Бифуркация

Эта глава, которая является вводной, содержит изложение основных понятий и положений, необходимых для изучения нелинейных колебаний. Прежде всего следует сказать несколько слов о колебательных явлениях вообще и о нелинейных колебаниях в частности. Общие закономерности, которыми обладают колебательные процессы в системах различной физической природы, составляют предмет науки, получившей название теории колебаний. Под колебательным явлением принято понимать либо то, что связано с фактом установившегося движения в рассматриваемой системе, либо то, что связано с процессом перехода от одного установившегося движения к другому. Установившееся движение характеризуется повторяемостью и определенной устойчивостью (смысл последнего понятия будет уточнен ниже). Переходные процессы характеризуются тем установившимся движением, к которому они приближаются. Множество переходных процессов данного установившегося движения образует его область притяжения. Смена установившихся движений, которая происходит в результате изменения какого-нибудь физического параметра рассматривае.мой системы при его переходе через некоторое значение, называется бифуркацией. Если при этом смена установившихся движений происходит достаточно быстро, т. е. скачкообразно, то говорят о жестком возникновении нового режима. В противном случае возникновение нового режима называют мягким . Колебательные явления, возникающие в так называемых нелинейных системах, называются нелинейными колебаниями. Однако, прежде чем определить, что такое нелинейная система, рассмотрим более общий класс систем, называемых динамическими системами. [c.7]

БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 4S [c.49]

Бифуркации динамических систем второго порядка [c.49]

БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [c.51]

Заметим, что в автономной системе второго порядка, состояние которой изображается точками на фазовом круговом цилиндре, может встретиться новый тип бифуркации, который невозможен в случае фазовой плоскости, а именно бифуркация, связанная с рождением или исчезновением предельных циклов, охватывающих фазовый цилиндр. В отличие от фазовой плоскости, где устойчивый предельный цикл отображает автоколебательное движение в системе, устойчивый предельный цикл, охватывающий фазовый цилиндр, соответствует периодическому ротационному (вращательному) движению. [c.52]

Для системы (3.4), содержащей лишь один параметр X, пространство параметров представляет собою прямую, а бифуркационные значения i = Xi — точки, разбивающие эту прямую на области, в каждой из которых изменение параметра X не приводит к изменению фазового портрета. Если система (3.4) содержит два параметра X и [i, тогда пространством параметров будет плоскость, разделенная на области одинакового поведения системы при помощи бифуркационных кривых. Зная структуру разбиения фазового пространства для какой-нибудь точки плоскости параметров Хц можно, непрерывно перемещаясь в этой плоскости, найти структуру фазового пространства для любой другой точки плоскости параметров. При этом нужно знать лишь характер бифуркации, которая происходит в фазовом пространстве при переходе той или другой бифуркационной границы. В этом заключается эвристическая ценность теории бифуркаций [7J. [c.52]

Задачей качественной теории многомерных динамических систем является совместное изучение структур разбиения фазового пространства и пространства параметров. Эта общая трактовка предмета исследования качественной теории, как математической основы теории нелинейных колебаний, включает в себя изучение установившихся движений и их бифуркаций, выяснение областей притяжения установившихся движений, а также глобальной картины их взаиморасположения и перехода друг в друга при изменении параметров [1—3, 36, 41]. [c.237]

На границе таких областей происходит либо исчезновение одного из этих движений, либо нарушение устойчивости. Поэтому задача выделения областей существования и устойчивости простейших установившихся движений (состояний равновесия и периодических движений) является частью более обш,ей задачи изучения бифуркаций особых точек и замкнутых фазовых кривых. Однако значимость теории бифуркации состоит не только в этом, но и в том, что она открывает путь к более полному изучению динамических систем и оказывается полезной даже при изучении конкретной динамической системы, которая ни от каких параметров не зависит. Последнее означает, что в ряде случаев изучение конкретной динамической системы существенно облегчается путем искусственного введения параметров и последующего использования теории бифуркаций. [c.251]

