Бифуркация комплексное

Бифуркации с прохождением через единичную окружность комплексно сопряженной пары мультипликаторов полезно изучать в двупараметрических семействах перестройки, которые кажутся нелокальными при однопараметрическом подходе, поддаются исследованию локальными методами, если рассматривать задачу, как двупараметрическую (п. 1.5 ниже). [c.43]

Этот параграф начинается с перечня вырождений, встречающихся в типичных двупараметрических семействах ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке и соответствующих изолированным значениям параметров. Бифуркации неподвижных точек с мультипликатором 1 или—1 с дополнительным вырождением в нелинейных членах во многом напоминают бифуркации особых точек с собственным значением 0. Напротив, бифуркации в случае пары комплексно сопряженных мультипликаторов при дополнительном вырождении в нелинейных членах, наряду с появлением замкнутых инвариантных кривых, приводят к совершенно новым эффектам. [c.52]

Исследовать бифуркации векторных полей, имеющих контур, в состав которого входит лишь цикл с мультипликатором 1 и седло либо с вещественным устойчивым ведущим направлением, либо с комплексным, но с отрицательной седловой величиной (случай В п. 4.7). [c.126]

Другой пример бифуркации — появление в физических системах предельных циклов. В этом случае по мере изменения некоторого управляющего параметра пара комплексно-сопряженных собственных значений 5,, 2 = + 7 переходит из левой части плоскости (7 < О, устойчивая спираль) в правую часть (7 > О, неустойчивая спираль) и возникает периодическое движение, называемое предельным циклом. Такой тип качественного изменения динамики системы, показанный на рис. 1.16, называется бифуркацией Хопфа. [c.30]

Если все п — 1 мультипликаторов по модулю меньше единицы, т. е. лежат на комплексной плоскости внутри единичного круга, то все возмущения на каждом шаге (обороте возмущенной траектории) уменьшаются и периодическое движение устойчиво. Если же хоть один из мультипликаторов находится вне единичного круга — то неустойчиво. Таким образом, бифуркации периодических движений происходят при переходе мультипликаторов через единичную окружность. [c.318]

Пусть теперь в некоторой точке (X, х) кривой /(х, Х) = 0 также и / (х, Х) = 0. Если / (х, Х) = 0, а/х( , Х)9 0, то кривая в этой точке имеет вертикальную касательную, и когда X проходит (в соответствующем направлении) через значение, соответствующее этой точке, два действительных корня для х сливаются, а затем становятся комплексными ). Это — точка бифуркации, в которой происходит изменение числа состояний равновесия (точки б и С на рис. 72). Если же в точке (X, х) кривой/(х, Х) = 0 / (х, Х) = 0 и /Цх, Х) = 0, то мы имеем дело с особой точкой (в смысле дифференциальной геометрии) этой кривой. Эта точка (точка А на рис. 72) будет также точкой бифуркации, так как при значении X, соответствующем этой точке, число равновесных состояний всегда иное, чем при соседних значениях этого параметра. [c.127]

Наиболее известным примером бифуркации является бифуркация Хопфа. В этом случае два комплексно-сопряженных собственных значения [c.65]

Простое комплексное собственное значение пересекает мнимую ось. Бифуркация Хопфа [c.271]

В качестве примера рассмотрим бифуркацию из фокуса, при которой у двух комплексных собственных значений вещественные части становятся положительными. В этом случае мы имеем два уравнения для двух комплексных параметров порядка 1 и и -Для демонстрации основных идей эти уравнения удобно привести к виду [c.280]

В приложениях 1-8 затрагиваются некоторые качественные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решения которых зависит исследование динамических систем. Обсуждению подлежат такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса (ср. с [196-198]) вопросы существования так называемых монотонных предельных циклов, наличия замкнутых траекторий, стягиваемых в точку по двумерным поверхностям, наличия замкнутых траекторий, не стягиваемых в точку по фазовому цилиндру качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения для динамических систем на плоскости проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования длиннопериодических и устойчивых по Пуассону траекторий. В заключение предлагается некоторая простая методика интегрирования некоторых классов неконсервативных систем через элементарные трансцендентные (в смысле теории функций комплексного переменного) функции. [c.174]

Рассмотрим бифуркацию при пересечении единичной окружности парой комплексно-сопряженных мультипликаторов вида (.1 — exp(=F2nai), где а — иррациональное число. Это приводит к появлению вторичного течения с новой независимой частотой [c.157]

Каскад п-кратных увеличений периода. В двупараметрических системах встречаются столь же неустранимым образом каскады утроений, учетверений, упятерений и т. д. В этих случаях знаменатель геометрической прогрессии, определяющей последовательность бифуркационных значений параметров, — комплексное число, так что бифуркационные значения ложатся асимптотически на логарифмическую спираль (в подходящей евклидовой структуре плоскости параметров). Для утроений это число равно (4,600. ..+i8,981 Вычисления показывают, что для каскада бифуркаций с прохождением пары мультипликаторов через резонанс exp(d=2nip/q) универсальный знаменатель приблизительно равен С р, q) q . Тем самым, с ростом кратности увеличения периода события разворачиваются быстрее [57 56, 57, 58]. [c.81]

Наибольшую сложность в исследовании бифуркаций положения равновесия на плоскости представляет задача о рождении предельных циклон. Как правило, основная часть решения этой задачи сводится к исследованию абелевых или сходных с ними интегралов по фазовым кривым специальной гамильтоновой системы. Эти исследования проводятся либо чисто вещественными методами [43], [72], [88], либо с помощью выхода в комплексную область с применением теоремы Пикара — Лефшеца, теории эллиптических интегралов и уравнений Пикара — Фукса [75], [76], [93], [104], [119], [141], [193]. [c.208]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...