Бифуркации синхронизмов

Бифуркации синхронизмов. Выбранный выше специальный путь был удобен тем, что он позволил увидеть структуру возникающего нового установившегося движения, но поскольку множество стохастических синхронизмов образует в пространстве параметров область, то переход от обычного синхронизма к стохастическому возможен и общим образом. [c.357]

Бифуркации неподвижной точки О при непрерывном изменении параметра, ведущего к проходу через поверхность Л/+1, совершенно такие же, как и для состояний равновесия. Именно при пересечении поверхности происходит слияние неподвижной точки 0 с неподвижной точкой одного из типов или с последующим их исчезновением. Однако вместе с этим исчезновением обеих неподвижных точек возможно появление простого или стохастического синхронизма (см. 5). Обсуждение такой возможности выходит за рамки этого параграфа и будет проведено в дальнейшем в 5. При пересечении границы Л 1 возникает бифуркация, при которой происходит смена типа неподвижной точки и одновременно из нее рождается или в ней исчезает цикл двухкратных неподвижных точек. Условно эту бифуркацию можно изобразить в виде [c.258]

На рис. 7. ПО изображены последовательные стадии перехода через общие бифуркации от обычного синхронизма к стохастическому. При переходе от рис. а к б происходит смена узла на фокус. Затем (рис. 7. ПО, в) фокус меняет устойчивость, и от него рождается устойчивый предельный цикл. Одновременно происходит сближение сепаратрис седла 5Г и 5i и соответственно 52 и So. После этого (рис. 7. ПО, г) сепаратрисы пересекаются, причем вместе с пересечением сепаратрис 5а и 52 происходит исчезновение устойчивого предельного цикла. [c.364]

При дальнейшем изменении параметров после бифуркации слияния седел с узлами происходит быстрая смена различных качественных картинок разбиения. После этого быстрого мельтешения снова на более или менее длительном интервале изменения параметров может установиться устойчивый синхронизм. Характер этой смены достаточно сложен. Для простого синхронизма он определяется зависимостью числа вращения Пуанкаре от параметров. Каждому рациональному значению числа вращения соответствует. некоторый интервал по параметру существования устойчивого синхронизма. Между любыми такими интервалами существует бесчисленное множество других, причем между каждой парой этих других в свою очередь такое же бесчисленное множество. Сказанное в какой-то мере отображается рис. 7.115, где интервалам на оси параметра отвечают области существования устойчивого синхронизма с числом вращения у = piq, где р q — целые числа. [c.366]

Можно думать, что характер бифуркаций стохастического синхронизма при изменении параметров такой же. [c.366]

Вернемся к рис. 7.112, 7.113 и 7.114. Рис. 7.113 соответствует обычному синхронизму, расположенному на гладкой тороидальной поверхности в момент его бифуркаций. При непрерывном изменении параметров существование этой гладкой инвариантной поверхности может нарушиться либо благодаря потере ею устойчивости, либо благодаря разрушению гладкости. Эти бифуркации непосредственно не связаны с теми изменениями, которые рассматриваются, и поэто.му, если они не имеют места, то смена синхронизмов происходит, как было описано выше, на сохраняющем [c.368]

Подведем некоторый итог. Ради определенности пусть для рассматриваемого нами седлового равновесия при Li = О и X = О седловая величина ст < 1. Тогда при возрастании X вдоль оси j, = О появится устойчивый предельный цикл с некоторой областью притяжения. Исходя из точки X > О, J, = О, будем увеличивать ц. При этом предельный цикл превратится сначала в устойчивый обычный синхронизм. Затем он трансформируется в стохастический синхронизм. При этом область притяжения предельного цикла последовательно будет переходить в область притяжения обычного и стохастического синхронизмов и затем по пересечению границы р = О в область притяжения какого-то нового установившегося движения. Структура разбиения плоскости параметров р, в окрестности точки Л = х = О очень сложная. Достаточно заметить, что при монотонном изменении Я в сторону возрастания вдоль оси j, = О число вращения 7 монотонно убывает от значения ) у = оо. Сказанное основывается на предположении об общем характере бифуркаций и полученных ранее сведениях о точечном отображении Гзя, согласно которым между [c.376]

Каждая такая бифуркация приводит к появлению двух новых устойчивых синхронизмов того же тина. При х = 1,5 соответствующий портрет показан на рис. 7.46. При дальнейшем увеличении параметра ц- с новыми устойчивыми синхронизмами, появившимися из Л и А, происходят бифуркации удвоения не- [c.208]