Перейдем к рассмотрению бифуркаций состояний равновесия и периодических движений. Пусть правая часть уравнения (7.1) гладко зависит от параметров Состояние равновесия является корнем уравнения [c.251]

Выше были описаны основные типы бифуркаций состояний равновесия. Их можно символически записать в виде [c.254]

Каждая из этих бифуркаций определяется некоторыми аналитическими условиями. Для их записи примем, что бифуркация происходит при возрастании скалярного параметра 1 в момент обращения его в нуль. Бифуркации (7.19) характеризуются тем, что при = О характеристическое уравнение (7.14) имеет нулевой корень X = 0 q — I корней с положительной и р корней с отрицательной действительными частями в первом случае и соответственно q и р — 1 корней — во втором случае. [c.254]

Бифуркации (7.20) и (7.21) разделяются в зависимости от знака величины [c.254]

Особый интерес представляют бифуркации устойчивого состояния равновесия. С устойчивым состоянием равновесия возможны следующие различные бифуркации [c.256]

При первой бифуркации устойчивое состояние равновесия сливается с седловым О и они оба исчезают, превращаясь в обыкновенную точку. [c.256]

Исследование бифуркаций периодических движений несколько сложнее, чем состояний равновесия, и получаемые при этом результаты многообразнее. Прежде всего заметим, что изучение части из них может быть сведено к исследованию бифуркаций неподвижных точек преобразования. Это те бифуркации, при которых точечное отображение Т секущей S продолжает существовать в некоторой фиксированной окрестности неподвижной точки О, несмотря на бифуркацию периодического движения (рис. 7.10), [c.257]

Бифуркации неподвижных точек преобразования во многом аналогичны уже описанным бифуркациям состояний равновесия. Пусть точечное отображение Т записано в виде [c.257]

Бифуркации неподвижной точки О при непрерывном изменении параметра, ведущего к проходу через поверхность Л/+1, совершенно такие же, как и для состояний равновесия. Именно при пересечении поверхности происходит слияние неподвижной точки 0 с неподвижной точкой одного из типов или с последующим их исчезновением. Однако вместе с этим исчезновением обеих неподвижных точек возможно появление простого или стохастического синхронизма (см. 5). Обсуждение такой возможности выходит за рамки этого параграфа и будет проведено в дальнейшем в 5. При пересечении границы Л 1 возникает бифуркация, при которой происходит смена типа неподвижной точки и одновременно из нее рождается или в ней исчезает цикл двухкратных неподвижных точек. Условно эту бифуркацию можно изобразить в виде [c.258]

Особый интерес эта бифуркация представляет в случае, когда она происходит с устойчивой неподвижной точкой О" . В этом случае она одного из видов [c.259]

При первой бифуркации устойчивая неподвижная точка вместе со своей областью притяжения непрерывно переходит в устойчивый цикл двукратных неподвижных точек и его область притяжения. Во втором — устойчивая неподвижная точка сливается с седловым циклом двукратных неподвижных точек и становится седловой. [c.259]

Если отображение Т — это отображение, порождаемое фазовыми траекториями, близкими к периодическому движению Г на секущей поверхности S, то первой из описанных бифуркаций устойчивой неподвижной точки соответствует мягкий режим удвоения периода колебаний. Поясняющие этот процесс фазовые картинки в трехмерном случае представлены на рис. 7.П. Как меняются при этом осциллограммы колебаний, изображено на рис. 7.12. При этом Г изображает родившееся движение удвоенного по отношению к периоду прежнего периодического движения Г Ч Периодическое движение переходит в На секущей поверхности S неподвижная точка переходит в О и при этом одновременно рождается цикл двукратных неподвижных точек (О, , 0.у ). На секущей поверхности S стрелками изображается отображение Т . Для отображения [c.259]

Особый интерес представляет бифуркация устойчивой неподвижной точки. Ее схема имеет один из видов [c.260]

