Бифуркация фокуса

На рис. 7. ПО изображены последовательные стадии перехода через общие бифуркации от обычного синхронизма к стохастическому. При переходе от рис. а к б происходит смена узла на фокус. Затем (рис. 7. ПО, в) фокус меняет устойчивость, и от него рождается устойчивый предельный цикл. Одновременно происходит сближение сепаратрис седла 5Г и 5i и соответственно 52 и So. После этого (рис. 7. ПО, г) сепаратрисы пересекаются, причем вместе с пересечением сепаратрис 5а и 52 происходит исчезновение устойчивого предельного цикла. [c.364]

Заметим, что область притяжения аттрактора может как менять, так и не менять свой топологический тип при его внутренней бифуркации. Например, для потока на диске при рождении устойчивого предельного цикла из фокуса она из односвязной становится двухсвязной, а при возникновении точки типа седло-узел на устойчивом предельном цикле она двухсвязна и до, и после бифуркации. [c.160]

Статья 1 состоит из двух глав. Глава I посвящена классификации критических (теперь их называют особыми) точек линий тока на плоскости. В настоящее время понятие об особых точках рассматривается в курсах дифференциальных уравнений, в обзорных статьях, в справочниках, в курсе гидродинамики [1]. Во времена А. А. Фридмана, т. е. более 65 лет назад, появились за рубежом статьи по критическим точкам линий тока на плоскости, в которых или не было системы в классификации, или содержались некоторые погрешности. А. А. Фридман предложил мне провести разбор случаев плоского коллинеарного движения, применяя методику, исходящую от Пуанкаре. При этом кроме узла, седла, фокуса, центра были выделены также случаи бесконечно удаленной точки. Ввиду простоты и общеизвестности задачи я привожу главу I в сильно сокращенном виде. В главе II рассмотрено упрощенно пространственное движение, в котором пренебрегается вертикальной составляющей скорости. Это отдаленный прообраз современного понятия бифуркации — по параметру. Начало главы II дано без сокращений, но из пяти примеров приведены только два. [c.51]

Кинетическая картина фазового перехода представляется фазовыми портретами, показанными на рис. 2, 3, 5, 6, 8-11, и временной зависимостью пути, пройденного точкой по траектории (рис. 4). В случае перехода второго рода (рис. 2-6) фазовый портрет имеет при Se < S притягивающий узел D, отвечающий неупорядоченной фазе при Se > 5с он трансформируется в седло и появляется дополнительный узел/фокус О, соответствующий упорядоченной фазе. В отличие от этого на фазовом портрете первого рода (рис. 8-11) при 5е = 5 происходит бифуркация, в результате которой появляются седою 5, отвечающее энергетическому барьеру на зависимости V t ), и притягивающий узел/фокус О, соответствующий упорядоченной фазе при этом притягивающий узел D неупорядоченной фазы остается неизменным. С ростом управляющего параметра в интервале (5 , 5с) седло 5 стремится к узлу D, поглощая его в точке 5с, а узел/фокус О смещается в сторону возрастания величин параметра порядка и сопряженного поля. [c.43]

Численное моделирование показывает, что появление странного аттрактора для уравнения (29) связано с каскадом бифуркаций двух фокусов нри ж = 1, г/ = 0. Аналогично [17], с помогцью аналогового моделирования, можно установить поведение системы в зависимости от 7, у при фиксированных 6 в. со. В табл. [c.380]

Каскад бифуркаций удвоения периода обоих фокусов [c.381]

Численное моделирование показывает, что появление странного аттрактора для уравнения (70) связано с каскадом бифуркаций двух фокусов при ж = 1, г = 0. Аналогично [19] с помощью аналогового моделирования можно установить поведение системы в зависимости от уу при фиксированных 5 и а . В табл. 1. приведены результаты моделирования. [c.817]

XI = Х2 = О является устойчивым фокусом, а при 8р /с > О — неустойчивым фокусом. Если п = 1, то при ш = 2 возникает динамическая бифуркация [125]. При докритических значениях т < 2 возмущения затухают, а в интервале 2 < ш < 4 возникает устойчивый закритический предельный цикл. В новых переменных гамильтониан приобретает вид Я = + АЯ, Я = [c.457]

Превращение устойчивого фокуса при прохождении через нуль в неустойчивый фокус, окруженный предельным циклом, называют бифуркацией Хопфа. Самая впечатляющая особенность этого перехода — перестройка фазового портрета — возникает при сколь угодно малом изменении управляющего параметра е. Возможно, аналогичный механизм лежит в основе такого метода воздействия на биологическую систему человека, как иглоукалывание. [c.173]

