Простейшие бифуркации состояний равновесия

Простейшие бифуркации состояний равновесия. Выскажем сначала несколько простых соображений, касающихся зависимости состояний равновесия от параметра. Во-первых, очевидно (мы уже говорили об этом Б связи с так называемой о, Д-диаграммой), что при изменении параметра характер состояния равновесия может измениться лишь в том случае, если для соответствующего состояния равновесия либо Д, либо а обратится в нуль. Во-вторых, легко видеть, что при наших предположениях о Р х, у, X) и Q (дг, у, X) индекс замкнутой кривой [c.467]

Естественно рассмотреть в первую очередь бифуркации простейших негрубых элементов и, прежде всего, простейших негрубых состояний равновесия. В трехмерных системах, так же как и в двумерных, простейшими негрубыми являются состояния равновесия с двумя чисто мнимыми характеристическими корнями. Для них Ляпуновым аналогично двумерным системам введены ляпуновские величины . В простейших из этих состояний равновесия первая ляпуновская величина отлична от нуля. В этом простейшем случае в трехмерных системах состояния равновесия могут быть двух типов сложным фокусом (устойчивым или неустойчивым) и сложным седло-фокусом °). Далее, простейшими негрубыми состояниями равновесия в трехмерных системах могут быть двукратные состояния равновесия, возникшие в результате слияния двух простых. На рис. 253 показано образование двукратного состояния равновесия седло-фокус — фокус в результате слияния двух простых — седло-фокуса и устойчивого фокуса. При надлежащих изменениях правых частей системы двукратные состояния равновесия либо опять разделяются на простые, либо исчезают (см. [38 ]). На рис. 254 [c.471]

На границе таких областей происходит либо исчезновение одного из этих движений, либо нарушение устойчивости. Поэтому задача выделения областей существования и устойчивости простейших установившихся движений (состояний равновесия и периодических движений) является частью более обш,ей задачи изучения бифуркаций особых точек и замкнутых фазовых кривых. Однако значимость теории бифуркации состоит не только в этом, но и в том, что она открывает путь к более полному изучению динамических систем и оказывается полезной даже при изучении конкретной динамической системы, которая ни от каких параметров не зависит. Последнее означает, что в ряде случаев изучение конкретной динамической системы существенно облегчается путем искусственного введения параметров и последующего использования теории бифуркаций. [c.251]

Бифуркации неподвижной точки О при непрерывном изменении параметра, ведущего к проходу через поверхность Л/+1, совершенно такие же, как и для состояний равновесия. Именно при пересечении поверхности происходит слияние неподвижной точки 0 с неподвижной точкой одного из типов или с последующим их исчезновением. Однако вместе с этим исчезновением обеих неподвижных точек возможно появление простого или стохастического синхронизма (см. 5). Обсуждение такой возможности выходит за рамки этого параграфа и будет проведено в дальнейшем в 5. При пересечении границы Л 1 возникает бифуркация, при которой происходит смена типа неподвижной точки и одновременно из нее рождается или в ней исчезает цикл двухкратных неподвижных точек. Условно эту бифуркацию можно изобразить в виде [c.258]

Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях и /V,,-Поверхность не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двоякоасимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для ->того требуется пересечение интегральных многообразий Sp и S.,, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности yv происходит слияние состояний равновесия О"" и Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку О"" проходят интегральные многообразия Sp и S, и через точку 0/>+1, -I — интегральные многообразия Sp i и S i. Пересечение многообразий Sq и Sp,.i является общим. В силу того, что на поверхности /V,, состояния равновесия О -" и сливаются, до момента этого слияния поверхности Sg и Sp+i в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазо- [c.264]

Для обоих вариантов бифуркационное значение / = / , рис. 3.7, 3.8, соответствует экстремуму кривой F (/ ). Состояния равновесия по обе стороны точки бифуркации седло и устойчивый узел. При слиянии этих двух простых особых точек получаем сложное состояние равновесия особую точку седло-узел. [c.103]

