Бифуркация из тора (квазипериодическое движение)

Бифуркация торов. Квазипериодические движения См. разд. 8.9, 11.3. [c.397]

Бифуркация из тора (квазипериодическое движение) [c.295]

Все сказанное очевидно при квазипериодическом характере движений на рассматриваемом двумерном интегральном торе. Мало что меняется при больших р, д ш точном совпадении моментов бифуркаций отдельных периодических движений на торе. При их небольшом различии происходят изменения, показанные для бифуркации типа на рис. 5.19. При больших различиях [c.122]

Первоначальная картина возникновения турбулентности, предложенная Ландау, была основана на представлении об иерархии неустойчивостей. При увеличении некоторого параметра, например числа Рейнольдса или числа Рэлея, нелинейные колебания жидкости теряют устойчивость и появляются все новые и новые независимые частоты движения СО1, со2, СО3. . . . При этом должно наблюдаться квазипериодическое движение с одной, двумя, тремя и т. д. основными частотами. Таким образом, мы приходим к последовательности бифуркаций Хопфа, т. е. к движению по поверхности некоторого тора возрастающей размерности. Движение выглядит все более и более сложным, однако непрерывный спектр и хаотическое движение возникают лишь при бесконечном числе бифуркаций. Модель Ландау представлена схематически в табл. 7.2. [c.479]

В этой главе изложен подход, начало которому было положено в докладе автора на Международной конференции по оптической накачке — в Гейдельберге (1962 г.). Тогда наш подход был применен к теории лазеров, включающей и квазипериодическое движение, например, бифуркацию рождения торов. См., работы [c.395]

При выходе мультипликаторов периодического движения за границы единичной окружности в точках ехр( га) при а ф Отг, тг/2, 2тг/3 из периодического решения появляется (или в нем исчезает) двумерный инвариантный тор — по образному выражению А. А. Андронова с цикла слезает шкура (см. рис. 15.11). При этом движение из периодического становится квазипериодическим. Подобная бифуркация наблюдается в системе двух связанных автогенераторов при переходе из режима взаимной синхронизации в режим биений (см. гл. 16). [c.321]

Бифуркации на двумерном торе могут быть вызваны изменением числа вращения Пуанкаре его обмотки. При рациональном числе вращения обмотка тора периодическая, точнее, на торе есть устойчивые периодические движепия, а остальные фазовые траектории к ним приближаются, за исключением такого же числа неустойчивых периодических движений, которые играют роль разделяющих границ локальных областей притяжения устойчивых периодических движений. При иррациональном числе вращения обмотка двумерного тора квазипериодическая. Число вращения Пуанкаре как функция параметра в общем случае ку-сочпо-постоянная, при всяком ее изменении происходят бифуркации обмотки тора — фазового портрета иа торе. Бифуркации отдельных периодических движений на торе ничем не отличаются от описанных уже бифуркаций периодических движений. [c.167]

Так, с ростом Re может быть достигнуто новое критическое значение Re2 r, при котором пара мультипликаторов примет значения ехр ( /а) (где афО, я, я/2, 2я/3, чтобы исключить резонансы). Тогда произойдет вторая нормальная бифуркация Хопфа периодическое течение Uo(x)-fUi(x, t) станет неустойчивым относительно какого-то из возмущений вида fi(x, t)y где fi — периодическая по времени функция с периодом 2я/а, а собственное значение X имеет мнимую часть 1о2. При небольших Re—R2 r это возмущение будет возрастать со временем до конечного предела — квазипериодического движения с двумя периодами 2n/Oi и 2л/о2 и двумя степенями свободы (фазами колебаний). Таким образом, из замкнутой траектории образуется траектория на двумерном торе (рис. 2.10 6). Если затем произойдет следующая нормальная бифуркация Хопфа, то образуется траектория на трехмерном торе, и т. д. [c.99]

Одним из важных путей к хаосу в многомерных динамических системах, подобных термогидродинамическим, является возникновение колебаний на двух предельных циклах бифуркация Хопфа), которое приводит к квазипериодическому движению. Этот процесс обсуждался в гл. 2. Динамика такого движошя моделируется течением на торе, и возникающие сечения Пуанкаре имеют вид замкнутых круговых дуг. Несмотря на важность квазипериодических колебаний для хаотической динамики, онн мало исследованы в других системах, кроме гидродинамических. Именно по этой причине мы решили изучить квазипериодические колебания в такой нелинейной структуре, как изогнутый стержень. [c.148]

