Точка бифуркации неустойчивая

Эта форма равновесия становится безразличной в критической точке (в первой точке бифуркации) и неустойчивой на всем протяжении оси параметра нагрузки выше первой точки бифуркации. Возникающие в первой точке бифуркации новые формы равновесия устойчивы. Формы же равновесия, возникающие во всех остальных точках бифуркации, неустойчивы. Точки бифуркации могут быть найдены как из нелинейных уравнений, так и из линеаризованных уравнений равновесия системы в отклоненном от первоначальной формы положении. [c.325]

Изменение энергии П, будучи функцией нечетной степени, знакопеременно, и, значит, по теореме Четаева положение ф = 0 в точке бифуркации неустойчиво. [c.409]

В заключение отметим, что пороговые значения <%=0,21 и 0,32 u/Ni= =0,3 и 0,58 являются параметрами порядка, контролирующими поведение системы в точках неустойчивости, являясь координатами точек бифуркации. [c.127]

Использование особых свойств среды при переходах устойчивость - неустойчивость - устойчивость позволяет придать физический смысл Kth как параметру, отвечающему точкам бифуркаций при дискретных переходах от одной пороговой скорости к другой. [c.307]

Сначала рассмотрим вертикальное положение маятника (ф=0). Условие устойчивости выполняется при Р<с//. При силе, большей Il, вертикальное положение маятника оказывается неустойчивым. Таким образом, все точки оси ординат, расположенные ниже точки бифуркации Д, отражают устойчивое положение равновесия, а выше — неустойчивое. [c.420]

При синергетическом описании эволюции открытых систем рассматриваются переходы от одних механизмов самоорганизации (способы диссипации энергии при разрушении материала) к другим в критических точках неустойчивости, которые названы точками бифуркации [43-46]. В точках бифуркации система претерпевает принципиальные изменения в способности реагировать на подводимую энергию извне, а следовательно, кинетические уравнения в точках бифуркации должны дискретно сменять любой свой вид, либо дискретно меняются параметры этих уравнений. Чтобы применить к металлу указанный подход описания эволюции открытых систем с целью изучения распространяющихся трещин в элементах конструкций при многопараметрическом воздействии, необходимо показать существование в металле строго упорядоченных процессов (механизмов) разрушения и доказать независимость их реализации от условий или параметров внешнего воздействия. [c.100]

Открытая система эволюционирует путем чередования устойчивых и неустойчивых ее положений при переходе через критические точки, названные точками бифуркации [46]. Неизбежность возникновения неустойчивости перед переходом через точку бифуркации связана с возникновением флуктуаций в системе. В момент перехода через критическую точку система осуществ.пяет выбор того типа диссипативной структуры, который обеспечивает наиболее энергоемкий способ ее дальнейшей эволюции. [c.119]

Нестабильное разрушение при росте трещины начинается в момент достижения предельного напряженного состояния материала, при котором уже не может быть реализовано ее стабильное подрастание в цикле нагружения. Предельный переход к нестабильному разрушению в условиях постоянной деформации и постоянного нагружения достигается при одной и той же величине предельного шага усталостной бороздки, поскольку именно ее величина характеризует свойство материала реализовывать работу пластической деформации и разрушения вплоть до достижения критического состояния, связанного с достижением неустойчивости в точке бифуркации. Это позволяет записать в случае постоянной деформации [c.222]

Предельное состояние материала с распространяющейся в нем усталостной трещиной первоначально достигается в середине ее фронта, где стеснение пластической деформации максимально. Происходит статическое проскальзывание трещины, а затем оно реализуется уже по всему фронту, в том числе и у поверхности образца или детали. Предельное состояние отвечает началу нестабильности развития разрушения, что отражает переход через точку бифуркации, когда материал имеет высокую неустойчивость по отношению к параметрам цикла нагружения. Небольшие флуктуации в условиях нагружения порождают дискретный переход к быстрому разрушению при разном размере трещины от образца к образцу, что отражает рассеивание предельной величины КИН для этапа стабильного роста трещины. Эго также отражается в колебаниях выявляемой предельной величины шага усталостных бороздок или скорости роста трещины в момент перехода к нестабильности. [c.287]

Рис. 18,18. Различные виды кривых Р —f а) случай с устойчивыми формами равновесия, возникающими в точке бифуркации б) картина, линеаризованная по отношению к изображенным на рис. а и а а) случай с неустойчивыми смежными формами равновесия, возникающими в точке бифуркации.