На базе нелинейных уравнений исследуется устойчивость прямолинейного поступательного торможения при наличии линейного демпфирующего момента. Показано, чю в рамках рассматриваемой модели в принципе могуг возникнуть автоколебания, соответствующие предельным циклам, коюрые рождаются из слабого фокуса (известная бифуркация Андронова-Хопфа). [c.282]

См. рис. 117, 118, на которых представлены бифуркации сложного фокуса в случаях 1) и 2).) [c.166]

Тогда при переходе от значений Я < ц) к значениям X > Хо смена устойчивости фокуса может осуществляться без рождения предельного цикла. Простейший пример такой бифуркации дает линейная система вида [c.190]

Бифуркации от бесконечности . В 2 рассматривалась смена качественных структур, которая происходила вблизи негрубого особого элемента (сложной особой точки, сложного фокуса и т. д.), лежащего внутри области определения динамической системы. Очевидно, можно также рассмотреть и возможные смены качественных структур в том случае, когда негрубый особый элемент лежит на границе области определения динамической системы. Не останавливаясь на случае, когда система (А, ) определена в ограниченной части плоскости, укажем некоторые возможности бифуркаций от бесконечности в случае, когда [c.194]

Состояния равновесия и их бифуркации. Возможны одно или три грубых состояния равновесия. В случае одного состояния равновесия имеем фокус (узел), устойчивый, если в точке пересечения изоклин выполняется условие ф (а )> —1, и неустойчивый в противоположном случае. В случае трех состояний равновесия между фокусами (узлами) лежит седло. [c.293]

Структуры разбиения фазового пространства и бифуркации при изменении параметров вдоль прямой смены устойчивости фокуса х. Проследим за бифуркациями и изменением качественной структуры разбиения фазов.эго пространства при из-менении параметров вдоль прямой Ь = 0. [c.296]

Структура разбиения фазового пространства и бифуркации при изменении параметров вдоль линии симметричных структур. Проследим за бифуркациями и изменением структуры фазового пространства вдоль линии симметричных структур L=Q. Пусть X > Хг (Хг определяется выражением (4)). Единственное состояние равновесия системы — неустойчивый фокус (узел). Бесконечность неустойчива. Вокруг фокуса существует [c.297]

Структуры разбиения фазового пространства и бифуркации при изменении параметров вдоль дискриминантной кривой. Проследим за бифуркациями и изменением структуры фазового пространства вдоль нижней ветви дискриминантной кривой, начиная от точки возврата (Я = Яг). На интервале Я1 < Я < Яг будет существовать структура с неустойчивым фокусом и седло-узлом с неустойчивой узловой областью внутри устойчивого предельного цикла (рис. 159,70). При убывании Я от значения Я = Я1 фокус х меняет устойчивость и, так как аз > О, из него рождается неустойчивый предельный цикл (рис. 159,5). Чтобы проследить за дальнейшими бифуркациями при убывании Я до нуля, следует прежде всего выяснить структуру при Я == 0. Она легко определяется, так как при Я = О существует интегральная пря- [c.298]

В точках пересечения рассматриваемой полупрямой (16) с прямыми 1 = 0 и 2 = 0 происходят бифуркации состояний равновесия при уменьшении X сначала из фокуса х (рис. 160,10) и затем из фокуса Х2 рождаются неустойчивые предельные циклы (фокусы становятся устойчивыми) и возникает структура с тремя предельными циклами (рис. 160,9). Так как при Х = 0 предельных циклов нет (г/ = о — интегральная прямая, качественная структура эквивалентна структуре рис. 160,7), то рассуждениями, аналогичными проведенным в п. 3.4, находим, что при убывании X до нуля должны осуществиться следующие бифуркации сепаратрис возникновение петли сепаратрисы вокруг верхнего фокуса, вокруг нижнего фокуса, возникновение большой петли, содержащей внутри два состояния равновесия. Так как седловая величина положительна (Р + ( у = — ф xq) — 1 = a—1,гдеЯ — координата [c.301]

Следующая бифуркация прослеживается при переходе точки через кривую Оз = 0 при этом из состояния равновесия при возрастании [х появляется неустойчивый предельный цикл. Бифуркационному значению параметра х соответствует разбиение на траектории, представленное на рис. 169,5—4 (с особой точкой — сложным фокусом), а значениям справа от кривой Оз == О (не слишком далеко от кривой)—картина, изображенная на рис.169,4. Вокруг устойчивого фокуса появился предельный цикл. [c.317]