Применим теперь полученные сведения к первоначальной задаче исследования бифуркаций периодических движений. Для этого достаточно иметь в виду, что неподвижной точке О" соответствует периодическое движение рр+1, 9+1 а замкнутой инвариантной одномерной кривой Г/1+1. q — инвариантная двумерная тороидальная поверхность Поэтому, в частности, первая из бифуркаций [c.261]

На этом закончим описание бифуркаций периодических движений, которые могут быть изучены с помощью прямого сведения к изучению точечного отображения секущей. В добавление к сказанному отметим, что для всех описанных выше бифуркаций имеются аналитические условия их осуществления. С ними можно ознакомиться по работам [1, 5, 37, 12]. [c.261]

Отметим еще, что эти исследования точечного отображения TL обнаружили не только случаи превращения фазовой траектории, двоякоасимптотической к состоянию равновесия, в периодическое движение, но и более сложные бифуркации, изучение которых примыкает к рассмотрению гомоклинических структур, о чем будет довольно подробно в дальнейшем рассказано. [c.264]

Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях и /V,,-Поверхность не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двоякоасимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для ->того требуется пересечение интегральных многообразий Sp и S.,, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности yv происходит слияние состояний равновесия О"" и Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку О"" проходят интегральные многообразия Sp и S, и через точку 0/>+1, -I — интегральные многообразия Sp i и S i. Пересечение многообразий Sq и Sp,.i является общим. В силу того, что на поверхности /V,, состояния равновесия О -" и сливаются, до момента этого слияния поверхности Sg и Sp+i в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазо- [c.264]

Описанная бифуркация может быть изображена в виде символической схемы [c.265]

Как и всегда, особый интерес представляет случай бифуркаций с участием устойчивых состояний равновесия и периодических движений. В этом случае р = п — 1. Далее, как [c.265]

Заметим, что основное содержание методов малого параметра [34] и асимптотических методов [20] может трактоваться как исследование специфических бифуркаций и возмущений. Так, теория периодических движений Пуанкаре решает вопрос о рождении периодических движений от семейств периодических движений, теория квазилинейных систем с быстровращающимися фазами — вопрос о рождении интегральных тороидальных многообразий от многопараметрических семейств тороидальных многообразий, теория дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных исследует сингулярные возмущения решений дифференциальных уравнений и т. д. [c.267]

Выше были описаны локальная структура и локальные бифуркации состояний равновесия и периодических движений. Наибольший непосредственный интерес среди них представляют устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. Только они могут быть установившимися движениями динамической системы, ее состояниями равновесия и периодическими движениями. Каждое устойчивое состояние равновесия и устойчивое периодическое движение имеет свою область притяжения. Возможен случай, когда эти области притяжения почти целиком заполняют все фазовое пространство. Под словами почти целиком имеется в виду, что вне этих областей могут быть лишь точки, не образующие областей, с общей нулевой мерой, например отдельные точки, линии или поверхности размерности, меньшей, чем размерность пространства. Для двумерных систем именно такова структура фазового пространства в общем случае. Для многомерных систем это не так. Однако было бы естественным выделить из них подкласс динамических систем с такой структурой — класс динамических систем, установившимися движениями которого могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения и почти все остальные движения являются асимптотическими по отношению к одному из них. Оговорка почти не имеет прямого смысла, поскольку в такой динамической системе нет реализуемых движений, отличных от устойчивых состояний равновесия и периодических движений и асимптотически приближающихся к ним. Она имеет чисто математический смысл, который, однако, имеет совсем другое, очень важное отношение к реальному поведению динамической системы. Эти исключительные и нереализуемые движения отделяют друг от друга движения, приближающиеся к различным установившимся движениям. В этом и состоит их [c.268]

Таким образом, мы пришли к описанию структуры фазового пространства рассматриваемого типа динамических систем с помощью конечного числа последовательностей точечных отображений и отвечающего им графа. Это описание дает общее представление о структуре фазового пространства таких динамических систем и возможных ее бифуркациях, а также указывает некоторый путь фактического исследования. [c.278]

