Задача бифуркации

Отметим, что при решении задач бифуркации и устойчивости с учетом сложного нагружения нет необходимости в определении границы Zp раздела зон активного и пассивного деформирования в силу того, что функционалы [c.343]

Задачей качественной теории многомерных динамических систем является совместное изучение структур разбиения фазового пространства и пространства параметров. Эта общая трактовка предмета исследования качественной теории, как математической основы теории нелинейных колебаний, включает в себя изучение установившихся движений и их бифуркаций, выяснение областей притяжения установившихся движений, а также глобальной картины их взаиморасположения и перехода друг в друга при изменении параметров [1—3, 36, 41]. [c.237]

На границе таких областей происходит либо исчезновение одного из этих движений, либо нарушение устойчивости. Поэтому задача выделения областей существования и устойчивости простейших установившихся движений (состояний равновесия и периодических движений) является частью более обш,ей задачи изучения бифуркаций особых точек и замкнутых фазовых кривых. Однако значимость теории бифуркации состоит не только в этом, но и в том, что она открывает путь к более полному изучению динамических систем и оказывается полезной даже при изучении конкретной динамической системы, которая ни от каких параметров не зависит. Последнее означает, что в ряде случаев изучение конкретной динамической системы существенно облегчается путем искусственного введения параметров и последующего использования теории бифуркаций. [c.251]

Применим теперь полученные сведения к первоначальной задаче исследования бифуркаций периодических движений. Для этого достаточно иметь в виду, что неподвижной точке О" соответствует периодическое движение рр+1, 9+1 а замкнутой инвариантной одномерной кривой Г/1+1. q — инвариантная двумерная тороидальная поверхность Поэтому, в частности, первая из бифуркаций [c.261]

Минимальное значение параметра внешней нагрузки р, при котором она впервые не возвращается к своему исходному состоянию равновесия, называется бифуркационным. При этом значении параметра нагрузки происходит нарушение единственности решения задачи, что выражается в ветвлении (бифуркации) зависимости нагрузка р — характерное перемещение . [c.318]

Для стержней и пластин (рис. 15.1, 15.2) после бифуркации при нагрузке р наблюдается неединственность решения задачи и резкое возрастание прогибов, которое, как правило, приводит либо к разрушению, либо к недопустимо большим деформациям. Такое поведение стержней и пластин предопределило успех бифуркационной теории Эйлера. У оболочек (рис. 15.3) после бифуркации при нагрузке р наблюдается резкое падение сжимающей нагрузки при одновременном росте перемещений. Оболочки весьма чувствительны к начальным несовершенствам формы и поэтому при анализе их поведения основное значение имеет максимальная нагрузка Рт, которую она выдерживает перед наступлением катастрофического выпучивания. Для определения же максимальной нагрузки необходимо решать нелинейную задачу о выпучивании оболочки с учетом начальных прогибов fo (рис. 15.3) либо других начальных несовершенств. [c.321]

Для решения системы уравнений (15.10), (15.11) можно воспользоваться методом Бубнова — Галеркина, который приводит задачу к решению системы однородных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов Атп, бтп- Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов этой системы, находим условие для определения бифуркационных значений параметра нагрузки N. Иногда это условие можно получить непосредственной подстановкой выражений (15.13), (15.14) в уравнения бифуркации (15.10), (15.11). [c.326]

В случае плоских пластин kij = 0 уравнения (15.10), (15.11) становятся независимыми и для решения задачи о бифуркации достаточно одного уравнения [c.326]

Наибольшую трудность при решении задач о бифуркации и устойчивости пластин и оболочек с учетом сложного нагружения представляют собой вычисления интегралов Nm, Рт, Нт, йт. Представим эти функции в виде [c.341]

В качестве примера рассмотрим задачу о бифуркации прямоугольной пластинки размером аХ в плане, испытывающей в до- [c.349]

Решение задачи с учетом сложного нагружения в момент бифуркации приводит к громоздким выражениям и интересующиеся могут обратиться к работе [5]. Эта задача, как и в случае пластин, решается методом последовательных приближений. В качестве первого приближения принимается решение задачи с чисто пластической бифуркацией, когда излом траектории деформации не учитывается (т=1). [c.355]