Как указано в 4 гл. 10, при бифуркациях такого состояния равновесия возникает петля сепаратрисы. При значениях параметров, при которых точка М лежит на нижней ветви кривой Д (см. рис. 171, а, б), нетрудно видеть, опираясь на проведенное исследование характера состояний равновесия, что эта петля окружает левое состояние равновесия — узел или фокус. При значениях же параметров, при которых точка М лежит на верхней части кривой Д — при бифуркациях точки М, появляется петля вокруг правого узла илн фокуса. Пусть параметры изменяются так, что от первого из указанных расположений [c.332]

Задача выделения классов характеристик, по отношению к которым пространство параметров Я системы (1) будет грубым, сводится к задаче изучения бифуркаций, возможных в системе при изменении характеристик. Если при замене одной характеристики другой не исчезают какие-либо возможные бифуркации и не появляются новые, то система будет грубой в указанном выше смысле по отношению к этим характеристикам. В общем случае эта задача очень трудна и не существует регулярных методов для ее решения. Бифуркации, возможные в системе, в неодинаковой степени доступны для исследования. Простейшие из них характеризуются значениями некоторых величин, отнесенных к точке фазового пространства (таковы бифуркации сложных состояний равновесия или бифуркации, связанные с оценкой числа предельных циклов, появляющихся из состояния равновесия типа фокус пли от петли сепаратрисы), другие требуют сведений о глобальном поведении траекторий и не могут быть получены регулярными методами (сюда относятся весьма сложные вопросы [c.432]

Естественно рассмотреть в первую очередь бифуркации простейших негрубых элементов и, прежде всего, простейших негрубых состояний равновесия. В трехмерных системах, так же как и в двумерных, простейшими негрубыми являются состояния равновесия с двумя чисто мнимыми характеристическими корнями. Для них Ляпуновым аналогично двумерным системам введены ляпуновские величины . В простейших из этих состояний равновесия первая ляпуновская величина отлична от нуля. В этом простейшем случае в трехмерных системах состояния равновесия могут быть двух типов сложным фокусом (устойчивым или неустойчивым) и сложным седло-фокусом °). Далее, простейшими негрубыми состояниями равновесия в трехмерных системах могут быть двукратные состояния равновесия, возникшие в результате слияния двух простых. На рис. 253 показано образование двукратного состояния равновесия седло-фокус — фокус в результате слияния двух простых — седло-фокуса и устойчивого фокуса. При надлежащих изменениях правых частей системы двукратные состояния равновесия либо опять разделяются на простые, либо исчезают (см. [38 ]). На рис. 254 [c.471]

Возможные бифуркации простейшего сложного фокуса с отличной от нуля первой ляпуновской величиной либо фокус становится грубым той же устойчивости, что и сложный фокус, либо из сложного фокуса рождается предельный цикл, а сложный фокус превращается в седло-фокус (см. [37 ]). [c.472]

Пусть со не меняется и не происходит бифуркаций слияния неподвижных точек. Тогда возможные изменения будут состоять только в изменениях неподвижных точек и расположениях сепаратрисных кривых. При этом седло-вые точки должны оставаться седловыми. А узлы могут переходить в фокусы и обратно. Фокус может сменить устойчивость, и при этом от него отделится либо обычный, либо стохастический синхронизм. При смене взаимного расположения сепаратрис может произойти возникновение стохастического синхронизма. Эта бифуркация в суженном виде будет в дальнеЙ1ием рассмотрена отдельно. Сейчас же ограничимся ее изображением на рис. 7. ПО. [c.364]

О бифуркациях динамических систем, близких к системам с сепара-трисным контуром, содержащим седло-фокус. В сб. Методы качественной теории дифференциальных уравнений . Горький, 1980, 44—72 [c.212]

Ниже приводится более полное описание фазовых портретов и их изменений для М = 0,1 к = 0,05 и О < ц, 1,8. При = () фазовый портрет имеет такой же вид, как на рис. 7.40. Первая существенная бифуркация с ростом параметра л происходит при ц = 0,11. При этом возникает сложная неподвижная точка типа седлоузел, которая с дальнейшим ростом ц, распадается на устойчивую узловую неподвижную точку А и неустойчивую седловую В . Затем с ростом параметра ц в интервале 0,12 < ц < 1,43 устойчивая узловая точка А становится устойчивым фокусом, от- [c.206]

