной задачи, так как значения kj зависят от б н определяются как линейные комбинации 6к. [c.258]

В теории геометрического программирования показывается, что максимум двойственной функции достигается в стационарной точке, которая совпадает со стационарной точкой функции In V ( ), являющейся вогнутой. Следовательно, заменяя в двойственной задаче функцию У функцией 1п V, получаем. необходимость максимизации вогнутой функции на выпуклом множестве, что представляет собой задачу вогнутого, программирования, которая решается такими же методами, что и задача выпуклого программирования. Это также существенно облегчает процесс численного решения двойственной задачи. [c.258]

Здесь G (a) - общая потенциальная энергия напряжений. Вторая переменная Л ст представляет собой заданные объемные силы в J2, а функция F (-A a) совпадает с индикаторной функцией множества К, т.е. она равна нулю для а К и + > для остальных тензоров а [14]. Поэтому двойственная вариационная задача принимает вид sup [—(7 (а)]. Эта задача соответствует принципу максимума дополнительной энергии. В [14] указаны условия существования и единственности решения исходной задачи ы и существования решения двойственной задачи а. Для этих решений справедливо равенство функционалов J (ы, Л ) =/ (Л а, а), а также экстремальное соотношение [c.144]

Однако полностью решенной эту проблему считать нельзя, поскольку функции внешнего железнодорожного транспорта в течение более или менее продолжительного периода времени будут сохранены за многими предприятиями. В связи с этим рациональная организация как внутризаводского, так и внешнего транспорта остается для промышленных предприятий актуальной задачей. Правильное решение ее должно соответствовать рассмотренной выше экономической основе промышленного транспорта, определяющей двойственность его характера. Это, разумеется, ни в коей мере не исключает необходимость органической увязки организации внутреннего и внешнего транспорта, участвующих в выполнении единого процесса. [c.351]

Соответствие хозрасчета предприятия плановым заданиям обеспечивается согласованием технико-экономических нор йа ти-вов с целевой функцией планирования и ограничениями на ресурсы. Методы оптимального управления устанавливают строгие соотношения между параметрами исходной (планирование) и двойственной (хозрасчет) задач. [c.79]

Двойственные оценки дефицитных ресурсов показывают размер изменения целевой функции (количество комплектов отливок) при увеличении соответствующего ресурса на единицу. Однако при произвольном изменении размеров обеспеченности [c.104]

Следующая задача минимизации называется двойственной (по отношению к прямой задаче максимизации, сформулированной выше) задачей ЛП найти вектор у, принадлежащий допустимой области Я = у у 0, у-А >с , доставляющий минимум целевой функции ср(у)=Ь-у. [c.128]

Возможны две причины отсутствия решения прямой или двойственной задачи ЛП противоречивость ограничений (допустимое множество G или Н пусто) или неограниченность значения целевой функции в допустимой области. При этом если G не пусто, а И пусто, то не ограничено решение прямой задачи, если G пусто, а // не пусто, то не ограничено решение двойственной задачи. [c.129]

Пусть X и у — решения прямой и двойственной задач ЛП. Тогда f(x )=9(y ). Значения у], г=1..... т, двойственных переменных определяют чувствительность значения целевой функции f(x) в точке х к изменению значений констант 6,- в соответствующих [c.129]

Симплекс-метод решения двойственной задачи ЛП отличается тем, что на первом этапе, соответствующем нахождению опорного плана, выполняются действия, описанные выше для второго этапа симплекс-метода решения (прямой) задачи ЛП (устраняются отрицательные элементы b j). На втором же этапе, соответствующем нахождению оптимального плана, напротив, выполняются действия, описанные для первого этапа симплекс-метода решения прямой задачи ЛП (устраняются отрицательные элементы бго). При этом значение элемента оо соответствует значению целевой функции в достигнутой точке опорного плана. Решение прямой (или двойственной) задачи позволяет по мере выполнения этапа нахождения оптимального плана получать (как значения элементов boo) нижнюю (или верхнюю) оценку значения целевой функции в экстремальной точке. Одновременно решение прямой и двойственной задач позволяет, таким образом, на каждом шаге этапа нахождения оптимального плана оценивать сверху и снизу значение целевой функции в экстремальной точке и прекращать вычисления но достижении требуемой точности. [c.131]

При наличии ограничений gj х , х .....дс ) двойственная функция задачи имеет вид [c.196]

В функции состояния z(t) вспомогательной (двойственной) детерминированной управляемой системы [c.362]

Значительное место в работах Д.Д. Ивлева уделено вопросам двойственности эквивалентному построению теории пластичности на основе определения функции нагружения и ассоциированного закона пластического течения, либо определения дис- [c.7]

Статистика показывает, что 40 — 80% всех аварий технических объектов происходят по вине операторов. Здесь проявляется двойственный характер участия человека в управлении с одной стороны, он является незаменимым участником процесса, обеспечивающим его высокую надежность и эффективность, а с другой — он сам может явиться причиной аварий. Степень преобладания первого фактора над вторым определяется качеством проектирования и освоения АСУ, тем, насколько правильно распределены функции между человеком и техникой, как согласованы их характеристики, как отобраны и обучены операторы. [c.97]