Особые случаи, при которых график может касаться биссектрисы, представляют интерес, поскольку соответствуют бифуркациям точечного отображения. Эти особые [c.286]

На рис. 7.34 и 7.35 изображены фазы двух различных типов бифуркаций взаимно однозначного отображения, для которого / (х) 0. На рис. 7.34 изображена бифуркация, при которой происходит рождение или исчезновение двух циклов из двукратных неподвижных точек. Рис. 7.35 изображает бифуркацию смены устойчивости однократной неподвижной точки, при которой одновременно происходит рождение или исчезновение цикла двукратных неподвижных точек. [c.287]

Наконец, последний тип бифуркации проиллюстрирован на рис. 3.5, где показан случай рождения устойчивого предельного цикла из петли сепаратрисы седла. Пусть сепаратрисы седла при некотором значении X имеют расположение, представленное на рис. 3.5, а. Предположим, что при увеличении параметра X ветви сепаратрисы сближаются и при некотором значении Х == Яц сливаются, образуя петлю (рис. 3.5, б). Если при дальнейшем увеличе-1И1И X сепаратрисы седла вновь разделяются так, как показано на рис. 3.5, б, то из петли рождается предельный цикл. Значение А. = в этом случае является бифуркационным. [c.52]

Напомним, что при этой бифуркации при л = О характеристическое уравнение имеет два чисто мнимых корнягЬио. В случае (7.20) при [х = О, помимо двух чисто мнимых корней 10), имеется еще р — 2 корня с отрицательной действительной частью и с положительной. В случае (7.21) числа корней с отрицательной и положительной [c.254]

При двух следующих бифуркациях состояние равновесия в обоих случаях из устойчивого переходит в седловое и при этом одновременно из него рождается или в нем исчезнет устойчивое Г" или соответстветю седловое пер ЮДическое движение. [c.256]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Выше была изложена созданная к настоящему времени локальная теория состояний равновесия и периодических движений, а также попутно и отчасти неподвижных точек преобразования. При этом полностью рассмотрены все основные типы равновесий и периодических движений и их основные бифуркации. Это рассмотрение носит в некотором смысле законченный и завершенный характер. Точнее, можно думать, что рассмотрение более сложных случаев не даст ничего принципиально нового для общего понимания и общего качественного изучения динамических систем. Это естественно в предположении, что речь идет об изучении классов динамических систем, в котором только этим бифуркациям соответствуют в пространстве параметров разделяющие его бифуркационные поверхности. Вместе с тем эта надежда уже ни в коей мере не оправдывается для специальных классов динамических систем и в первую очередь для так называемых консервативных систем, где понятие общности совсем друп е, Когсерва-тивные системы требуют своего, во многом специфического исследования. Эта специфичность проявляется не всегда, многие вопросы и, в частности те, которым в значительной мере будет посвящен дальнейший текст, в полной мере относятся и к консервативному случаю. [c.267]

Заметим еще, что выше были рассмотрены основные бифуркации состояний равновесия и периодических движений достаточно гладких систем дифк.1зеренциальных уравнений. На практике довольно часто приходится сталкиваться [c.267]

Вариационные методы в теории упругости и пластичности (1987) -- [ c.90 ]

Техническая энциклопедия Том19 (1934) -- [ c.0 ]

Трение износ и смазка Трибология и триботехника (2003) -- [ c.310 ]

Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 (1999) -- [ c.304 ]

Хаотические колебания (1990) -- [ c.30 , c.173 , c.268 ]

Введение в теорию колебаний и волн (1999) -- [ c.312 ]

Механика электромагнитных сплошных сред (1991) -- [ c.328 ]

Синергетика иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах (0) -- [ c.63 , c.69 ]

Сопротивление материалов (1962) -- [ c.312 ]

Современная термодинамика (2002) -- [ c.428 , c.429 , c.430 ]

Элементы теории колебаний (2001) -- [ c.0 , c.101 , c.104 , c.107 , c.220 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...