В настоящей главе рассказывается о простейших установившихся движениях — состояниях равновесия и периодических движениях. Излагается классификация состояний равновесия и периодических движений, устанавливаются и исследуются основные типы их бифуркации. Рассматриваются не только устойчивые состояния равновесия и периодические движения, но и неустойчивые седловые состояний равновесия и периодические движения. Если первые играют роль основных простейших установившихся движений, то вторые играют определяющую роль в формировании границ их областей притяжения и в формировании хаотических и стохастических движений, а также всего фазового портрета динамической системы. [c.93]

Слияние особых точек — простейшая бифуркация системы (1). Другие возможные бифуркации связаны со сменой устойчивости состояния равновесия О3, с бифуркациями сепаратрис (сепаратрисы, идущие из седла в седло) и появлением предельных циклов из бесконечности, из петли сепаратрисы, из сгущения траекторий и из сепаратрисы особой точки седло-узел. Все эти бифуркации могут быть прослежены для системы (1). [c.314]

Задача выделения классов характеристик, по отношению к которым пространство параметров Я системы (1) будет грубым, сводится к задаче изучения бифуркаций, возможных в системе при изменении характеристик. Если при замене одной характеристики другой не исчезают какие-либо возможные бифуркации и не появляются новые, то система будет грубой в указанном выше смысле по отношению к этим характеристикам. В общем случае эта задача очень трудна и не существует регулярных методов для ее решения. Бифуркации, возможные в системе, в неодинаковой степени доступны для исследования. Простейшие из них характеризуются значениями некоторых величин, отнесенных к точке фазового пространства (таковы бифуркации сложных состояний равновесия или бифуркации, связанные с оценкой числа предельных циклов, появляющихся из состояния равновесия типа фокус пли от петли сепаратрисы), другие требуют сведений о глобальном поведении траекторий и не могут быть получены регулярными методами (сюда относятся весьма сложные вопросы [c.432]

Рассмотрим простейшие бифуркации автономных систем на фазовой плоскости, происходящие при изменении параметров системы. Простейшим бифуркациям соответствуют переходы через так называемые негрубые системы первой степени негрубости, когда появляется только одна траектория из запрещенных в грубых системах а) состояние равновесия седло-узел б) сложный фокус в) сепаратриса, идущая из седла в то же самое седло (сепаратрисная петля) или в другое седло г) двойной предельный цикл. [c.313]

Потерю устойчивости неравновесного состояния можно проанализировать, обратившись к общей теории устойчивости нелинейных дифференциальных уравнений. При этом используются основные соотношения, характеризующие потерю устойчивости, а также неоднозначность решений, а также симметрия, включая бифуркации или ветвления новых решений дифференциальных уравнений. Прежде всего, проиллюстрируем эти общие свойства на простом нелинейном дифференциальном уравнении, а затем покажем, как они используются для описания систем, далеких от равновесия. [c.405]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Часть IV (гл. VIII, IX) посвящена основам нелинейной теории упругости формулировкам закона состояния нелинейноупругого тела, рассмотрению простейших задач, постановкам задач об эффектах второго порядка и бифуркации состояния равновесия. В содержание Приложений включены используемые в тексте книги способы тензорного исчисления и некоторые сведения по теории сферических и эллипсоидальных функций. [c.12]

Слияние и исчезновение особых точек — простейшая бифуркация, возможная в системе (1). Другие возможные бифуркации связаны со сменой устойчивости состояния равновесия Oi, с бифуркациями сепаратрис, идущих из седла в седло (при этом появляются илн исчезают предельные циклы) и появлением предельных циклов из сгущения траекторий, из сепаратрисы особой точкп седло-узел и из бесконечности. Все эти бифуркации могут быть прослежены для системы (1). Знание всех бифуркаций позволяет дать разбиение пространства параметров у > О, Я > О, d на области с различной структурой разбиения фазового пространства на траектории. [c.346]

