Бифуркация положительным

Каждая из этих бифуркаций определяется некоторыми аналитическими условиями. Для их записи примем, что бифуркация происходит при возрастании скалярного параметра 1 в момент обращения его в нуль. Бифуркации (7.19) характеризуются тем, что при = О характеристическое уравнение (7.14) имеет нулевой корень X = 0 q — I корней с положительной и р корней с отрицательной действительными частями в первом случае и соответственно q и р — 1 корней — во втором случае. [c.254]

Некоторые глобальные бифуркации на бутылке Клейна. До недавнего времени оставалась нерешенной проблема существует ли на компактном многообразии однопараметрическое семейство векторных полей с базой [О, 1], имеющих при Е<1 предельный цикл, длина которого неограниченно возрастает при Е 1 цикл расположен на положительном и отделенном от нуля равномерно по в расстоянии от особых точек поля Ue и исчезает при е=1. Такая бифуркация цикла получила название катастрофа голубого неба [184]. [c.105]

Величина является положительно определенной, т. е. П 4 > О при любых способах закрепления и нагружения пластины. Поэтому критическая точка будет точкой[бифуркации первого типа (рис. 5.9, а). [c.217]

Основным фактором в эволюции живой природы всегда считалось стремление системы сохранить свою стабильность, что обеспечивается с помощью отрицательных обратных связей. Моисеев [7] отмечает противоречивое взаимодействие двух различных типов с одной стороны, система стремится к стабильности, контролируемой действием отрицательных обратных связей, а с другой — к поиску новых, более рациональных способов диссипации энергии, что контролируется положительными обратными связями. В деформируемом металле отрицательные обратные связи определяют организацию структуры на квазиравновесной стадии, а положительные — самоорганизацию диссипативных структур в точках неустойчивости системы (точках бифуркаций). [c.238]

Самоорганизация диссипативных структур сопровождается спонтанным нарушением симметрии исходного состояния. С другой стороны, увеличение неравновесности приводит к чередованиям неравновесностей, связанным с чередованием действия отрицательных и положительных обратных связей. В точках бифуркаций происходит снижение степени неравновесности в результате действия положительных обратных связей, затем степень неравновесности с течением времени снова увеличивается и т.д. вплоть до разрушения системы [9]. Поэтому при анализе неравновесных систем следует рассматривать не временную эволюцию, а последовательности стационарных неравновесных состояний. [c.239]

В неравновесных системах отрицательные обратные связи определяют организацию структуры на квазиравновесной стадии, а положительные - самоорганизацию диссипативных структур в точках неустойчивости системы (точки бифуркаций). Самоорганизация диссипативных структур сопровождается спонтанным нарушением симметрии исходного состояния [20]. В то же время увеличение фактора неравновесности приводит к чередованиям неравновесностей, связанных с последовательностью действия отрицательных и положительных обратных связей. В точках бифуркаций происходит снижение степени неравновесно-170 [c.170]

Таким образом, для точек из области 83 наблюдается нетривиальный эффект при стремлении положительного параметра к нулю происходит бесконечное число бифуркаций рождения и ис- [c.291]

Бифуркации, связанные с поведением функции Ч з(и). Перейдем теперь к рассмотрению предельных циклов, рождающихся на кривых центра. Из (15) непосредственно обнаруживается, что при <0 функция з(и) обращаться в нуль не может, так как выражение в квадратных скобках в (15) положительно (приложения I и IV). По критерию Бендиксона при О < й < 1 циклов нет K + Qy =o), поэтому з(>с) при 0<й<1 корней также не имеет. Проследим поведение Ч з(>с) при 1. [c.270]

В точках пересечения рассматриваемой полупрямой (16) с прямыми 1 = 0 и 2 = 0 происходят бифуркации состояний равновесия при уменьшении X сначала из фокуса х (рис. 160,10) и затем из фокуса Х2 рождаются неустойчивые предельные циклы (фокусы становятся устойчивыми) и возникает структура с тремя предельными циклами (рис. 160,9). Так как при Х = 0 предельных циклов нет (г/ = о — интегральная прямая, качественная структура эквивалентна структуре рис. 160,7), то рассуждениями, аналогичными проведенным в п. 3.4, находим, что при убывании X до нуля должны осуществиться следующие бифуркации сепаратрис возникновение петли сепаратрисы вокруг верхнего фокуса, вокруг нижнего фокуса, возникновение большой петли, содержащей внутри два состояния равновесия. Так как седловая величина положительна (Р + ( у = — ф xq) — 1 = a—1,гдеЯ — координата [c.301]