Задачей о потере устойчивости системы в виде колонны, нагруженной продольной силой, занимались Эйлер, Вернули и др. Одним из первых термин "бифуркация" (что означает раздвоение) ввел Якоби в 1834 г. Теория бифуркаций получила фундаментальное развитие в работах при решении различных задач нелинейного поведения систем. [c.40]

Проведенный анализ показывает, что между параметрами разрушения и фрактальной размерностью существует корреляция. Дальнейшая задача связана с установлением универсальных связей между критическими параметрами, контролирующими устойчивость деформируемого твердого тела на основе свойств, отвечающих точкам бифуркаций. [c.340]

Таким образом, = 2 — особая точка б-оси при б > 6, = 2, действительное решение краевой задачи (6.6.26), (6.6.27) отсутствует, а при б < б, существуют два действительных решения этой задачи. Такие точки носят специальное название точек бифуркации. Точкой бифуркации 6-оси называют точку, при переходе через которую число решений нелинейной краевой задачи изменяется на конечную величину [c.279]

Наряду с известными, обзор включает ряд новых результатов некоторые из них известны авторам из частных сообщений. К ним относятся полное исследование бифуркаций положений равновесия в типичных двупараметрических семействах векторных полей на плоскости с двумя пересекающимися инвариантными прямыми (так называемая редуцированная задача [c.10]

Редукции к двумерным системам. Бифуркации особых точек с одним нулевым и парой чисто мнимых собственных значений, а также с двумя чисто мнимыми парами достаточно изучать в трехмерном и четырехмерном пространствах соответственно (по теореме сведения). Метод Пуанкаре приводит в этом случае к вспомогательной задаче. Семейство уравнений x—v x, е) превращается в систему [c.27]

Две чисто мнимых пары. Рассмотрим векторное поле с двумя парами чисто мнимых собственных значений в особой точке О пространства R . Редукции п. 3.4 приводят к следующей задаче изучить бифуркации фазовых портретов в типичных двупараметрических семействах в четверти плоскости 1/ 0 (поле касается осей координат) [c.31]

Бифуркации с прохождением через единичную окружность комплексно сопряженной пары мультипликаторов полезно изучать в двупараметрических семействах перестройки, которые кажутся нелокальными при однопараметрическом подходе, поддаются исследованию локальными методами, если рассматривать задачу, как двупараметрическую (п. 1.5 ниже). [c.43]

Некоторые открытые вопросы. Перечислим некоторые задачи о бифуркациях коразмерности 1 векторных полей Морса—Смейла, связанных с нарушением гиперболичности циклов. [c.126]

А. Пуанкаре в своей диссертации, в работах по теории равновесия вращающейся жидкости и по небесной механике заложил неформальные основы теории бифуркаций, включая, например, теорию нереальных деформаций и технику нормальных форм. Формальные основы теории бифуркаций заложены А. А. Андроновым и его учениками [1]—[9], исходившими в своих исследованиях из прикладных задач. В частности, ими подробно изучена бифуркация рождения цикла при потере устойчивости положением равновесия, по недоразумению называемая зачастую бифуркацией Хопфа. К сожалению, ранние работы А. А. Андронова [1], [4], [5], [6] недостаточно широко известны на Западе. [c.207]

О бифуркациях сепаратрис в задаче о потере устойчивости автоколебаний вблизи резонанса 1 4. Прикл. мат. и мех. 1980, 44, вып. 5, 938—943 [c.211]

Использование принципов синергетики с целью анализа кинетики усталостных трещин и построение единой кинетической кривой подразумевает, как было показано выше, переход к рассмотрению закономерностей эволюции несущей способности элемента конструкции в эксплуатации в процессе подрастания трещины через эволюцию управляющих параметров. Смысл поправочных функций на тот или ипой фактор, влияющий на процесс развития трещины, состоит именно в том, чтобы решать задачу по управлению этим процессом. Через изменение величин параметров воздействия происходит изменение поправочной функции, а через нее оказывается влияние на управляющий параметр. Снижая величину управляющего параметра и не допуская достижения точки бифуркации, можно существенно повлиять на скорость роста усталостной трещины и увеличить длительность эксплуатации с ней элемента конструкции. [c.401]