Кроме указанных бифуркаций, в сшитых системах могут быть также некоторые специфические для таких систем бифуркации. В силу того, что в сшитых системах аналогами состояний равновесия могут быть дуги притяжения или отталкивания (см. рис. 193, а), состоящие из неподвижных точек, илп область, заполненная замкнутыми траекториями, и т. п., то, естественно, встречаются также бифуркации таких образований, аналогичные рождению предельного цикла из фокуса. Однако мы не будел их здесь рассматривать особо, а рассмотрим их, если они встретятся в конкретных примерах. Ниже мы приведем рассмотрение некоторых из перечисленных выше простейших бифуркаций. [c.368]

Разбиение пространства параметров на области с различными качественными структурами фазового пространства. Проследим за сменой структур и бифуркациями при изменении л для фиксированного Л = Яо из интервала 1 < Л < иь При л = О качественная картина разбиения фазового пространства эквивалентна представленной на рис. 169, 1. Бесконечность устойчива. Для л из интервала О < 1 <Яо качественная картина будет эквивалентна представленной на рис. 169, 2. Бесконечность неустойчива. Из нее появился устойчивый предельный цикл. При Ц, = Яо в точке (О, 1) появляется спгатое вырожденное состояние равновесия (если [X < Ц, ) или сшитый седло-узел с устойчивой узловой областью (если [X > х ). Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 168, II—III или 168, III соответственно. При дальнейшем возрастании х сложная сшитая особая точка разделяется на две простые седло 04(94, pi) и устойчивый фокус (узел) Оз(фз, рз). Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 169,5. Обе со-сепаратрисы седла Oi идут в точку [c.436]

Возвратимся к уравнениям (15), не предполагая более параметры аир малыми. Изменение числа состояний равновесия системы (15) происходит при а>1. Будем рассматривать область а<1, где число состояний равновесия не изменяется по сравнению со случаем малого х. Простейшие бифуркации, связанные с предельным циклом, могут быть найдены и сохраняют тот же характер, что и для малых значений о, и р. Появление устойчивого предельного цикла из бесконечности происходит пррх возрастании р от нуля (это видно из уравнений (15) непосредственно, так как при изменении знака р бесконечность из устойчивой становится неустойчивой). Появление неустойчивого предельного цикла из состояния равновесия происходит из кривой [c.460]

В соответствии с моделью Ландау-Хопфа турбулентность при увеличении числа Рейнольдса возникает в результате цепочки последовательных бифуркаций, благодаря которым устанавливается квазипериодическое движение ( ) = F(a li,. .., где функция Р имеет период 2тг по каждому аргументу, а — это несоизмеримые частоты. Первые бифуркации из этой цепочки очень просты вначале устойчивое состояние равновесия превращается в неустойчивое и одновременно в его окрестности рождается устойчивый предельный цикл (так появляется 1), затем возникшее периодическое движение теряет устойчивость и в окрестности исчезнувшего устойчивого цикла появляется двумерное многообразие — тор, частота обмотки которого несоизмерима с основной частотой (так появляется 2), после чего это двухпериодическое движение становится неустойчивым и рождается трехмерный тор (возникает шз и т. д. При большом N реализация такого квазипериоди-ческого процесса действительно выглядит случайной, в частности, его автокорреляционная функция быстро спадает (как 1/л/]У), а время до ее следующего максимума (период возврата Пуанкаре) есть Т ехр(аТУ), где а и 1 [3]. [c.495]

Строгая математическая проверка критерия равноактивной бифуркации в связи с предельной сложностью анализа в общем случае отсутствует. Но там, где имеется возможность относительно просто исследовать возмущенные движения, этот критерий подтверждается. Для идеально-упругих тел данный критерий дает тот же результат, что и критерий Эйлера, который был высказан еще в середине восемнадцатого века и утверждал, что равновесие упругой системы становится неустойчивым в момент, когда впервые обнаруживается неединственность решения для самих механических параметров (бифуркация состояния), а не их приращений (бифуркация процесса), как это рассматривалось выше. [c.187]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...