Формы равновесия, возникающие во второй точке бифуркации Вг, неустойчивы, поскольку наличие неположительных корней характеристического уравнения приводит к тому, что общее решение дифференциальных уравнений (относительно Дф1 и Дф2) выражается через гиперболические функции (аналогично тому, как это показано в таблице 18.2) и с течением времени происходит неограниченный рост Дф1 и Дфг. [c.325]

Таким образом, в интервале изменения нагрузки —1 < р < 1 система может иметь четыре положения равновесия два вертикальных ф = о, ф = я и два наклонных, характеризуемых условием (18.123) при этом вертикальные положения устойчивы, а наклонные неустойчивы. Вне указанного интервала возможны только два вертикальных положения ф = 0 и ф = я, из них первое устойчиво при р < 1, а второе при р > —1. Пусть нагрузка р увеличивается от нулевого значения. Тогда точка бифуркации Лб (см. рис. 18.61, а) имеет смысл границы устойчивости вертикального положения ф = 0. Исходящие из этой точки три положения равновесия — первоначальное вертикальное и два новых наклонных, а также равновесие, соответствующее самой точке бифуркации, — все неустойчивы. Такой же смысл имеет точка бифуркации С1 для вертикального положения ф = я, если нагрузка р убывает от нуля. [c.397]

Описанная выше неустойчивость, подобно неустойчивости классического типа (см. 18.2, раздел 3), характеризуется совпадением критической точки и точки бифуркации и условием 6р/6ф=0 в критическом состоянии. Существенное ее отличие заключается в том, что закритические состояния системы, ис- [c.398]

Полная потенциальная энергия в окрестности точки бифуркации. Отметим еще раз, что тип неустойчивости первоначального равновесия идеальной системы определялся путем анализа ее закритического поведения при больших перемещениях. Однако рассмотрение рис. 18.72 показывает определенную связь типа неустойчивости с типом точки бифуркации. Это позволяет предположить, что закритическое поведение системы может быть предсказано на основе ее изучения при одной только критической нагрузке. Понятно, что для этого необходим нелинейный подход, поскольку линейный анализ первоначального равновесия не обнаруживает ни типа неустойчивости, ни типа точки бифуркации (см. разделы 2 и 6.3) ). [c.413]

Согласно этой формуле, П > О при р > р и П < О при р < р, что и означает устойчивость в первом случае и неустойчивость во втором. Самой точке бифуркации, как видно из выражения [c.416]

Классификация точек бифуркации. Точки бифуркации иногда подразделяют на устойчивые и неустойчивые. Устойчивой называют точку бифуркации, в которой для смежного равновесия выполняется условие [c.416]

Цилиндрическая оболочка, будучи системой с несимметричной диаграммой и неустойчивой точкой бифуркации, проявляет острую чувствительность к несовершенствам (см. разделы 6.4 и 7.4) даже весьма небольшие начальные искривления поверхности с выпуклостью, направленной к центру кривизны, приводят к заметному падению верхней критической нагрузки. Диаграмма сила — перемещение неидеальной оболочки имеет вид кривой 2 на рис. 18.78, в. [c.419]

Если потеря устойчивости принадлежит типу, которому отвечает диаграмма Р — /с точкой бифуркации, то в системах с числом степеней свободы более одной число точек бифуркации на оси Р равно числу степеней свободы, но критической из них является одна — первая (В]), ближайшая к началу координат. Кроме того, все формы равновесия, возникающие в точках бифуркации Вг, Вз,. .., неустойчивы. О том, устойчивы или неустойчивы формы равновесия, возникающие в точке Вь сказано выще. [c.467]

В дальнейшем нам будут встречаться критические точки бифуркации двух рассмотренных выше основных типов. В критической точке бифуркации первого типа исходная устойчивая форма равновесия сменяется другой устойчивой формой равновесия, причем точка бифуркации первого типа соответствует устойчивому равновесию (например, точка на рис. 1.10, а). В критической точке бифуркации второго типа исходная устойчивая форма равновесия сменяется другой неустойчивой формой равновесия, причем и точка бифуркации второго типа соответствует неустойчивому равновесию (например, точка В на рис. 1.10, б). [c.17]

Вообще говоря, могут быть точки бифуркации других типов, например, точки, в которых пресекаются два решения, соответствующие неустойчивым положениям равновесия (согласно приведенному выше определению они не являются критическими). [c.17]

Энергетический подход к определению точек бифуркации и критических нагрузок может быть применен и в более сложных случаях. Для систем с распределенными параметрами при Р > > Ркр исходное состояние равновесия всегда соответствует точкам минимакса полной потенциальной энергии, т. е. при любых значениях Р > Ркр полная потенциальная энергия в исходном неустойчивом состоянии не становится максимальной. [c.30]

Рассмотренные выше методы определения фрактальной размерности различных объектов достаточно сложны, так как требуют специальной аппаратуры и сложных расчетов. В значительной мере это связано с тем, что эти методы не опираются на свойства синергетических систем, связанных с самоорганизацией в точках бифуркаций диссипативных структур, обладающих фрактальностью. Их учет позволяет обосновать наличие связи между свойствами системы (например, в виде деформируемого материала) и фрактальной размерностью структур, определяющих переходы устойчивость—неустойчивость—устойчивость. Эта возможность определяется наличием взаимосвязи между параметрами, контролирующими критические точки (в данном случае бифуркаций). [c.74]

