Отображения взаимно-однозначные

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — взаимно однозначное отображение областей га-мерного евклидова пространства, сохраняющее углы между кривыми. К. о. в каждой точке обладает свойством постоянства растяжений по разл. направлениям. При любое (гладкое) К. о. является суперпозицией вращения, растяжения, сдвига и спец. К. о. инверсии х/ х —х% [c.453]

Так как функция Ф монотонна, то она имеет непрерывную и монотонную обратную функцию Ф Пусть А — точка тора, а 9 и 6 — ее приведенные координаты. Проведем через эту точку интегральную кривую 0 = Р((р, Од), поставим точке А в соответствие точку В с координатами (О = хср - -Ф(6о), 9 = (р). Это отображение и будет требуемым. Нетрудно видеть, что это отображение взаимно однозначно при 0<[(р <2и и взаимно непрерывно. Покажем, что оно взаимно однозначно и при <2те, т. е. покажем, что [c.172]

МЫ считаем действительную ось границей нижней полуплоскости. В обоих случаях уравнения (6.13) устанавливают взаимно однозначное соответствие между кривой 7 в плоскости 5 и действительной осью в плоскости 2. Отсюда и из принципа аргумента следует, что обе полуплоскости плоскости 2 отображаются посредством уравнения М z, з) = О в область внутри у и для каждой полуплоскости это отображение взаимно однозначно. [c.194]

Следовательно, когда и пробегает вещественную ось, 5 описывает кривую у против часовой стрелки, если считать вещественную ось границей верхней полуплоскости, и по часовой стрелке, если считать вещественную ось границей нижней полуплоскости. В обоих случаях равенства (6.13) устанавливают взаимно однозначное соответствие между кривой у в плоскости 5 и вещественной осью в плоскости г. Р1з этого факта и из принципа аргумента следует, что верхняя и нижняя полуплоскости конформно отображаются в область внутри у посредством уравнения М г 5) = О и для каждой полуплоскости это отображение взаимно однозначно. Отсюда следует, что для любого 5 из области внутри у существуют два комплексных значения и, удовлетворяющих условию (6.6), а для 5 вне этой области — ни одного такого значения. Из (6.6) видно, что эти значения различаются только знаком обозначим их / 0(5). [c.344]

Эти функции осуществляют отображение взаимно однозначно и непрерывно начального положения на конечное V. В дальнейшем предполагаем, что непрерывная дифференцируемость функций нужное количество раз всегда есть. [c.212]

Если отображение взаимно однозначно, то ю (С) не может обращаться в нуль в области круга у- Во всём дальнейшем мы будем рассматривать такие области S, координаты точек контура которых имеют непрерывные производные по дуге вплоть до третьего порядка. [c.227]

Отображение взаимно однозначно. [c.201]

Отображение взаимно однозначное - симплектическое 308 [c.475]

Как уже говорилось, удобство римановой поверхности состоит в том, что отображение на нее может рассматриваться как однозначное. Поскольку рассматриваемое течение реально существует в физической плоскости, которая однолистна, отображение взаимно однозначно. Кроме того, по определению решения уравнений газодинамики, поле скорости V(x, у) и поле давления р х, у) непрерывно, т. е. отображения (х,у) х у) р /З) непрерывны. (Если область определения [c.29]

Отображение / взаимно однозначно, за исключением тех элементов (ж, у) Е Т , у которых а или у — двоичная дробь. Такие элементы образуют счетное множество. Следовательно, их мера равна нулю. [c.124]

Попытаемся аналитически продолжить ф вдоль радиальных линий, выходящих из нуля. Однако, это невозможно сделать неограниченно в любом направлении, иначе мы смогли бы построить голоморфное отображение ф всей комплексной плоскости на открытое множество ф ,) С 2/0 С С такое, что ф ф и))) = w. Это было бы возможно только в том случае, когда дополнение С ф С) состояло бы из единственной точки. Но отображение / взаимно однозначно, и отсюда следовала бы и глобальная взаимная однозначность /, а это противоречит предположению о том, что / имеет степень 2. [c.102]