Для начала построим зависимость положения точек равновесия от а. С изменением а от положительных до отрицательных значений единственная точка равновесия распадается на три. На языке динамики единственный центр преобразуется в седловую точку в центре координат и два центра (рис. 1.15). Бифуркация такого типа называется бифуркацией типа вил. Физический смысл этого явления понятен из того, что силу — (адг + /Здс ) можно описать с помощью потенциальной энергии. Когда а становится отрицательным, потенциал с одной ямой заменяется потенциалом с двумя ямами. При этом происходит качественное изменение динамики системы, и поэтому а = О является критическим бифуркационным значением. [c.30]

Предположим, что о=1, >0. Бифуркация фазового портрета при переходе от отрицательных б к положительным показана на рис. 77. Два равновесия сливаются и исчезают. [c.280]

В качестве примера рассмотрим бифуркацию из фокуса, при которой у двух комплексных собственных значений вещественные части становятся положительными. В этом случае мы имеем два уравнения для двух комплексных параметров порядка 1 и и -Для демонстрации основных идей эти уравнения удобно привести к виду [c.280]

Напомним, что при этой бифуркации при л = О характеристическое уравнение имеет два чисто мнимых корнягЬио. В случае (7.20) при [х = О, помимо двух чисто мнимых корней 10), имеется еще р — 2 корня с отрицательной действительной частью и с положительной. В случае (7.21) числа корней с отрицательной и положительной [c.254]

Уравнения (2.32) и (2.33) свидетельствуют об отсутствии критической ситуации, если первая производная в рассматриваемый интервал времени отлична от нуля. При равенстве ее нулю могут быть определены значения параметров уравнения эволюции, при которых достигается критическая точка бифуркации. Второе эволюционное уравнение показывает, какой является точка бифуркации. Возможны три сл ая вторая производная равна нулю, больше и меньше н ля. Равенство второй производной нулю означает нейтральное положение системы, когда из неустойчивого она может стать устойчивой и наоборот. При положительной второй производной система находится в явно устойчивом положении. При отрицательной второй производной система находится в устойчивом положении, из которого ее можно вывести только за счет очень сильных возмущений. Примером последней ситуации может служить длительная задержка усталостной трепда- [c.124]

Задание Aq, Л, удовлетворяющих бифуркационным условиям, означает, согласно (3.24), выбор F, Re. Тогда бифуркационное значение 5,( (,) подсчитывается по формуле (3,25). Бифуркационные изменения в системе могут происходить как при положительных, так и при отрицательных значениях q q > О, Л, > О либо С() 4- 2 < О, Л, < 0 каждому из этих двух случаев соответствует одно положительное и одно отрицательное значение Лд. Oi-сюда следуют выводы 1) -q > О, т. е. бифуркационные значения плотностей жидкости в областях G,, G.. превышают соответствующие плотности основного течення 2) взаимная ориентация поперечных (вдоль OY) скоростей основного потока, т. е, знаки и, и и , не влияет на возникновение бифуркационной ситуации 3) согласно оценкам величин Лц, существует нижняя граница значений числа Re > О, при которых может наступить бифуркащ1я 4) бифуркационное значение массовой силы может быть как положительным, так и отрицательным 5) если наряду с и q параметры основного течения в области G, заданы, то после подсчета 5,( о) получим из формулы S, = 1-с,-ь 2аг(П ,-П )р бифуркационное значение комплекса а(П , -П ), входящего в условие (3,17), (3.18) функционирования у-области, В особой точке при е = s >Q возможны бифуркации двух типов 1) сложное состояние равновесия седло-узел , получающееся при [c.92]

К настоящему времени проведено много экспериментальных и теоретических исследований, обнаруживших большое многообразие кристаллографических и структурно-морфологических аспектов атомного упорядочения. Ближнее упорядочение характеризуется стремлением атомов одного сорта окружить себя преимуществественно атомами иного сорта (положительный ближний порядок) или атомами того же сорта (отрицательный ближний порядок). Структура сплава при дальнем упорядочении характеризуется разделением кристаллической решетки при температуре ниже температуры Курнакова Тц на совокупность подрешеток, каждая из которых в идеальном случае связана только с одним сортом атомов. Температура и является точкой бифуркации, отвечающей неравновесному фазовому переходу к дальнему порядку. Параметры, контролирующие этот переход, взаимосвязаны между собой (как это характерно для точек бифуркации различной природы) [c.252]