Таким образом, существует точка ( фокус ), выше которой стационарное состояние неустойчиво и возникает стационарный периодический процесс, называемый предельным циклом. Иными словами, дело имеем с точкой бифуркации, в которой расщепляется траектория, при этом одной ветвью является устойчивый предельный цикл. Пример траекторий в фазовом пространстве X, V при различных начальных условиях показан на рис. 3.20. Видно асипмтотическое приближение системы к замкнутой орбите (предельному циклу) в плоскости X, У. Можно показать, что система имеет единственный предельпьп1 цикл, устойчивый к малым возмущениям [37]. [c.82]

Далее изложим результаты Афраймовича, Быкова и Шильникова (1977) (рис. 2.32). При г = г1 13,92 они обнаружили бифуркацию, при которой сепаратрисы возвращаются в седло. При г > Г из петель сепаратрис рождаются седловые периодические движения +, вокруг фокусов С+, С (и одновременно появляется не являющееся аттрактором инвариантное множество линий канторовской структуры, включающее счетное множество седло-вых периодических движений сепаратрисы Г+, Г пересекаются и стремятся [c.151]

В главе 8 обсуждаются некоторые следствия введения слагаемых, х актеризующих вращательную производную момента аэрогидродинамических сил по угловой скорости. В задаче о плоскопараллельном свободном торможении тела в среде на базе нелинейных уравнений исследуется устойчивость прямолинейного поступательного торможения при наличии линейного демпфирующего момента. Показано, что в рамках рассматриваемой модели в принципе могут возникнуть автоколебания, соответствующие предельным циклам, которые рождаются из слабого фокуса (известная бифуркация Андронова-Хопфа). Последний аспект является возможным положительным ответом на главный вопрос нелинейного анализа— может ли начало координат на плоскости (или Л а,со ) стать устойчивым (что [c.37]

Во второй главе затрагиваются некоторые вопросы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решений которых зависит исследование как (чисто) диссипативных динамических систем, так и систем с переменной диссипацией, рассматриваемых ниже и возникающих в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой. Рассматриваются такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса наличия замкнутых траекторий, в том числе, таких, которые охватывают фазовый цилиндр качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования семейств дпинноперио-дических и устойчивых по Пуассону траекторий. Исследуются также возможности перенесения теории двумерных топографических систем Пуанкаре и систем сравнения на многомер-ныйслучай(см. также[168,250, 251, 266, 291, 300]). [c.69]

Замечание 2. Основным моментом существования указанной бифуркации является наличие негрубого положения равновесия (но только фокуса - аттрактора или репеллера). Можно привести примеры, когда все условия теоремы выполнены кроме одного как в линейном, так и в нелинейном случае положение равновесия является центром. Последнее условие и является ключевым в данном вопросе. Оно будет противоречить рождению фубого предельного цикла (ср. с [11]). [c.72]

I. Юшссические методы нахождения замкнутых траекторий систем обыкновенных дифференциальных уравнений около (регулярных) особых точек восходят к работам А. Пуанкаре (1892 г.) (см., например, 3). Позже исследования по данному вопросу были продолжены в работах А. А. Андронова, Хопфа, и других авторов (например, известная бифуркация рождения цикла из слабого фокуса в многомерном пространстве). [c.136]

II. Бифуркации сложного фокуса первого порядка, т. е. состояния равновесия О с чисто мнимыми характеристическими корнями ( -1 = гЬ, к.2 = — 6) и с не равной нулю первой ляпуновской величиной ( 3 = 1= =0). Как было указано (см. 5 гл. 3), в случае состояния равновесия с чисто мнимыми корнями все полупрямые с концом в точке О не имеют контактов с траекториями в достаточно малой окрестности О, и на достаточно близкой к О части (с концом в О) любой из таких полупрямых может быть построена функция последования, которая в рассматриваемом случае имеет вид [c.165]

