Особенности бифуркации

Тождественность разбиения фазового пространства для исходной и аппроксимирующей систем обуславливается здесь в первую очередь сохранением особенностей бифуркаций, связанных с сепаратрисами седел, так как седловая величина не изменилась при переходе к аппроксимирующей системе (для обеих систем в седле + Qy = А [г). [c.460]

В обзоре систематически используется связь теории бифуркаций с теорией особенностей. Решение многих, в основном, локальных, проблем теории бифуркаций состоит в том, чтобы предъявить и исследовать так называемое главное семейство — своего рода топологическую нормальную форму для семейств исследуемого класса. Теория особенностей позволяет угадать и частично исследовать главные семейства. Она описывает также бифуркации положений равновесия, особенности медленной поверхности, медленные движения в теории релаксационных колебаний и т. д. [c.10]

Проектирование построенного многообразия равновесий на пространство параметров является гладким отображением. Теория особенностей гладких отображений (в частности, проекций) доставляет классификацию критических точек типичных отображений (а следовательно, и бифуркаций положений равновесия в типичных семействах). [c.15]

Выше были рассмотрены ситуации, когда поток подводимой к системе энергии является стационарным. Применительно к металлу это означает, что неизменные условия циклического нагружения могут реализовать только определенную последовательность механизмов разрушения, которая не связана с особенностями проведения опыта. Однако одного и того же предельного состояния можно достичь при разном сочетании способов подвода энергии к открытой системе. Поэтому при описании эволюции системы во времени нужно учитывать интегральный характер проводимой и получаемой оценки, которую между точками бифуркации получают через управляющие параметры а и Ш. В общем случае они характеризуются следующим образом [c.125]

На этом примере показана интересная и важная особенность задач устойчивости. Задачи устойчивости в принципе нелинейны. Классическую постановку задачи о точках бифуркации упругого равновесия можно рассматривать как первое приближение полной нелинейной задачи. Для дальнейшего уточнения классической постановки необходимо тщательно и всесторонне изучать все нелинейные факторы, которые могут оказать влияние на окончательный результат решения. Поэтому достоверные уточнения классической постановки задач устойчивости удается сделать только для некоторых частных задач [11, 26]. [c.37]

Интересно отметить, что обнаружение феномена бифуркаций ввело в физику элемент исторического подхода. Действительно, предположим, что результаты наблюдений свидетельствуют о том, что система, диаграмма бифуркаций которой приведена на рис. 4, находится в состоянии С и пришла в это состояние в результате возрастания значения Л. Интерпретация. зтого состояния X требует знания предыдущей истории системы, а именно, того факта, что по пути в С система должна была пройти через точки бифуркации А и В. Таким образом, в физику и химию вводится элемент истории, что до сих пор, по-видимому, было только особенностью наук, изучающих явления, относящиеся к области биологии, социологии и искусства. [c.138]

Еще одна качественная особенность диаграммы деформирования оболочки состоит в том, что новые устойчивые состояния равновесия становятся возможными еще до достижения критической точки В бифуркации. Эти новые состояния (участок В В) отделены от начального состояния устойчивого равновесия некоторым энергетическим барьером, уменьшающимся по мере приближения к критической точке бифуркации. [c.209]

В точках границы области существования решения на рис. 4 при < о (отметим, что граница эта есть линия бифуркации решений) решение не обладает какими-либо особенностями. Поэтому можно полагать, что отсутствие автомодельных решений при < min свидетельствует не о том, что теряют силу уравнения пограничного слоя, как считают авторы работы [6], а о том, что для полубесконечной пластины решение, действительно, не существует, а для пластины конечной длины решение есть, но оно существенно неавтомодельно. Подчеркнем, что в работе [6] при численном расчете обтекания плас- [c.99]

Это означает, что при нагрузке р = рк на кривой равновесия тела, построенной в координатах характерное перемещение / — параметр нагрузки р , имеется особенность в виде точки разветвления (бифуркации) функции / = / (р) (рис. 7.1). [c.131]

Вблизи неустойчивой точки система становится особенно чувствительной даже к малым воздействиям. Иначе говоря, путем малых воздействий можно кардинально менять состояние и поведение системы, чего нельзя добиться в других случаях. Все это хорошо сейчас разработано в математике, физике, химии. Емкое и содержательное понятие о бифуркации завоевывает популярность и в гуманитарных науках. [c.104]