Пусть (К ф) и (У, ф ) — две локальные карты и пересечение (ру П Ф У 0 (см. рис. 29). Тогда возникает отображение (ф ) <><Р области Л на область Л", определяемое функциями д = д (ч, 0-Это отображение взаимно однозначно и имеет обратное ф сф, определяемое функциями я = ч(ч. О- Предполагаем, что эти функции дифференцируемы. В этом случае локальные карты называются совместными. Набор совместных карт при условии, что каждая [c.99]

Многие стороны поведения фазовых траекторий динамической системы, а в ряде случаев и полная картина разбиения фазового пространства на траектории могут быть выяснены путем исследования поведения последовательных точек пересечения траекторий с так называемым отрезком без контакта (в случае двумерного фазового пространства) или с секущей поверхностью (в случае трехмерного фазового пространства). Эта последовательность точек пересечения образует некоторое точечное преобразование Т, к изучению которого и сводится задача об исследовании поведения фазовых траекторий. При этом оказывается, что структура рассматриваемой динамической системы взаимно однозначно определяется структурой порождаемого ею точечного отображения Т. Это означает, что каждому вопросу в отношении структуры решений дифференциальных уравнений отвечает некоторый вопрос, относящийся к структуре точечного отображения Т. В частности, периодическим решениям дифференциальных уравнений или, что то же самое, замкнутым фазовым траекториям ставятся в соответствие неподвижные точки соответствующею точечного отображения Т, [c.70]

На рис. 7.31 представлен график взаимно однозначного точечного отображения, заключенный между горизонтальными асимптотами х = / (—оо) и je = / (+оо). При этом любая точка х прямой преобразуется внутрь отрезка (/ (—оо), / (+оо)), на котором имеется три неподвижные точки X, х1 и xt. Неподвижные точки х и х% устойчивые, а неподвижная точка х% — неустойчивая. Всякая точка полупрямой (—оо, xf) при последовательных применениях отображения асимптотически приближается к точке х, а всякая точка полупрямой (х , -foo) — к точке х,. Таким образом, вся прямая разбивается неустойчивой неподвижной точкой на две области притяжения Я (х ) и П (Ха) устойчивых неподвижных точек л и [c.285]

Нетрудно убедиться, что разбиение всей прямой на какое-то число областей притяжения устойчивых неподвижных точек имеет место для общего взаимно однозначного отображения с / (х) 0. Действительно, пусть. .. < л < [c.285]

Рассмотрим теперь взаимно однозначное точечное отображение Т, для которого / (л) si 0. В этом случае график [c.286]

На рис. 7.34 и 7.35 изображены фазы двух различных типов бифуркаций взаимно однозначного отображения, для которого / (х) 0. На рис. 7.34 изображена бифуркация, при которой происходит рождение или исчезновение двух циклов из двукратных неподвижных точек. Рис. 7.35 изображает бифуркацию смены устойчивости однократной неподвижной точки, при которой одновременно происходит рождение или исчезновение цикла двукратных неподвижных точек. [c.287]

Перейдем теперь к рассмотрению значительно более сложного однозначного, но не взаимно однозначного точечного отображения Т прямой в прямую. Все сказанное ранее о неподвижных точках отображения остается в силе. Новое состоит в возможности возникновения очень сложных структур. Причину их появления можно понять, рассматривая обратное отображение Т . Именно допустим, что обратное многозначное отображение Т расщепляется на ряд непрерывных однозначных отображений 7 7 , записываемых в виде х = g,- (л) i = I, 2,...), и пусть однозначные отображения с / = 1, 2, р преобразуют [c.287]

