Как найти экстремум

Рассмотренные классические методы анализа предполагают известное аналитическое выражение критерия оптимальности, имеющего производные по всем переменным, и позволяют найти экстремум только внутри области изменения независимых переменных. Реальные задачи решать этими методами практически невозможно, так как они имеют ряд особенностей. [c.22]

Разъяснение постулируемого равенства (3.35) с помощью других эквивалентных постулатов, которым можно придать геометрическое толкование или которые можно рассматривать как своего рода физические условия, накладываемые на силы для обеспечения экстремума а в действительных процессах, и подробное описание этих постулатов можно найти в книге Г. Циглера Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механика сплошной среды , пер. с англ., Изд-во Мир , 1966. [c.444]

Однако рассмотренные двухмерные зависимости не позволяют найти оптимальный технологический режим, обеспечивающий получение глобального экстремума оптимизируемого показателя качества покрытия, так как они не учитывают взаимного влияния этих параметров на свойства покрытий. Сложность и недостаточная изученность явлений, лежащих в основе данного технологического процесса, не позволяют получить аналитическое решение поставленной задачи, поэтому мы использовали экспериментально-статистические методы регрессионного анализа и теории планирования экспериментов [2], позволяющие получить математическую модель и определить оптимальные значения режимных параметров процесса с учетом их взаимного влияния на свойства покрытий. [c.88]

Теперь легко найти точку с максимальным полным касательным напряжением, для чего исследуем на экстремум. Так как т О, вместо экстремума можем искать экстремум [c.58]

Уравнением Эйлера в поставленной вариационной проблеме (здесь интеграл зависит от неизвестной функции v = v (г) и представляет собой функционал), как было показано в разделе 2 15.2, является EIv = д, после решения которого, получив V, можно найти 0 = ц М = — Е1и" и Q = — EIv" т. е. ось изогнутой балки представляет собой такую кривую, которой соответствует экстремум (минимум) функционала потенциальной энергии системы. [c.495]

Основная задача вариационного исчисления может быть сформулирована так среди всех допустимых по условиям данной задачи функций найти такую функцию у = у (л), которая доставляет заданному функционалу экстремальное значение. Необходимым условием экстремума функционала, как и необходимым условием экстремума функции, является условие стационарности [c.305]

В многомерном случае схема долины усложняется, но смысл и последствия ситуации остаются такими же, как и в двумерном случае. Для того чтобы избежать ошибок при поиске экстремума на поверхности с гребнем или долиной, применяется метод параллельного поиска, описание которого можно найти в работе [26]. Следует отметить еще одно свойство функции затрат 5 (со), встречающееся на практике. Эта функция, по-видимому, довольно часто достигает минимума на дне долины, которая иногда размещается под острым углом к тем или иным осям координат. В этих условиях не только собственно градиентный метод, но и его дискретные аналоги с заменой-частной производной частным [c.174]

Таким образом, возникает задача об отыскании условного экстремума величины Для этого, как известно, достаточно найти безусловный экстремум функции [c.31]

Второе начало термодинамики позволяет найти критерий наличия равновесия в системе и его устойчивости. В зависимости от того, при каких условиях устанавливается равновесие, формулировки критерия оказываются различными. Однако во всех случаях общим является то, что в состоянии равновесия какой-нибудь термодинамический потенциал имеет экстремум. [c.193]

Автоматическое регулирование имеет смысл тогда, когда значение регулируемой величины непрерывно или периодически изменяется и нельзя расчетом или по показаниям приборов определять, какие она примет значения. В противном случае можно было бы заранее задавать постоянную скорость исполнительному двигателю и ограничиваться простейшей разомкнутой системой регулирования подачи. Оптимизация также имеет смысл только в том случае, если, во-первых, функция имеет экстремум при изменении регулируемой величины в допускаемых пределах и, во-вторых, если положение экстремума в плоскости показатель экстремума — регулирующее воздействие смещается в направлении переменной координаты регулирующее воздействие (если эта координата неизменна, то достаточно один раз найти ее значение и дальше следить уже не за ее нахождением, установлением и поддержанием, а только за стабилизацией). [c.147]