Это условие является вариационной формулировкой статического критерия устойчивости, так как из него непосредственно следуют дифференциальные уравнения статического критерия. Таким образом, для исследования устойчивости можно использовать или условие (0.1), или условие (0.3). Эти условия свидетельствуют о том, что приращение энергии в точке бифуркации становится положительно полуопределенной функцией — функцией, принимающей или положительные, или нулевые значения. Можно также использовать условие минимума второй вариации [c.54]

В работе [210] получены некоторые универсальные закономерности при малом внешнем периодическом воздействии на систему, описываемую одномерным точечным отображением типа параболы. Показано, что с ростом величины воздействия значения бифуркационного параметра [х , соответствующие ге-й бифуркации удвоения периода, монотонно растут. (В случае нерезонансного воздействия найденные значения соответствуют бифуркациям удвоения квазипериода тора.) Отметим, что распространение полученных результатов на область хаоса, возможно, позволит объяснить наличие порога синхронизации и его связь с положительным ляпуновским показателем. [c.247]

Если произведение определителя матрицы Z — на алгебраическое дополнение к элементу этой матрицы, стоягцему на пересечении второй строки и первого столбца, положительно, то в обгцем случае в результате бифуркации касания периодическое движение исчезает ( седло-узел ). При обратном знаке этого произведения движение сохраняется, но теряет устойчивость [24. [c.249]

В главе 8 обсуждаются некоторые следствия введения слагаемых, х актеризующих вращательную производную момента аэрогидродинамических сил по угловой скорости. В задаче о плоскопараллельном свободном торможении тела в среде на базе нелинейных уравнений исследуется устойчивость прямолинейного поступательного торможения при наличии линейного демпфирующего момента. Показано, что в рамках рассматриваемой модели в принципе могут возникнуть автоколебания, соответствующие предельным циклам, которые рождаются из слабого фокуса (известная бифуркация Андронова-Хопфа). Последний аспект является возможным положительным ответом на главный вопрос нелинейного анализа— может ли начало координат на плоскости (или Л а,со ) стать устойчивым (что [c.37]

Сопоставим теперь расположение а- и со-сепаратрис для структур на 1>пс. 159, 9 и 159, 3. Отметим точки пересечения с а- и со-сепаратрисами на отрезке прямой х = Ж1 выше фокуса (ближайшие но ходу сепаратрис от седло-узла). Для структуры на рис. 159,9 след со-сепаратрисы на прямой х = Х1 расположен ниже следов а-сенаратрис. Для структуры на рис. 159,5, наоборо-рот — выше. При убывании Я последовательно должны осуществиться бифуркации, соответствующие совпадению на прямой X = XI следа со-сепаратрисы со следом ссгсепаратрисы (выходящей из седло-узла вверх) и со следом аз-сенаратрисы (выходящей вниз). Так как седловая величина (Рж + у)2 = Я—1 при Я > 1 положительна, то при образовании первой петли (при Я = Я ) к ней стягивается неустойчивый предельный цикл (см. гл. И) (рпс. 159, 8). При расположении следа со-сепаратрисы между следами аг и аг-сепаратрис будет существовать замкнутый контур, образованный со-сепаратрисой седло-узла (рис. 159,7). При совпадении следов со- и аг-сепаратрис при Я == Я < Я возникает петля сепаратрисы (рис. 159,6), от которой при ее разрушении с уменьшением Я рождается неустойчивый предельный цикл, охватывающий оба состояния равновесия, и возникает [c.300]