У(6)—двойственная функция задачи геометрического программирования [c.10]

Как отмечено, исходная задача геометрического программирования сводится к двойственной задаче, которую в общем случае формулируют следующим образом — найти максимальное значение двойственной функции [c.159]

Геометрически преобразования Лежандра объясняются возможностью двойственного олисания. поверхности в многомерном пространстве с одной стороны, такая (rf-f-1)-мерная поверхность может быть задана в виде зависимости (d-f-l)-ft координаты от остальных d координат, U=U tji,. .., да), т, е. набором точек в пространстве (U, qu. .., Qd), с другой стороны, в виде набора координат касательных плоскостей к поверхности lJ(qu qa) в каждой ее точке (сама поверхность является тогда огибающей семейства плоскостей), Если функция Ь ци. .., Qd) всюду строго"выпуклая (см. с. 185), то никакие две ее точки не могут иметь касательных плоскостей с одинаковыми координатами и оба способа представления являются однозначными и взаимообратимыми. [c.80]

Метод геометрического программирования предусматривает представление функций цели и ограничений в виде положительных степенных полиномов (позиномов) и решение задачи оптимизации аналитическим путем с использованием соотношения двойственности неравенств, связывающих между собой арифметическое и геометрическое среднее [16]. [c.152]

Для систем, функционируюш их в условиях динамической среды, к которым относятся и автоматизированные производства с гибко переналаживаемой технологией, эффективность управления зависит от полноты и достоверности сведений как о состоянии объектов управления, так и об условиях производства. Таким образом, в процессе проектирования производства и управления производством решаются две взаимосвязанные задачи первая — посредством анализа имеющейся и поступающей информации изучаются свойства, состояния управляемых объектов и условия функционирования системы управления вторая — на основе этих данных определяются действия и их последовательность, необходимые для управления. В общем случае процессы изучения управляемых объектов, условий их функционирования и управления ими связаны и образуют сложный двойственный или дуальный процесс, развитие которого определяет качество функцио- [c.55]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Как показал Уфимцев (см. [28] и [29] или [30], гл. I и V), формула (38.17), предложенная Шварцшильдом еще в 1902 г., более точно передает диффракционное поле, чем формула (38.16) заметим, что результаты Уфимцева относятся к диффракции на ленте, к щели нетрудно перейти, используя принцип двойственности (см., например, 25], 92). Основным преимуществом формулы (38.17) по сравнению с формулами 38.09) и (38.1,6) является отсутствие в ней улей функция имеет вблизи тех направлений, где ф1= ф2=0, глубокие минимумы, соответствующие поведению точной функции -ф, вычисленной с помощью строгого решения. Недостаток функции (38.17) в том, что для нее не выполняется граничное условие (38.12), в силу этого обстоятельства функция (38.17) iHe передает поведения точной функции ) При ф 0 и Условию В заитости [c.188]

Функция (ПЗ.ЗО) описывает плоскую волну с частотой ии = E/h, Е — энергия частицы соответствующую длину волны Л = 2tt iIp называют де-бройлевской длиной волны частицы. В соотношении (ПЗ.ЗО), следовательно, заложена двойственная, корпускулярноволновая природа микрочастиц. Различие знаков ( ) в выражении (П3.29) означает движение волны вдоль (+) направления вектора к и навстречу (-) вектору к. [c.474]

Приведенные данные иллюстрируют роль вязкости в процессе генерации энергии. Только вязкость порождает напряжение Рейнольдса т, поскольку уравнение Рэлея (19) имеет чисто вещественные решения и поэтому не может дать ненулевые значения [89]. С другой стороны, согласно (21) положительные значения Ф могут получиться только при т > 0. Характер функции Ф у) также указывает на двойственную роль вязкости. Вблизи стенки решающую роль играет вязкая диссипация и Ф < О, но ее влияние с удалением от границы быстро убывает. Резкое поведение Ф у) объясняется существованием на стенке вязкого пограничного слоя для возмущений, где осуществляется сток нульсационной энергии. [c.24]

В случае несовпадения чисел aj, а2 и аз интеграл F4 был найден В. А. Стекловым. При ai = а2 аз из (5.6) и (5.7) вытекает, что 61 = 62 и l = С2 это — случай интегрируемости Кирхгофа. Если, наконец, ai = а2 = аз, то формулы (5.8) дают тривиальный вырожденный случай. Однако, как заметил А. М. Ляпунов, здесь в качестве гамильтониана надо взять функцию Л 4, Л = onst добавочным интегралом будет, очевидно Fj. Поэтому случаи интегрируемости Стеклова и Ляпунова также двойственны друг другу. [c.92]

Пусть W, W —двойственные п-мерные линейные пространства над полем вещественных чисел. Их элементы будем обозначать соответственно через х, у. Пусть у, х) — значение ковектора у на векторе х. Рассмотрим функцию V — К, определенную формулой [c.385]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...