Сопоставим теперь расположение а- и со-сепаратрис для структур на 1>пс. 159, 9 и 159, 3. Отметим точки пересечения с а- и со-сепаратрисами на отрезке прямой х = Ж1 выше фокуса (ближайшие но ходу сепаратрис от седло-узла). Для структуры на рис. 159,9 след со-сепаратрисы на прямой х = Х1 расположен ниже следов а-сенаратрис. Для структуры на рис. 159,5, наоборо-рот — выше. При убывании Я последовательно должны осуществиться бифуркации, соответствующие совпадению на прямой X = XI следа со-сепаратрисы со следом ссгсепаратрисы (выходящей из седло-узла вверх) и со следом аз-сенаратрисы (выходящей вниз). Так как седловая величина (Рж + у)2 = Я—1 при Я > 1 положительна, то при образовании первой петли (при Я = Я ) к ней стягивается неустойчивый предельный цикл (см. гл. И) (рпс. 159, 8). При расположении следа со-сепаратрисы между следами аг и аг-сепаратрис будет существовать замкнутый контур, образованный со-сепаратрисой седло-узла (рис. 159,7). При совпадении следов со- и аг-сепаратрис при Я == Я < Я возникает петля сепаратрисы (рис. 159,6), от которой при ее разрушении с уменьшением Я рождается неустойчивый предельный цикл, охватывающий оба состояния равновесия, и возникает [c.300]

Известными методами качественной теории обнаруживается, что для всех значений параметров а>0, s>0, Я>0, 0< состояния равновесия Oi (ar sin , 0) — устойчивый узел или фокус, Ог (л — ar sin , 0)—седло. Траектории на нижнем полуцилиндре идут из бесконечности на верхний полуцилиндр. На нижнем полуцилиндре и вокруг точки Oi циклов пет (см. 6). Все бифуркации могут происходить только на верхнем полуцилиндре. [c.340]

Кроме указанных бифуркаций, в сшитых системах могут быть также некоторые специфические для таких систем бифуркации. В силу того, что в сшитых системах аналогами состояний равновесия могут быть дуги притяжения или отталкивания (см. рис. 193, а), состоящие из неподвижных точек, илп область, заполненная замкнутыми траекториями, и т. п., то, естественно, встречаются также бифуркации таких образований, аналогичные рождению предельного цикла из фокуса. Однако мы не будел их здесь рассматривать особо, а рассмотрим их, если они встретятся в конкретных примерах. Ниже мы приведем рассмотрение некоторых из перечисленных выше простейших бифуркаций. [c.368]

Для исследования свойств и бифуркаций такого квазифокуса построим в его окрестности на линии сшивания х = О функцию последования (точечное отображение), как и в случае настоящего сшитого фокуса (см. 4, п. 1). Будем строить эту функцию последования из двух функций соответствия между положительной и отрицательной полуосью у одной — по траекториям системы (8) и другой — по траекториям системы (9). Будем строить эти функции соответствия, используя общие интегралы систем (8) и (9), в окрестности точки 0(0, 0). Так как точка 0(0, 0) является неособой точкой для систем (8) и (9), и (по условию) каждая из этих систем определена в некоторой полной окрестности точки 0(0, 0), то в силу общих теорем (см. гл. 1) в окрестности этой точки (локально) существуют интегралы этих систем вида [c.374]

Разбиение пространства параметров на области с различными качественными структурами фазового пространства. Проследим за сменой структур и бифуркациями при изменении л для фиксированного Л = Яо из интервала 1 < Л < иь При л = О качественная картина разбиения фазового пространства эквивалентна представленной на рис. 169, 1. Бесконечность устойчива. Для л из интервала О < 1 <Яо качественная картина будет эквивалентна представленной на рис. 169, 2. Бесконечность неустойчива. Из нее появился устойчивый предельный цикл. При Ц, = Яо в точке (О, 1) появляется спгатое вырожденное состояние равновесия (если [X < Ц, ) или сшитый седло-узел с устойчивой узловой областью (если [X > х ). Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 168, II—III или 168, III соответственно. При дальнейшем возрастании х сложная сшитая особая точка разделяется на две простые седло 04(94, pi) и устойчивый фокус (узел) Оз(фз, рз). Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 169,5. Обе со-сепаратрисы седла Oi идут в точку [c.436]

Сохранение структуры разбиения плоскости параметров в этих точках требует более жестких условий для класса характеристик, не изменяющих структуру разбиения плоскости параметров. Такой точкой, например, для рассматриваемой плоскости параметров о, V при характеристиках рис. 243, а, б будет точка А, в которой смыкаются пять областей. Пеизменность качественной структуры разбиения плоскости параметров системы (9) при характеристиках рис. 243, а, б обуславливается тем, что величина Рц, + Qy с точностью до величин порядка для фокуса и для седла имеет одинаковое значение при обеих аппроксимациях, и при изменении знака а не только появляется цикл из особой точки, но и происходит изменение характера бифуркаций для петли сепаратрисы. Это условие не будет соблюдено, еслп перейти к релейным характеристикам. [c.455]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...