Так, например, точке л , согласно рис. 7.38, соответствует последовательность 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1,. .. Это соответствие однозначно. Оказывается, что оно и взаимно однозначно. Более того, оказывается, что для любой последовательности (7.47) из единиц и двоек можно найти точку лг , которой она соответствует. Доказательство этих, на первый взгляд весьма удивительных утверждений, может быть получено сравнительно просто и опирается на довольно общие утверждения, значительно выходящие за рамки рассматриваемого примера. Эти общие утверждения составляют основу так называемого символического описания точечного отображения и символической динамики (35], о которой применительно к рассматриваемому примеру пойдет речь. [c.293]

В заключение рассмотрим диаграммы взаимно однозначных точечных отображений окружности на себя. [c.296]

При взаимной однозначности отображение Т отрезка в себя всегда имеет устойчивую неподвижную точку. [c.300]

Причем многозначность вспомогательного отображения возможна п при взаимной однозначности отображения Т. Приведем несколько простых примеров. [c.302]

Теорема 9.5.6. (Теорема Пуанкаре о возвращении). Пусть Г — сохраняющее объем непрерывное взаимно однозначное отображение, переводящее ограниченную область О евклидова пространства в себя ТО = О. Тогда в любой окрестности С1 любой точки из О найдется точка х 1, которая возвращается в окрестность Г2, т.е. Г а 6 П при некотором п > 0. [c.671]

Следует отметить, что ввиду взаимной однозначности конформного отображения необходимо o ( )= =0. Новые неизвестные аналитические функции ф1( ), отвечающие прежним ф(г), и Tj5(2), можно искать в виде степенных рядов [c.135]

Qi то отображение называется однолистным. Однозначное однолистное отображение называют взаимно-однозначным. Взаимно-однозначное отображение, реализуемое аналитической функцией, называют конформным. [c.237]

Отображение ф Gj—одпой Г. на другую наз. изоморфизмом, если это отображение взаимно однозначно и согласовано с групповым умножением в обеих Г., т. е, если Ф (ffg ) = p (г)ф ( ) для любых g, В этом случае Г. 6 и наз. и з о м о р ф-п ы м и, что обозначают или G — G - Изоморфизм [c.541]

Об интегральных уравнениях С. Г. Михлина. Метод приведения основных задач к интегральным уравнениям, изложенный в 79, не применим непосредственно к многосвязным областям, так как он требует конформного отображения рассматриваемой области на круг, а такое отображение (взаимно однозначное) невозможно, если данная область йшогосвязна. [c.358]

Естественно было бы назвать разбиение (Х ,..Х ), обеспечивающее полусопряжение топологической цепи Маркова с отображением /, взаимно однозначное на большом множестве, и определенное так, что отображение может быть описано некоторым марковским способом, марковским разбиением. Мы отложим детальное обсуждение и строгие определения до 15.1 и 18.7. Сейчас же опишем несколько конкретных ситуаций отличных от случая растягивающих отображений окружности, где марковское разбиение появляется вполне недвусмысленным образом. [c.93]

Пусть / [О, 1] — [0,1] — кусочно монотонное отображение, взаимно однозначное и непрерывное вне окрестностей конечного числа точек. Удобно представлять такое преобразование в виде / = I о Ь, где Ь — гомеоморфизм, а / — перекладывание отрезков. Пусть /х — неатомарная /-инвариантная борелевская вероятностная мера. Тогда отображение д [0,1]—> [О, 1], д(х) =/х([0, х]), монотонно и определяет полусопряжение / с перекладыванием отрезков, поскольку факторотображение сохраняет меру Лебега и обладает лишь конечным числом точек разрыва. Имеется очевидный, но важный случай, когда полусопряжение становится сопряжением. [c.481]

Теорема 1. Пусть вещественная функция <р допустима для операторов Но и Н, причем определяемое ею отображение взаимно однозначно. Предположим, что пара (р Но), р Н) удовлетворяет условиям теоремы 5.5.3. Тогда для МР 3 Х] Н, Но] 3) справедливы оба представления (4) , где1 , -]2](р)—ядро оператора (2) . [c.289]