При изменении Я различные линейные серии остаются отличными друг от друга, пока дискриминант А квадратичной формы (2) не исчезает, т. е. пока не исчезает ни один из главных коэфициентов устойчивости. Если же в то время, когда пробегается некоторая линейная серия, дискриминант А при некотором частном значении А исчезает и меняет знак, то соответствующая конфигурация оказывается формою бифуркации , т. е. эта конфигурация представляет точку пересечения рассматриваемой линейной серии с другой. Может даже случиться, что при некотором значении А две линейные серии совпадают, а после этого становятся мнимыми. Если рассматриваемая конфигурация не принадлежит ни к какой другой линейной серии, то мы имеем так называемую предельную форму равновесия, и можно показать, что А в обеих сериях вблизи от точки соединения имеет различные знаки. Особенно важным оказывается тот случай, когда две серии соединяются и после этого делаются мнимыми, в то время как третья серия непрерывно переходит через эту общую точку. [c.897]

Отмеченные особенности механических систем, зависящих от параметра, вносят некоторые дополнения в классическую теорию Пуанкаре бифуркации равновесия консервативных механических систем. [c.325]

Превращение устойчивого фокуса при прохождении через нуль в неустойчивый фокус, окруженный предельным циклом, называют бифуркацией Хопфа. Самая впечатляющая особенность этого перехода — перестройка фазового портрета — возникает при сколь угодно малом изменении управляющего параметра е. Возможно, аналогичный механизм лежит в основе такого метода воздействия на биологическую систему человека, как иглоукалывание. [c.173]

В настоящее время особенно подробно изучены задачи, относящиеся к случаю 1 (бифуркационные задачи). Для определения точек бифуркации пользуются способом Эйлера или энергетическим методом. [c.11]

Ф на плоскость параметров р и Фд характеризуется особенностью, называемой особенностью типа сборки (рис. 5). Отвечающая этой особенности бифуркац, граница р = р= ехр(1/. ), у = = У i 4Фн)/2, разделяет на плоскости параметров д, Ф,, области, в к-рых ур-иие (3) имеет одно или три стационарных состояния. [c.386]

До сих пор мы подробно исследовали свойства квазипериодического движения и в особенности бифуркации из одного тора в другой, в том числе бифуркации из двумерных торов в трехмерные. Причина, по которой мы уделяли столько внимания этому подходу, заключается в том, что, как экспериментально установлено, возможны переходы от двумерного тора не только к хаосу, но и к трехмерному тору. В связи с этим естественно возникает задача выяснить, почему картина Рюэля и Такенса наблюдается в одних и не наблюдается в других случаях. Из соображений, подробно изложенных в предыдущем разделе, следует, что бифуркация двумерного тора в трехмерный возможна, если выполняется условие KAM, т. е. если отношения частот аномально хорошо аппроксимируются рациональными числами. Из сказанного можно сделать вывод о разумности привлечения вероятностных соображений при оценке возможности бифуркации двумерного тора в трехмерный у данной реальной системы. Наш подход позволяет решить загадку — ответить на вопрос, почему у некоторых систем наблюдается бифуркация двумерного тора в трехмерный, несмотря на то, что соответствующие решения не являются общими в смысле Рюэля и Такенса. Оказалось, что у реальной системы в некоторых интервалах значений управляющих или каких-то других параметров может осуществляться сценарий последовательных бифуркаций торов, но по мере увеличения размерности торов вероятность переходов быстро убывает, картина Ландау—Хопфа становится неадекватной, и наступает хаос. [c.308]

Преобразование (32,5) имеет неподвил<ную точку — корень уравнения х, = 1 —Хх . Эта точка становится неустойчивой при X > Л[, где Ai — значение параметра Х, для которого мультипликатор (х = —2Я,л , = —1 из двух написанных уравнений находим Л = 3/4. Это — первое критическое значение параметра Х, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант затем будут сформулированы точные утверждения. [c.173]

Отметим также, что для нелокальной теории бифуркаций оказываются особенно полезными конечногладкие нормальные формы локальных семейств дифференциальных уравнений. Эти нормальные формы значительно упрощают отыскание и исследование бифуркаций, а также обоснование и исследование полученных результатов. С другой стороны, нелокальная теория бифуркаций позволяет выделить задачи теории нормальных форм, важные для приложений. На наш взгляд, связь между теорией нормальных форм и нелокальной теорией бифуркаций в настоящее время используется недостаточно. [c.10]

Эта геометрическая особенность оболочек приводит, Гво-пер-вых, к тому, что формулы для критических нагрузок оболочек имеют более сложную структуру по сравнению с формулами для критических нагрузок стержней и пластин в них входят из-гибная жесткость оболочки и жесткость на растяжение-сжатие. Во-вторых, в результате этой особенности закритическое поведение оболочек качественно отличается от закритического поведения стержней и пластин вблизи критических точек бифуркации. [c.239]