В соответствии с моделью Ландау-Хопфа турбулентность при увеличении числа Рейнольдса возникает в результате цепочки последовательных бифуркаций, благодаря которым устанавливается квазипериодическое движение ( ) = F(a li,. .., где функция Р имеет период 2тг по каждому аргументу, а — это несоизмеримые частоты. Первые бифуркации из этой цепочки очень просты вначале устойчивое состояние равновесия превращается в неустойчивое и одновременно в его окрестности рождается устойчивый предельный цикл (так появляется 1), затем возникшее периодическое движение теряет устойчивость и в окрестности исчезнувшего устойчивого цикла появляется двумерное многообразие — тор, частота обмотки которого несоизмерима с основной частотой (так появляется 2), после чего это двухпериодическое движение становится неустойчивым и рождается трехмерный тор (возникает шз и т. д. При большом N реализация такого квазипериоди-ческого процесса действительно выглядит случайной, в частности, его автокорреляционная функция быстро спадает (как 1/л/]У), а время до ее следующего максимума (период возврата Пуанкаре) есть Т ехр(аТУ), где а и 1 [3]. [c.495]

При исследовании распределенных систем возникает вопрос о том, в какой мере для них справедливы закономерности универсальности и подобия в поведении вблизи порога возникновения хаоса и в сценарии перехода к хаосу, установленные для простых систем (см. гл. 22). О наблюдении таких сценариев в экспериментах с ЛОВ при наличии отражений от замедляющей системы мы уже указывали выше. Тщательные эксперименты с генератором автостохастических колебаний, предложенным В.Я. Кисловым и его сотрудниками [28], показали следующее (см., например, работу [29], в которой исследуемый генератор представлял собой замкнутую в кольцо цепочку из ЛБВ, резонансного фильтра и акустической линии задержки). При изменении глубины обратной связи и настройки фильтра исследуемая распределенная система демонстрировала практически все сценарии перехода к хаосу, известные для простых систем 1) через последовательность бифуркации удвоения периода 2) через разрушение квазипериодических движений 3) через бифуркации удвоения торов 4) через перемежаемость. [c.508]

И Такенсу переход к турбулентности через последовательность бифуркаций удвоения (механизм Фейгенбаума) переход к турбулентности через перемежаемость турбулентного и ламинарного течений. Остается открытым вопрос о физических условиях, при которых оказывается возможным тот или иной путь перехода к турбулентности. Открытым, в частности, остается вопрос об области существования трехчастотных квазипериодических движений (трехмерных торов), которые наблюдаются, например, при течениях между вращающимися цилиндрами. [c.10]

Проведенный Рюэлем и Такенсом анализ показал, что после того, как возникает двумерный тор, следующая бифуркация не обязательно должна приводить к трехмерному тору, т. е. к квазипериодическому движению с тремя основными частотами. Обычно при бифуркации двумерного тора возникает аттрактор нового типа, так называемый странный аттрактор. [c.307]

До сих пор мы подробно исследовали свойства квазипериодического движения и в особенности бифуркации из одного тора в другой, в том числе бифуркации из двумерных торов в трехмерные. Причина, по которой мы уделяли столько внимания этому подходу, заключается в том, что, как экспериментально установлено, возможны переходы от двумерного тора не только к хаосу, но и к трехмерному тору. В связи с этим естественно возникает задача выяснить, почему картина Рюэля и Такенса наблюдается в одних и не наблюдается в других случаях. Из соображений, подробно изложенных в предыдущем разделе, следует, что бифуркация двумерного тора в трехмерный возможна, если выполняется условие KAM, т. е. если отношения частот аномально хорошо аппроксимируются рациональными числами. Из сказанного можно сделать вывод о разумности привлечения вероятностных соображений при оценке возможности бифуркации двумерного тора в трехмерный у данной реальной системы. Наш подход позволяет решить загадку — ответить на вопрос, почему у некоторых систем наблюдается бифуркация двумерного тора в трехмерный, несмотря на то, что соответствующие решения не являются общими в смысле Рюэля и Такенса. Оказалось, что у реальной системы в некоторых интервалах значений управляющих или каких-то других параметров может осуществляться сценарий последовательных бифуркаций торов, но по мере увеличения размерности торов вероятность переходов быстро убывает, картина Ландау—Хопфа становится неадекватной, и наступает хаос. [c.308]

Переход от двухчастотного квазипериодического режима к хаотическому обычно осуществляется через режим синхронизации мод с несоизмеримыми частотами и последующим исчезновением или потерей устойчивости возникшего периодического движения. Здесь сейчас известны два пути 1) возникший на двумерном торе в результате синхронизации предельный цикл испытывает последовательность бифуркаций удвоения периода — этот путь исследован экспериментально в работе [10] и теоретически обнаружен в [11] 2) возникшие на двумерном торе в результате синхронизации устойчивый и седловой циклы сливаются и исчезают. При этом свойства стохастического множества определяются либо гомоклинической структурой, принадлежащей седловому циклу, либо сложной многоскладчатой структурой самого тора [12]. [c.500]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...