В отличие от принципа минимума производства энтропии в стационарных состояниях, подразумевающего временную эволюцию, в соотношении (108) рассматривается эволюция стационарных состояний открытой системы в пространстве управляющих параметров А(к, а) (рис. 75). Если точка А(. является точкой бифуркации при неравновесном фазовом переходе, в результате которого устанавливается новое устойчивое стационарное состояние, то левая часть неравенства (108) характеризует производство энтропии в этом устойчивом (при А > Ас) состоянии, а правая часть неравенства — производство энтропии в предполагаемом "старом" стационарном состоянии, устойчивом при Л < Лр и неустойчивом при А > А . [c.105]

Из приведенных выше определений устойчивости вытекает по существу одинаковый метод исследования элементов конструкций— метод проб на устойчивость путем возмущения исходного состояния при достигнутом уровне нагружения. Этот метод обладает существенным недостатком. Он не рассматривает процесс нагружения, с помощью которого достигнут данный уровень внешних сил, и ограничивает анализ устойчивости системы малой окрестностью точки бифуркации. Такой анализ почти никакой информации о после-бифуркационном процессе деформирования конструкции и ее элементов дать не может, а потому он не определяет их индивидуль-ного поведения. Судить об устойчивости или неустойчивости конструкции без исследования послебифуркационного поведения невозможно. Отмеченное еще в большей мере относится к неупругим системам, поскольку их деформация существенно зависит от истории наг жения. [c.319]

На рис. 15.4 (6 = 0) эти же зависимости приведены для упругопластических систем. Из рис. 15.4 видно, что послебифуркационное поведение упругопластических систем в корне отличается от поведения упругих. Во-первых, имеется целый спектр нагрузок бифуркации р <р <рэ с устойчивым (pt p pk) либо неустойчивым (Рк Р <Рз) послебифуркационным поведением у одного и того же элемента. Поэтому среди точек бифуркации различают устой- [c.321]

Эйлерова точка бифуркации для упругих систем может быть устойчивой (стержни, пластины) и неустойчивой (оболочки, панели) (см. рис. 15.1—15.3). Послебифуркацнонное поведение упругопластической системы в процессе ее нагружения из устойчивых точек бифуркации может обнаружить резервы послебифуркационной устойчивости и прочности при выпучивании. В силу этого различают докритический и послекритический процессы выпучивания. Критическое состояние имеет место в предельных точках точках бифуркации Пуанкаре), в которых имеет место условие dp/d/=0 или [c.322]

Анализ выпучивания и устойчивости идеальных упругих и неупругих систем не является общим при решении вопроса об устойчивости конструкций и их элементов, поскольку последние обладают различного рода несовершенствами. Неустойчивость реальных конструкций и их элементов с несовершенствами наступает в предельных точках или точках бифуркации Пуанкаре точно так же, как и для идеальных систем с устойчивым послебифуркационным поведением, В связи с этим все начальные несовершенства формы и приложения нагрузок принимаются за возмущающие факторы с наложенными на них ограничениями, и об устойчивости исходного процесса нагружения идеальной системы судят по пребыванию системы с возмущенной формой в окрестности основного процесса. Следовательно, на процесс выпучивания системы с начальными несовершенствами, так же как на послебифуркационный процесс выпучивания идеальной системы, следует смотреть как на возмущенный процесс, с помощью которого исследуются устойчивость конструкции, которую стремятся всегда создавать как совершенную. Этот докритический процесс завершается потерей устойчивости в предельной точке (точке бифуркации Пуанкаре) и послекритиче-ским выпучиванием. [c.322]

Преобразование (32,5) имеет неподвил<ную точку — корень уравнения х, = 1 —Хх . Эта точка становится неустойчивой при X > Л[, где Ai — значение параметра Х, для которого мультипликатор (х = —2Я,л , = —1 из двух написанных уравнений находим Л = 3/4. Это — первое критическое значение параметра Х, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант затем будут сформулированы точные утверждения. [c.173]

Повышение плотности дислокаций на сгадии циклического деформаци-0НН010 упрочнения приводит к формированию упорядоченных самоорганизующихся дислокационных структур (СДС). Эти структуры в основном являются диссипативными. И. Пригожин и И. Стенгерс образование диссипативных структур связывают с термодинамической неустойчивостью системтя в точке бифуркации, когда, например, хаотическая структура перейдет на новый более дифференцированный и более высокий уровень упорядоченности или организации (например, формирование в металлах при циклической де- [c.36]