Условие (113) соответствует стационарному режиму макропластичес-кого течения. При достижении управляющим параметром Л(К, а) соответствующих критических значений система претерпевает последовательность бифуркаций. Так, при А < (см. рис. 75) каждому значению А (характеризующему условия нагружения и особенности субструктуры) соответствует единственное значение равновесной плотности дислокаций Ne- При А > Ас функция Ne неоднозначна. Согласно рассмотренной модели, указанный переход связан с проявлением структурной неоднородности материала в поле внешних воздействий, приводящей к нестабильности пластического течения (например, к динамической рекристаллизации сплавов [174]). [c.107]

Известны особенности характера кривых параметр нагрузки Я, — обобщенное перемещение w , присущие гибким оболочкам (точки, в которых dXldw = О, точки бифуркации). Трудность получения решения в окрестности этих (предельных и особых) точек привела к необходимости поиска эффективных способов выбора параметра, его смены либо введения такого параметра, продолжение решения по которому возможно вдоль всей траектории состояний равновесия Я (w). [c.25]

Для эллипсоидов врагцення распределение устойчивости и неустойчивости ничем сугцественным не отличается от классического случая. Эллипсоиды врагце-пня, мало отличаюгциеся от сферы, всегда устойчивы и при своем изменении остаются таковыми до онределенного момента, когда появляется особенный эллипсоид (эллипсоид бифуркации), после чего устойчивость эллипсоидов врагце-пня теряется. [c.162]

Для динамических систем размерности, большей трех, отображение (1.1) гл. 2 дает другой пример неограниченного вытягивания и укладки. Характерной его особенностью является укладка без складываний, которая требует для точечного отображения размерности не меньше трех, а для соответствующей динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями,— не меньше четырех. Уже этот факт говорит о возможностл существенного отличия четырехмерных систем от трехмерных, а не только трехмерных от двумерных. Насколько реально такое различие, в настоящее время сказать трудно в силу очень малой изученности четырехмерных систем. Отметим тут же, что в четырехмерных системах, как будет видно из дальнейшего, возможны бифуркации, которых нет в трехмерных систе1мах. Весьма правдоподобно, что отличие четырехмерных систем от трехмерных скорее всего окажется весьма значительным. [c.76]

Выше говорилось о бифуркациях обмотки двумерного интегрального тора, порождаемых изменением числа вращения Пуанкаре. В частности, эти бифуркации могли происходить на торе, который рождается от иериодического движепия при изменении параметров, приводящем к переходу через бифуркационную поверхность коразмерности единицы. В момент рождения тора число вращения фазовых траекторий на нем равно ф/2я и в дальнейшем может меняться. При этом рождение тора носит изолированный характер, т. е. оно происходит при некотором значении параметра [х = (х и при [х, близких к ц, по отличных от (X, отделений или слияний торов с периодическим движением нет. Однако в особых случаях и, в частности, для гамильтоновых систем, рождение интегральных торов от периодических движений может носить совсем другой, непрерывный характер [61]. Это связано с особенностями гамильтоновых систем и в первую очередь с тем, что при наличии у нее периодического движепия только с двумя ко мплексными корнями последние обязательно имеют вид и при изменении параметров возможны только следующие случаи [c.170]

Указанные особенности позволяют интерпретировать данные, приведенные в конце п. 7.1, если учесть, что горизонтальное дерево восприимчиво к термическому воздействию, а вертикальное — к механическому. Поэтому при изменении внешних условий перестройка горизонтального дерева, приводящая к незаблокированному каскаду бифуркаций, всегда выражена сильнее, чем для вертикального дерева. Циклирование материалов, склонных к фазовому наклепу, приводит к блокированию этих каскадов за счет прорастания ветвей вертикального дерева из свободных узлов горизонтального. [c.195]

При изменении определяющего параметра 1 (например, при увеличении Ке) фазовый поток деформируется, и при некоторых критических значениях 11сг, [Агсг, . какие-то из его особенностей появляются или исчезают или претерпевают качественное изменение. Такие изменения топологических особенностей фазового потока называются его бифуркациями (или катастрофами ). Про- [c.96]

Смотреть страницы где упоминается термин Особенности бифуркации : [c.454] [c.729] [c.34] [c.70] [c.9] [c.65] [c.97] [c.207] [c.244] [c.245] [c.245] [c.245] [c.96] [c.301] [c.36] [c.174] [c.276] [c.194] [c.38] [c.422] [c.402] [c.385] [c.387] [c.245]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...