Динамика гамильтонова

Автор благодарен дирекции Университетского издательства в Торонто, которая предоставила ему возможность дополнить свою книгу этим материалом, относящимся к одному из наиболее поразительных открытий человеческого гения. В этой главе в очень сжатой форме, но последовательно изложены все основные идеи, принципы и результаты Эйнштейна, относящиеся к кинематике и динамике одной частицы. Общая теория преобразований Лоренца изложена при помощи гамильтоновых кватернионов. Они так удачно подходят для этой цели, что вряд ли найдется другой математический аппарат, столь же простой и компактный. Уравнения поля общей теории относительности, естественно, не вошли в эту книгу, однако здесь подробно рассматриваются динамические аспекты гравитационной теории Эйнштейна, в том числе три решающих эксперимента по проверке теории, поскольку они не выходят за рамки лагранжевой и гамильтоновой форм динамики. [c.14]

Гамильтонова формулировка динамики частицы 361 [c.361]

В гамильтоновой форме динамики основной является уже не функция Лагранжа L, а функция Гамильтона [c.361]

Важный переход от лагранжевой к гамильтоновой форме динамики можно совершить более непосредственным образом, без использования преобразования Лежандра, основываясь исключительно на методе неопределенных множителей Лагранжа. Рассмотрим заданную функцию Лагранжа L = q , qn, t). Будем рассматривать qi как некоторую вторую группу независимых переменных Wi, т. е, напишем [c.396]

Следует заметить, что исторически указанный выше путь для вывода уравнений (50 ), (50") является в существенных чертах тем, которым Гамильтон пришел к установлению связи между задачей интегрирования уравнений динамики и задачей интегрирования уравнений в частных производных, показав, что если известна главная функция S ( 119°), то можно определить посредством одних только операций вида (50 ), (50") общее решение лагранжевой системы (31) или, лучше, соответствующей гамильтоновой системы (31 ), [c.440]

ОБОБЩЕННАЯ ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА рз] [c.705]

ОБОБЩЕННАЯ ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА [c.707]

Обычная нерелятивистская динамика имеет дело с состоянием динамической системы в определенный момент времени, заданным значениями д тл р. С помощью уравнений движения можно, зная состояние в один момент времени, вычислить состояние в другой момент времени. Такие уравнения движения, записанные в гамильтоновой форме с однородными скоростями,, требуют только Ф первого класса. Чтобы построить динамическую теорию, необходимо ввести систему уравнений, допускающую наблюдателей с любыми скоростями, причем каждому наблюдателю ставится в соответствие момент времени. Под моментом мы подразумевали трехмерную гиперплоскость пространстве-времени с нормалью внутри светового конуса. Момент времени задают, таким образом, четырьмя параметрами тремя направляющими косинусами нормали гиперповерхности или скорости наблюдателя и четвертым параметром, позволяющим различать моменты для одного и того же наблюдателя. [c.718]

Принцип Гамильтона применим к описанию явлений в любом поле, отличающемся от обычной задачи динамики тем, что в последней есть одна независимая переменная I и несколько зависимых переменных в то время как в случае поля д, и t являются независимыми переменными, а величины, характеризующие поле, являются зависимыми переменными. Поле и заряженные тела образуют систему, подчиняющуюся гамильтоновой динамике. [c.857]

В уравнении Гамильтона переменными, которые определяют движение механической системы, являются обобщенные координаты q и обобщенные моменты р. Гамильтонова функция W(p, q), которая входит в гамильтоновы уравнения, обычно является функцией обеих этих переменных. Если мы преобразуем переменные q и р в новые переменные q и р посредством какого-либо произвольного преобразования, общая форма гамильтоновых уравнений изменится. Однако Якоби показал, что существует некоторое преобразование, отличающееся тем свойством, что оно оставляет форму этих уравнений неизменной. Так как уравнения Гамильтона часто называются каноническими уравнениями динамики, то указанным преобразованиям было дано наименование канонических преобразований. Канонические преобразования представляют собой специальный случай касательного преобразования. Касательное преобразование в трехмерном пространстве определяется так [c.915]