Особенность безградиентных методов состоит в том, что для определения направления поиска не применяется анализ чувствительности целевой функции к изменениям управляемых параметров. Наиболее простым с алгоритмической точки зрения, но крайне неэкономичным является метод сканирования, практически совпадающий с методом матричных испытаний, рассмотренным в 3 гл. 1 как экспериментальный метод оптимизации. С помощью этого метода можно найти глобальный экстремум. Остальные рассматриваемые здесь методы относятся к методам локальной оптимизации. [c.156]

Решая систему уравнений (27.14), можно найти одну или несколько равновесных конфигураций системы, т. е. один или несколько наборов значений обобщенных координат д о, д о, , которым соответствуют те или иные стационарные значения потенциальной энергии системы. Это не обязательно должен быть минимум или максимум функции и, так как с точки зрения математики уравнения (27.14) представляют собой только необходимые, но не достаточные условия существования экстремума функции многих переменных. [c.157]

Соотношение (3.6.20) позволяет последовательно определить все коэффициенты Таким образом, многочлен, обладающий требуемыми свойствами, действительно можно найти. Нам остается убедиться в том, что построенное решение (3.6.13) всюду на интервале [О, 1 ] имеет положительную производную, т. е. что функция к (х) монотонно, без извивов возрастает. Так как к — многочлен степени 2п, он может иметь не более 2п—1 различных экстремумов, которые являются нулями его первой производной /1 . По построению п—1 экстремумов совпадают с точкой х = О, а п—1 других экстремумов совпадают с точкой х = I. Следовательно, остается не более одного экстремума. Нетрудно показать, что при малом [c.155]

Начальное и максимальное конечное значения Кс заданы, отсюда можно найти и Таким образом, для п зон общая длина смесителя L s в данном случае может быть представлена как функция и -1 переменной L s = = Ьо (tl,t2,..., tn-l) Следовательно, для того, чтобы она имела экстремум (в данном случае минимум), воспользуемся общим приемом дифференциального исчисления. Найдем частные производные от величины Ьо по всем переменным ti и приравняем их нулю [c.110]

Во-виорых, как уже отмечалось многими авторами /I/, использование обобщенной тейлоровской зависимости для нахождения оптиыаль ных значений режимов резания, не позволяет найти экстремум. [c.196]

Найдем решение сопряженной системы ф = onst, V2 — (t — Т)Ф + ф2(Т). Функция ф2 t) служит градиентом функционала 0 и определяет структуру оптимального управления. Из условия трансверсальности следует, что ф2(Т) ф 0. Поэтому функция ф2 1) может обратиться в нуль всего лишь в один момент времени, и рассматриваемый функционал может иметь экстремумы только на границе области управления. Поскольку требуется найти минимум функционала, то следует выбирать и = — sigii 02- Только в этом случае любая вариация управления будет приводить лишь к увеличению функционала. Из условия трансверсальности тогда следует, что ф2(Т) = 1. В любом случае в зависимости от значения ф управление как функция времени либо вообще не имеет переключений и все время остается равным какому-либо ограничению допустимой области, либо имеет только одно переключение с одного ограничения на другое. [c.610]

Для пояснения этой мысли рассмотрим задачу о проектировании главной кинематической цепи двигателя внутреннего сгорания. Заданным параметром является ход поршня оз = зтах — зт п. Для центрального кривошипно-ползунного механизма 5оз однозначно определяют радиус кривошипа. Так как для этого механизма ход есть расстояние между крайними положениями ползуна, то Гз = оз/2. Чтобы кривошип кривошипно-ползунного механизма мог делать полный оборот, его длина должна быть меньше длины шатуна I., (как это легко обнаружить с помощью простого графического построения). Таким образом, любой шатун, у которого /2 > г , удовлетворяет заданным условиям. Поэтому его длина 1 является свободным (не заданным) параметром синтеза. Для того же, чтобы найти единственное и наилучшее решение поставленной задачи, нужно сформулировать дополнительные требования и дополнительные ограничения, а затем решить задачу на отыскание экстремума некоторой функции поставленной цели. Например, в рассмотренном примере можно искать оптимальный размер /2 шатуна из условий нанлучшей динамики механизма. В нашем курсе мы не имеем места для изучения специфических задач синтеза механизмов. [c.36]