Уравнения (2.32) и (2.33) свидетельствуют об отсутствии критической ситуации, если первая производная в рассматриваемый интервал времени отлична от нуля. При равенстве ее нулю могут быть определены значения параметров уравнения эволюции, при которых достигается критическая точка бифуркации. Второе эволюционное уравнение показывает, какой является точка бифуркации. Возможны три сл ая вторая производная равна нулю, больше и меньше н ля. Равенство второй производной нулю означает нейтральное положение системы, когда из неустойчивого она может стать устойчивой и наоборот. При положительной второй производной система находится в явно устойчивом положении. При отрицательной второй производной система находится в устойчивом положении, из которого ее можно вывести только за счет очень сильных возмущений. Примером последней ситуации может служить длительная задержка усталостной трепда- [c.124]

В точках А и D на кривой равновесных положений неиде-альной системы устойчивость сменяется неустойчивостью при этом разветвление равновесий не наблюдается. Следовательно, А и D — это критические точки, но не точки бифуркации. Такого рода точки на диаграмме сила — перемещение называются предельными. Равновесия, соответствующие самим предельным точкам А и D являются неустойчивыми. [c.403]

Рис. 18.74, Различные типы точек бифуркации а, б) нейтральные в г) пеустойчипые несимметричные д) устойчивая симметричная е) неустойчивая симметричная.

Вторая система качественно иначе ведет себя под нагрузкой. Исходное вертикальное положение стержня остается устойчивым до тех пор, пока Р < 1. В точке бифуркации ось ординат, соответствующая на рис. 1.10, б исходному положению равновесия, пересекается с кривой Р = os ф, которая описывает новое неустойчивое положение равновесия. Точка критическая, поскольку при переходе через нее устойчивое исходное положение равновесия становится неустойчивым. Для второй системы критическая нагрузка == < 1- При достижении критической нагрузки рассматриваемая система не сможет оставаться в исходном вертикальном положении, поскольку оно становится неустойчивым и любые сколь угодно малые возмущения выведут ее из него. Но в отличие от первой системы у второй нет никаких новых устойчивых положений статического равновесия в окрестности критической точки бифуркации 5 . Поэтому потеря устойчивости исходного вертикального положения равновесия неиз- [c.16]

При разгрузке две рассматриваемые системы ведут себя также по-разному. При уменьшении нагрузки первая система в обратном порядке проходит все этапы нагружения в точке бифуркации устойчивое отклоненное положение равновесия сменяется устойчивым неотклоненным положением (рис. 1.10, а). Вторая система проходит через новую точку бифуркации В2, где становится неустойчивым отклоненное положение равновесия. При достижении точки бифуркации система возвращается в исходное положение путем перескока (рис. 1.10, б). В таких случаях точку Bi иногда называют верхней критической точкой, соответствующее ей значение нагрузки — верхним критическим значением. Точку 5а называют нижней критической точкой, соответствующее ее значение нагрузки — нижним критическим значением нагрузки. Эти значения нагрузок будем соответственно обозначать (или Р р) и f 2кр- Так, в рассмотренном примере = = с1 и Ракр = —с/. [c.17]

Если закрепления краев оболочки исключают возможность чисто изгибной деформации, то при потере устойчивости поведение тонких оболочек становится качественно иным. В этом случае критическая точка бифуркации идеально правильной оболочки оказывается точкой бифуркации второго типа [3, 19]. Точка бифуркации соответствует неустойчивому начальному состоянию равновесия и в окрестности критической точки бифуркации нет новых устойчивых состояний равновесия. Новые устойчивые состояния равновесия удалены от начального невозмущенного состояния на конечные расстояния (рис. 6.23, б). Поэтому переход в новое возмущенное состояние равновесия происходит хлопком переходя в новое устойчивое состояние оболочка перескакивает через статически неустойчивые состояния равновесия. Новые устойчивые состояния равновесия, отделенные от начального невозмущенного состояния сравнительно небольщим энергетическим барьером, становятся возможными до достижения критической нагрузки. [c.269]

Таким образом, спонтанная перестройка дислокационных субструктур подразумевает спонтанную смену лидера-дефекта, ответственного за диссипацию энергии. При переходе к ячеистой структуре лидером-дефек-том являются дислокации. С другой стороны, переход от ячеистой структуры к полосовой контролируется переходом к лидеру-дефекту — дискли-нациям, а переход к фрагментированным структурам — к микронесплошностям, или некристаллографическим микротрещинам. Последние формируются в результате активизации сдвигонеустойчивых фаз на субграницах. Поэтому смена типа дислокационных субструктур, сопровождающаяся сменой лидера-дефекта, представляет собой неравновесный фазовый переход в точках структурной неустойчивости (точки бифуркаций). Появление новых лидеров-дефектов находит отражение в строении поверхности излома [36]. Эволюция структур дефектов при пластической деформации будет более детально рассмотрена в гл. 3. [c.31]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...