Однако научное значение классической динамики, в частности и ньютоновой динамики, не исчерпываются только физическими предсказаниями, которые делаются непосредственно на их основе. Ньютонова динамика состоит из совокупности математических выводов и заключений, полученных подчинением некоторых простых понятий некоторым простым законам. В математическом развитии предмета были развернуты общие схемы (в частности, лагранжев и гамильтонов метод), которые позволяют заменить первоначальные примитивные понятия более общими (такими как пространство конфигураций и фазовое пространство). Оказалось, что эти новые математические понятия могут быть использованы, чтобы представить физические понятия, отличные от тех, рассмотрение которых было источником понятий математических. Таким образом, ньютонова динамика породила новые физические выводы путем приложения внутренне присущих ей математических идей за пределами их исходной области применения. Примерами этого могут быть применение лагранжевых методов к теории электрических контуров и (что еще более удивительно) применение гамильтоновых методов в развитии квантовой механики. [c.14]

Общая динамическая теория занимает любопытное положение в физике. Исторически она была создана и развилась в форме ньютоновой динамики частиц и твердых тел. Но мы чувствуем настоятельную необходимость дать ей более широкую область применения, рассматривая ее как последовательную математическую теорию, приложимую к любой физической системе, поведение которой можно выразить в лагранжевой или гамильтоновой форме. Здесь возникает соблазн рассматривать эту теорию как чистую математику. [c.199]

Можно использовать термин Q-динамика, чтобы указывать, что теория основана на уравнениях (68.5), или термин Я-динамика в случае, когда теория основана на уравнении (68.12). Это только различные способы выражения и мы объединим их под общим названием гамильтонова динамика. [c.225]

Относительные преимущества и слабости этих двух аспектов гамильтоновой динамики находятся в тесной аналогии с относительными достоинствами и недостатками выражения уравнения поверхности в двух формах, f(x, у, z) = о ж Z = f x, у) впрочем, для того чтобы улучшить аналогию, следовало бы рассматривать любое число переменных. Q-динамика кажется предпочтительнее по общим причинам, когда желательно поставить все 2N 2 переменных в равное положение. Я-динамика во многих отношениях предпочтительнее с аналитической точки зрения. Таким образом, уравнения движения (68.16) представляют собой, очевидно, систему 2N уравнений первого порядка, в то время как в (68.7), очевидно, систему 2N -Н 2 уравнений. Число уравнений последней системы можно уменьшить до 2N + 1, разделив все уравнения на dxj +i/dw, так что (т. е. время) становится незави- [c.225]

Эквивалентность лагранжевой и гамильтоновой динамики. Под лагранжевой динамикой мы понимаем теорию, изложенную в 64 и 65, основанную на однородном лагранжиане Л(а , х ) или на обычном лагранжиане [c.226]

L(q, t, q), под гамильтоновой динамикой — теорию, развитую в 67 и 68, основанную на уравнении энергии Q(a , у) = О или гамильтониане H(q, t, р). Мы покажем, что эти две динамики, по существу говоря, эквивалентны, хотя гамильтонова динамика является несколько более общей в том, что касается определения вектора импульса — энергии. [c.226]

После того как это сделано, безразлично, излагать ли динамику в терминах Л или L или положить в основу уравнение Q = О или Н. Соответствие устанавливается требованием равенства лагранжева и гамильтонова действий для произвольной кривой в пространстве QT. [c.226]

Мы предполагаем здесь, что в результате этого исключения получается только одно уравнение, но их может быть и больше. Ср. П. Д и р а к, Обобщенная гамильтонова динамика, в сб. Вариационные принципы механики, стр. 705—722. [c.227]

Будем исходить теперь из гамильтоновой динамики, записав уравнение энергии в общем виде [c.228]

Другие виды устойчивости. Мы уже определили два вида устойчивости устойчивость первого порядка и полную или тригонометрическую устойчивость. В 2 было доказано, что для уравнений динамики (гамильтоновых и пфаффовых) из устойчивости первого порядка следует полная устойчивость. Некоторые другие виды устойчивости тоже представляют интерес. [c.130]

Известно, что динамика гамильтоновых систем (в том числе систем с упругими отражениями) подчиняется вариационным принципам. В связи с этим обстоятельством характеристики периодических траекторий гамильтоновых систем можно разбить на два класса динамические и геометрические. Первые определяются отображением Пуанкаре, соответствующим данному периодическому решению уравнений движения. К ним относятся величины характеристических показателей, свойства невырожденности (по Пуанкаре) и орбитальной устойчивости. Вторые являются характеристиками периодической траектории как критической точки функционала действия. К ним относятся индекс Морса, невырожденность по Морсу, а также введенный ниже определитель Хилла. [c.157]