Использование экстремальных алгоритмов управления возможно лишь в случае, если манипулятор обладает маневренностью, т. е. имеются избыточные степени свободы. Пусть, например, требуется воспроизвести движение точки захвата по плоской кривой при помощи манипулятора, кинематическая схема которого показана на рис. 17. Манипулятор имеет три степени свободы, и за обобщенные координаты можно принять углы поворота фю, Ф21 и фз2. Для воспроизведения заданной плоской кривой достаточно иметь две степени свободы, и, следовательно, две обобщенные координаты можно найти по алгоритмам позиционного или контурного управления. Третья обобщенная координата используется для того, чтобы удовлетворить условиям экстремума какого-либо функционала, выражающего критерий качества. Поставленная задача решается мето-дами вариационного исчисления с применением ЭЦВМ. [c.564]

Разрабатывая методы поиска экстремума, следует стремиться найти его, сделав как можно меньше шагов в сторону от экстремума. Многие из этих методов являются прямыми, так как информация о путях продвижения к экстремуму получается периодическим прямым вычислением значений целевой функции. Такой прямой опрос состояния оптимизируемого объекта сопровождается прогнозированием возможного положения гиперповерхности целевой функции с дальнейшим шаговым продвижением в направлении ее поднятия (поиск максимума) или опускания (поиск минимума). Величина и направление очередного шага зависят от принципа и условий сбора информации о просмотренных в процессе поиска точках и от способов прогнозирования поведения целевой функции в направлении возможного продвижения. Описание наиболее употребительных методов и алгоритмов содержится в книге Д. Химмельблау Прикладное нелинейное программирование (М. Мир, 1975.—534 с.). [c.117]

Для интеграла (5) дифференциальное уравнение (4), в котором V, v, а суть неизвестные функции переменной s, можно рассматривать как уравнение неголономной (дифференциальной) связи. Следовательно, нам нужно найти такие законы изменения функций а(5) и v s), при которых интеграл (5) принимает минимальное значение и одновременно удовлетворяется уравнение связи (4) (т. е. удовлетворяются уравнения движения). Форму лированная вариационная задача является задачей на Условный экстремум. Ее решение можно получить, написав вспомогательную функцию [c.185]

Как и в общей теории регулирования, в теории оптимально управляемых процессов большое место занимают проблемы управления системами, работающими в случайных обстоятельствах. Общая теория стохастических регулируемых систем имеет богатую историю и включает в себя такие, ставшие классическими, разделы науки, как математическую теорию информации, теорию оптимального преобразования случайных сигналов (в том числе теорию фильтрации шумов и теорию прогнозирования) и т. д. Однако вопросы, относящиеся к этим разделам теории регулирования, остаются вне рамок настоящего очерка. Подробный обзор соответствующих результатов читатель может найти в сборнике Техническая кибернетика в СССР за 50 лет . Здесь мы ограничимся обсуждением сравнительно узкого круга проблем, связанных с управлением стохастическими системами при условиях экстремума заданных функционалов на случайных движениях. А именно, здесь будут обсуждены такие задачи и относящиеся к ним результаты, которые сформулировались как следствие обобщения аналогичных задач об оптимальном управлении детерминированными системами. Некоторые из таких задач, связанных с обобщением на стохастический случай проблемы аналитического конструирования регуляторов, уже упоминались выше (см. 14, стр. 207). Теперь будут обсуждены некоторые общие схемы, в которые укладываются рассматриваемые стохастические задачи об оптимальном управлении. [c.228]

Тем самым задача отыскания экстремума функционала (31.2) сведена к исследованию на экстремум функции одного переменного J(a). Для этого, как известно, необходимо найти значение производной йЛйа при а = О и приравнять его нулю (экстремум функционалу [c.178]

При наличии ограничений на независимые неременные минимум целевой функции может быть на границе (рис. 2.6). Необходимое условие оптимальности позволяет найти минимум только внутри допустимой области, и в этом случае механизм нахождения экстремума (определение первых производных и приравнивание их нулю) теряет смысл, так как минимум таким образом определен не будет. [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...