Бифуркация из узла или фокуса

Кинетическая картина фазового перехода представляется фазовыми портретами, показанными на рис. 2, 3, 5, 6, 8-11, и временной зависимостью пути, пройденного точкой по траектории (рис. 4). В случае перехода второго рода (рис. 2-6) фазовый портрет имеет при Se < S притягивающий узел D, отвечающий неупорядоченной фазе при Se > 5с он трансформируется в седло и появляется дополнительный узел/фокус О, соответствующий упорядоченной фазе. В отличие от этого на фазовом портрете первого рода (рис. 8-11) при 5е = 5 происходит бифуркация, в результате которой появляются седою 5, отвечающее энергетическому барьеру на зависимости V t ), и притягивающий узел/фокус О, соответствующий упорядоченной фазе при этом притягивающий узел D неупорядоченной фазы остается неизменным. С ростом управляющего параметра в интервале (5 , 5с) седло 5 стремится к узлу D, поглощая его в точке 5с, а узел/фокус О смещается в сторону возрастания величин параметра порядка и сопряженного поля. [c.43]

В дальнейшем для удобства тильду мы будем опускать. Ранее из линейного анализа (4.1) было показано, что тип равновесия определяется величиной у= К (1). Если у < 1, то равновесие -неустойчивый узел (фокус), если у > 1, то узел (фокус) становится устойчивым. При переходе через и = 1 происходит смена устойчивости по типу бифуркации Андронова-Хопфа, когда собственные значения пересекают мнимую ось. В случае обшего положения при зтом из равновесия рождается предельный цикл. Однако конкретные примеры трофической функции V (лг) могут приводить к иным результатам. [c.228]

Заметим, что область притяжения аттрактора может как менять, так и не менять свой топологический тип при его внутренней бифуркации. Например, для потока на диске при рождении устойчивого предельного цикла из фокуса она из односвязной становится двухсвязной, а при возникновении точки типа седло-узел на устойчивом предельном цикле она двухсвязна и до, и после бифуркации. [c.160]

Состояния равновесия и их бифуркации. Возможны одно или три грубых состояния равновесия. В случае одного состояния равновесия имеем фокус (узел), устойчивый, если в точке пересечения изоклин выполняется условие ф (а )> —1, и неустойчивый в противоположном случае. В случае трех состояний равновесия между фокусами (узлами) лежит седло. [c.293]

Структура разбиения фазового пространства и бифуркации при изменении параметров вдоль линии симметричных структур. Проследим за бифуркациями и изменением структуры фазового пространства вдоль линии симметричных структур L=Q. Пусть X > Хг (Хг определяется выражением (4)). Единственное состояние равновесия системы — неустойчивый фокус (узел). Бесконечность неустойчива. Вокруг фокуса существует [c.297]

Как указано в 4 гл. 10, при бифуркациях такого состояния равновесия возникает петля сепаратрисы. При значениях параметров, при которых точка М лежит на нижней ветви кривой Д (см. рис. 171, а, б), нетрудно видеть, опираясь на проведенное исследование характера состояний равновесия, что эта петля окружает левое состояние равновесия — узел или фокус. При значениях же параметров, при которых точка М лежит на верхней части кривой Д — при бифуркациях точки М, появляется петля вокруг правого узла илн фокуса. Пусть параметры изменяются так, что от первого из указанных расположений [c.332]

В случае более высоких размерностей структурно устойчивые локальные бифуркации возникают, когда одно из собственных значений дифференциала диффеоморфизма равно 1 или -1, а остальные лежат вне единичной окружности. В качестве простого примера мы опишем семейство, получающееся как прямое произведение отображений (7.3.2) с линейным сжимающим отображением. Возникающие в результате бифуркации называются бифуркациями типа седло — узел. Притягивающие и отталкивающие неподвижные точки, которые возникали в одномерном примере (7.3.2), теперь являются седлом и фокусом соответственно (см. 1.2). При приближении параметра к нулю они сливаются, и для значений параметра т > О неподвижные точки отсутствуют. Таким образом, мы получаем следующую картину (см. рис. 7.3.4). [c.309]

Рассмотрим простейшие бифуркации автономных систем на фазовой плоскости, происходящие при изменении параметров системы. Простейшим бифуркациям соответствуют переходы через так называемые негрубые системы первой степени негрубости, когда появляется только одна траектория из запрещенных в грубых системах а) состояние равновесия седло-узел б) сложный фокус в) сепаратриса, идущая из седла в то же самое седло (сепаратрисная петля) или в другое седло г) двойной предельный цикл. [c.313]

Известными методами качественной теории обнаруживается, что для всех значений параметров а>0, s>0, Я>0, 0< состояния равновесия Oi (ar sin , 0) — устойчивый узел или фокус, Ог (л — ar sin , 0)—седло. Траектории на нижнем полуцилиндре идут из бесконечности на верхний полуцилиндр. На нижнем полуцилиндре и вокруг точки Oi циклов пет (см. 6). Все бифуркации могут происходить только на верхнем полуцилиндре. [c.340]

Разбиение пространства параметров на области с различными качественными структурами фазового пространства. Проследим за сменой структур и бифуркациями при изменении л для фиксированного Л = Яо из интервала 1 < Л < иь При л = О качественная картина разбиения фазового пространства эквивалентна представленной на рис. 169, 1. Бесконечность устойчива. Для л из интервала О < 1 <Яо качественная картина будет эквивалентна представленной на рис. 169, 2. Бесконечность неустойчива. Из нее появился устойчивый предельный цикл. При Ц, = Яо в точке (О, 1) появляется спгатое вырожденное состояние равновесия (если [X < Ц, ) или сшитый седло-узел с устойчивой узловой областью (если [X > х ). Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 168, II—III или 168, III соответственно. При дальнейшем возрастании х сложная сшитая особая точка разделяется на две простые седло 04(94, pi) и устойчивый фокус (узел) Оз(фз, рз). Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 169,5. Обе со-сепаратрисы седла Oi идут в точку [c.436]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...