Поведение бифуркационных кривых в зависимости от у. Другие возможные бифуркации. Проследим за изменениями в фазовом пространстве и неведением бифуркационных кривых прп переходе от малых положительных значений у к немалым в интервале 0= 7= . При возрастании у состояния равновесия О1 и О2 сближаются. Поле направлений на нижнем и верхнем полуцилиндрах монотонно поворачивается соответственно по и против часовой стрелки, и при этом устойчивые предельные циклы на верхнем и нижнем полуцилиндрах поднимаются. Если устойчивый предельный цикл на верхнем полуцилиндре существует для некоторого 70, то он будет существовать и для всех 7 > 70. Если для некоторого 70 существует петля на нижнем или верхнем полуцилиндрах, то при возрастании петля снизу разрушается без возникновения предельного цикла, а петля сверху—с возникновением устойчивого предельного цикла. Точкп -кривой, разделяющей области 1 и 2 на рпс. 180, нри возрастании 7 становятся внутренними точками области 2. При возрастании у точки -кривой становятся внутренними точками областей 3 ш 4, а точки -кривой — внутренними точками областей 4 и 7 (либо принадлежат их границе). Кривая начи-нающаяся в точке пересечения с прямой 1 + йУ 1 — = О, не существует выше прямой (иредноложение о существовании таких точек приводит к необходимости существования для двух значений 71 и уо точек пересечения кривых ( 1) и " ( уо), что невозможно из-за монотонности поворота поля на полуцилиндре при монотонном изменении у), и поэтому условие 1 + + йУ 1 — < О, может служить оценкой области существования структуры разбиения фазового цилиндра с двумя предельными циклами на верхнем полуцилиндре, представленной на рпс. 178, 7. Область 7 пространства параметров, соответствующая структуре на рис. 178, 7, с возрастанием у опускается. [c.354]

Для исследования свойств и бифуркаций такого квазифокуса построим в его окрестности на линии сшивания х = О функцию последования (точечное отображение), как и в случае настоящего сшитого фокуса (см. 4, п. 1). Будем строить эту функцию последования из двух функций соответствия между положительной и отрицательной полуосью у одной — по траекториям системы (8) и другой — по траекториям системы (9). Будем строить эти функции соответствия, используя общие интегралы систем (8) и (9), в окрестности точки 0(0, 0). Так как точка 0(0, 0) является неособой точкой для систем (8) и (9), и (по условию) каждая из этих систем определена в некоторой полной окрестности точки 0(0, 0), то в силу общих теорем (см. гл. 1) в окрестности этой точки (локально) существуют интегралы этих систем вида [c.374]

Имеется обширная литература, посвященная бифуркациям, из которой мы можем привести только незначительную выборку. Работа [28] представляет собой всесторонний обзор, охватывающий локальную и нелокальную теорию. Книга Палиса и Такенса [243] — лучший источник информации об определенном классе нелокальных бифуркаций, связанных с появлением положительной энтропии в системах Морса — Смейла. Книги [25] и [283] содмжат введение в вопрос. Локальные и глобальные бифуркации также обсуждаются в [104]. Локальные нормальные формы и гомотопический прием представляют собой наиболее полезные инструменты в теории локальных бифуркаций. Алгебраическая геометрия и ее приложения в теории особенностей начинают играть важную роль, когда рассматриваются многопараметрнческие семейства. Интересный пример глобальных бифуркаций появляется в типичных семействах [c.728]

Пусть при <х = положение равновесия О является центром, п а < - устойчивым фокусом, а при а>а неустойчивым фокус Тогда при непрерывном возрастании параметра а от значений а < а а > Од фазовый портрет может изменяться так, как это показано рис. 3.10, т.е. смена устойчивости фокуса происходит без рождения п дельного цикла. Простейший пример такой бифуркации дает линей система х = сих + у у = -X(ху. При переходе от отрицательных з чений а к положительным получается смена качественных струетур, пр ставленная на рис. 3.10 и, разумеется, без рождения предельного ци [c.106]

Особое место в многообразии течений со взаимодействием занимает теория кромочного (marginal) отрыва, созданная при анализе пограничного слоя на передней кромке тонкого профиля, установленного под углом атаки [2]. Обнаружено критическое значение угла атаки, при котором градиент давления неблагоприятен, а напряжение трения на поверхности тела обращается в нуль лишь в одной точке, оставаясь во всех остальных положительным. Решение уравнений пограничного слоя имеет в этой точке слабую особенность, но является продолжимым через нее вниз по потоку. Как было показано в [3, 4], в окрестности точки нулевого трения вследствие реакщ1и внешнего потенциального потока на сингулярное поведение в ней гидродинамических функций формируется область взаимодействия пограничного слоя с внешним течением протяженностью Аде = 0(Re ), где Re - характерное число Рейнольдса. При этом задачу о взаимодействии удается свести к нелинейному интегродифференциальному уравнению относительно поверхностного трения Л(лг). Численное решение уравнения выявило два важнейших его свойства несуществование решений при превышении критического угла атаки и неединственность [4-6]. Теория кромочного отрыва, объяснившая структуру решения уравнений Навье-Стокса вблизи точки бифуркации по параметру, инициировала исследование целого ряда схожих физических задач. [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...