Изучение хаотической динамики в системах с сохранением энергии, которое, впрочем, не является основным предметом этой книги, занимает много места в научной литературе. Это направление иногда помешают в разделы, озаглавленные Динамика гамильтоновых систем , что указывает на методы Гамильтона (и Якоби), используемые для решения нелинейных задач для бездиссипатив ных систем с большим числом степеней свободы (см., например, превосходную монографию [110]). [c.70]

Принцип наименьшего действия в гамильтоновой форме выражается в классической динамике следующим образол [c.653]

Пользуясь формализмом Лагранжа, легко удовлетворить требованию релятивистской инвариантности, выбирая действие, т. е. интеграл, от лагранжиана по времени в виде, инвариантном относительно группы Лоренца. Мы не знаем столь же простого пути релятивизации гамильтонова формализма. При создании квантовой теории приходится исходить из гамильтонова формализма. Существуют надежные правила перехода от классической гамильтоновой динамики к квантовой динамике, основанные на зал1ене координат и импульсов линейными операторами. Эти правила в простых случаях приводят к однозначным результатам и хотя в более сложных случаях их нельзя применить без известной неоднозначности, они показали себя вполне пригодными для любой практической цели. [c.705]

Эта связь между дифференциальными уравнениями динамики и дифференциальными уравнениями в частных производных относится к общей теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, где она и была открыта Коши в 1819 г. задолго до Якоби. После того как Якоби самостоятельно подметил и изучил эту связь, он получил общую теорию интегрирования дифференциальных уравнений динамики. Метод состоит в том, что вместо непосредственного исследования основных уравнений динамики ищут достаточно общее решение гамильтоновых уравнений в частных производных, из которого интегрирование первых получается, так сказать, само сабой. [c.826]

Это — общее условие канонического преобразования, причем любая функция и Q может быть выбрана как производящая функция канонического преобразования. В добавление к этой функции могут быть заданы некоторые условия между и Qi (число условий может изменяться от 1 до п). Формулы канонического преобразования имеют ту особенность, что они не выражают это преобразование в явном виде. Вместо определения новых переменных только через старые, или наоборот, обычно применяется смешанное представление, в котором старые обобщенные импульсы выражаются через старые и новые координаты положения. Как известно, если ввести риманово мероопределение, то гамильтонова характеристическая функция в оптике и основная функция в динамике определяют расстояние в римано-вом пространстве, выраженное в функции координат конечных точек этого расстояния. Эта функция, которая тесно связана с вариационным интегралом, является производящей функцией некоторого частного канонического преобразования. [c.877]

Гамильтоновы методы вводят дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка и при таком рассмотрении динамика Гамильтона может быть обозначена как ЧПДУ1 (уравнения в частных производных первого порядка). Переход к квантовой теории через уравнение Шредингера заключает в себе переход к дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка, что, в тех же обозначениях, как и выше, может быть записано как ЧПДУ2. [c.14]

Надо заметить, что оптический метод Гамильтона ), в котором все координаты пространства рассматриваются как равноправные, наводит на мысль использовать пространство QTPH. Симметричное построение динамики было предуказано гамильтоновым исчислением главных отношений ). В наше время этот подход к динамике возрожден в ряде работ ). Вся теория, развитая в пространстве QTPH, может быть немедленно перенесена на рассмотрение изоэнергетической динамики в QP простым уменьшением размерности. [c.203]

Мы установили, по существу, эквивалентность лаграп-ясевой и гамильтоновой динамики. Соответствия между ними иллюстрируются в 70, а их геометрическая сущность рассматривается в 71. [c.229]

Теорема взаимности. Соотношение между лагран-жевоп и гамильтоновой динамикой становится ясным, если подойти к этому вопросу с геометрической точки зрения. ) [c.231]

Рассмотрим N + 1-мерное пространство и в нем лагран5кеву или гамильтонову динамику. Вследствие соответствия, установленного в 69, безразлично, какую из этих двух динамик рассматривать и использовать при этом однородный лагранжиан А х, х ) или обычный [c.235]

Мы можем теперь описать явление любого возможного столкновения в гамильтоновой динамике с помощью одной-единствепной функции W, зависящей от следующих аргументов [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...