Исчезновение устойчивого синхронизма У происходит при перехлесте сепаратрис У" " и 8" седла В . Эта бифуркация имеет место при ц, = 1,205. После нее фазовый портрет приобретает вид, показанный на рис. 7.45. Обе бифуркации синхронизмов Л" " и Л типа 7У+1 происходят при изменении параметра от 1,39 до [c.208]

Пусть со не меняется и не происходит бифуркаций слияния неподвижных точек. Тогда возможные изменения будут состоять только в изменениях неподвижных точек и расположениях сепаратрисных кривых. При этом седло-вые точки должны оставаться седловыми. А узлы могут переходить в фокусы и обратно. Фокус может сменить устойчивость, и при этом от него отделится либо обычный, либо стохастический синхронизм. При смене взаимного расположения сепаратрис может произойти возникновение стохастического синхронизма. Эта бифуркация в суженном виде будет в дальнеЙ1ием рассмотрена отдельно. Сейчас же ограничимся ее изображением на рис. 7. ПО. [c.364]

Рассмотрим теперь бифуркации, происходящие при изменении со. О сложном характере зависимости со от параметров говорилось выше. Каждому рациональному значению со соответствует некоторая область значений параметров. При переходе от одного рационального значения со к другому происходит бесчисленное множество бифуркаций. Границы области постоянного рационального значения со определяются слияниями седел и узлов синхронизма. При слиянии седла с узлом возникает сложная неподвижная точка типа седло-узел. Фрагмент изменений, происходящих со стохастическим синхронизмом при слиянии седел м узлов и образовании сложных седлоузловых точек, представлены на рис. 7.112. [c.366]

В описанной иерархии структур с каждым из синхронизмов при изменении параметров могут происходить бифуркации, которые были описаны выше и изображены па рис. 7.29. В частности, эти бифуркации могут приводить к тому, что устойчивые синхронизмы, отвечающие нетгодвижным точкам типа центр, будут удваивать свои периоды, одновременно порождая все новые и новые седловые неустойчивые синхронизмы и приводя к возникновению гомоклинических структур и хаотизации движений. Этот процесс, как показывают конкретные численные исследования, начинается с синхронизмов низких рангов, доходит до высших, охватывая всю иерархию вложенных структур. Под рангом синхронизма [61, 65] понимается его порядковый номер в иерархии вложенных структур. Нулевой ранг имеют синхронизмы, рождающиеся от резонансных уровней. Первый ранг имеют синхронизмы, рождающиеся из неподвижных точек типа центр синхронизмов нулевого ранга. Второй ранг имеют синхронизмы, рождаю- [c.201]

Выше было рассказано о результатах численного исследования уравнения (4.10) при М = 0,1 /г = 1. Однако, как показали аналогичные численные исследования, такие же результаты получаются и при других значениях параметров М ш Ъ, если только Н> М. При несоблюдении этого условия ж к< М возможность сведения к точечному отображению окружности в себя исчезает, и необходимо исследовать точечное отображение двумерного цилиндра в себя. Общая схема изменений фазового портрета оказывается следующей. При малых ц- возникают устойчивые вращательные синхронизмы, области притяжения которых разделяются сепаратрисами 3 и 3 седловых ненрдвижных точек. С ростом параметра ц, число их возрастает, и вместе с этим возникают пересечения сепаратрисных кривых седловых неподвижных точек, отвечающих разным синхронизмам. Это приводит к усложнению вида областей притяжения устойчивых синхронизмов. Дальнейшее увеличение параметра ц- сопровождается появлением новых пересечений сепаратрис и возникновением гомоклинических структур, содержащих циклы. При этом характер приближения фазовых точек к устойчивым синхронизмам носит весьма сложный немонотонный характер фазовая точка то приближается к нему, то удаляется и, лишь попав в достаточно малую его окрестность, стремится к нему. В соответствии с этим области притяжения устойчивых синхронизмов имеют сложный и тонкий характер. При дальнейшем росте параметра [х начинаются бифуркации удвоения периодов устойчивых синхронизмов с одновременным образованием новых седдовых синхронизмов которые ведут к еще большей хаотизации движений и утопьше-нию областей притяжения устойчивых синхронизмов. При ничтожно малых возмущениях фазовая точка блуждает по поверхности секущего цилиндра, не попадая в малые окрестности устойчивых синхронизмов. [c.206]

Дальнейший рост параметра ц приводит к исчезновению сначала устойчивого синхронизма /, а затем через бифуркации типа Л +1 происходит смена устойчивости синхропизмов А и А . [c.208]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...