Si (S2S3) = (S1S2) S3. Предположим, что две произвольные начальные конфигурации Со и С связаны между собой отображением S СоС я функционалы реакции материала в Со и С суть соответственно [ ] и [ ]. Предположим также, что эти функционалы имеют группы изотропии я S - Тогда если Н G то [zji (х, s) = [ zli (х, s) SHS ], и это означает, что SHS 6 Две группы и связанные между собой соотношениями типа SHS = Н, гдеН S и S G называются сопряженными группами. Поскольку наши отображения взаимно однозначны и групповые свойства при таких отображениях сохраняются, группы и изоморфны. Значит, группы изотропии функционала, соответствующего любым двум связанным между собой унимодулярным преобразованием начальным конфигурациям, изоморфны. Это свойство иногда называют материальным изоморфизмом. [c.231]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

В качестве примера рассмотрим отображение Т Рис. 7.36. с графиком, представленным на рис. 7.36. Точечное отображение, обратное отображению Т, многозначное. Участок o i графика определяет взаимно однозначную зависимость [c.289]

Очень кратко это символическое описание состоит в следующем. Каждая точка [О, 1] взаимно однозначно описывается символической последовательностью Iq, 1, (j,---, составленной из двух символов 1 и 2. Тем самым множество точек отрезка [О, 1] можно рассматривать как множество всевозможных символических последовательностей (7.47). Пусть точке х" отвечает символическая последовательность io, i, i.j ,. .., тогда точке л Тх , как очевидно, отвечает последовательность i,, (5, i.i,. .. То есть в мпо>кестве Символических последователыюстей точечное отображение Т [c.293]

Критерии существования неподвижно точки многомерного точечного отображения. Уже на примере точечного отображения прямой в прямую можно было видеть, насколько сложным может быть поведение его последовательных преобразований. С увеличением размерности, естественно, трудности исследования и возможная сложность поведения значительно возрастают. Однако все же разница между одномерными отображениями и многомерными не столь разительна, как между двумерными и многомерными дифференциальными уравнениями. Некоторое объяснение этому можно видеть в том, что рассмотрение двумерной системы дифференциальных уравнений при сведении к точечному отображению прямой в прямую всегда приводит к взаимно однозначным отображениям, структура которых очень проста. В то время как исследование многомерных дифференциальных уравнений может свестись к изучению как многомерных точечных отображений, так и невзаимпо однозначных точечных отображений. [c.297]

Один из важнейших вопросов, которые возникают при исследовании точечного отображения, — это вопрос о его неподвижных точках, их существовании, числе и устойчивости. Один из наиболее общих критериев существования неподвижной точки основывается на широко известной теореме Брауэра. Эта теорема утверждает, что любое непрерывное отображение Т, преобразующее многомерный шар или любую гомеоморфную шару область G в себя, имеет в G по крайней мере одну неподвижную точку х. Под гомеоморфностью области G шару имеется в виду, что она является некоторым взаимно однозначным и взаимно непрерывным отображением шара [c.297]

Из этой теоремы следует, что удовлетворяющее ее условиям точечное отображение Т обладает весьма сложной структурой и что появление этой сложной структуры связано с м югозначностью вспомогательного отображения Т и его свойством преобразования некоторой области G в себя. Свойство сжимаемости, как оказывается, не является столь существенным. Оно лищь обеспечивает взаимную однозначность соответствия неподвижных точек и числовых последовательностей i. ,. .., а также их седловой характер. [c.310]

Топологическая размерность D - всегда равна целому числу. Топологическая размерность относится к топологическому свойству фигур, т.е. к свойству, не изменяющемуся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одинаковую топологическую размерность Дт=1 и одни и те же топологические свойства, т.е. эти линии могут быть деформированы одна в друтую описанным образом. Поверхность (в частности, плоскость или часть ее) - ее топологическая размерность Б евклидовом пространстве йт 2 (двумерный образ) пространство, а [c.154]

Заметим, что при взаимно-однозначном отображении производная со (S) не может обращаться.в нуль в области s. Рчроме того, поскольку отображение непрерывно вплоть до контуров, функция со (S) непрерывно продолжима на границу области s, [c.169]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...