В первой, вводной главе, важнейшие понятия теории упругой устойчивости — точка бифуркации, критическая нагрузка, линеаризованное уравнение, граница области устойчивости и энергетический критерий устойчивости — введены и проиллюстрированы на примерах упругих систем с одной-двумя степенями свободы, подобно тому, как это обычно делается в теории механических колебаний. Кроме того, в первой главе рассмотрены ограничения и допуш.ения, используемые обычно при формулировке и решении задач устойчивости тонкостенных элементов силовых конструкций. [c.7]

Критические точки бифуркации первого типа характерны для задач устойчивости упругих стержней и пластин, критические точки бифуркации второго типа — для задач устойчивости тонких упругих оболочек. Критические предельные точки характерны для задач устойчивости пологих оболочек и тонких упругих оболочек с начальными геометрическими несовершенствами. [c.18]

При решении задач упругой устойчивости центральное место занимает определение критических точек бифуркации и критических нагрузок. Точки бифуркации определяются как точки пересечения различных решений нелинейных уравнений (именно так они определялись в рассмотренных выше примерах). Но их можно найти и иначе, минуя решение нелинейных уравнений. Это можно сделать с помощью однородных линеаризованных уравнений. [c.21]

Этот способ определения точек бифуркации с помощью линеаризованных уравнений можно использовать при решении других более сложных задач. [c.23]

В задачах устойчивости обычно нужно найти точку бифуркации, соответствующую наименьшему значению нагрузки. Как показано ниже, эта точка н соответствующее ей значение нагрузки [c.26]

Однородные линеаризованные уравнения теории упругой устойчивости — основной рабочий инструмент этой теории — относятся к разделу математики, называемому задачи на собственные значения (см. приложение I). Кроме однородных линеаризованных уравнений, служащих для определения точек бифуркации, в теории упругой устойчивости широко применяют неоднородные линеаризованные уравнения для приближенного описания поведения систем с начальными неправильностями при малых, но конечных значениях отклонений. Такие уравнения достаточно полно характеризуют поведение систем вблизи точек бифуркаций первого типа (см., например, 18). [c.26]

Как видим, снова получена система уравнений (1.29), определяющая точки бифуркации исходного состояния равновесия. Но теперь можно утверждать, что значение Р , соответствуюш,ее первой точке бифуркации, является критическим, т. е. в рассмотренной задаче [c.29]

На этом примере показана интересная и важная особенность задач устойчивости. Задачи устойчивости в принципе нелинейны. Классическую постановку задачи о точках бифуркации упругого равновесия можно рассматривать как первое приближение полной нелинейной задачи. Для дальнейшего уточнения классической постановки необходимо тщательно и всесторонне изучать все нелинейные факторы, которые могут оказать влияние на окончательный результат решения. Поэтому достоверные уточнения классической постановки задач устойчивости удается сделать только для некоторых частных задач [11, 26]. [c.37]

Это уравнение степени N дает N собственных значений которые приближенно соответствуют N первым точкам бифуркации исходной задачи устойчивости стержня. Наименьшее из найденных собственных значений приближенно равно критической нагрузке, т. е. Кр (Рп) mln- [c.66]

Задачи, в коюрых реигение должно удовлетворять различным ограничениям типа равенства и неравенства, возникают при борьбе с загрязнением воды. Их численное решение, объединяющее методы конечных элементов и линейного программирования, рассматривается Футагами [1]. Соответствующая требующая внимания область исследования —аппроксимация задач бифуркации (которые возникают, в частности, в теории упругости). В этом направлении упомянем одну из первых работу Кикути [8], где рассматривается задача [c.323]

Пусть при некотором значении ро<Рт процесс нагружения был остановлен. После этого начинается второй этап медленной затухающей ползучести из точки М в точку М. Такой процесс выпучивания устойчив, поскольку он ограничен по перемещениям. Если рт <Ро<Рт (точка N на рис. 15.5), то, несмотря на ограниченную ползучесть материала, выпучивание конструкции не прекратится вплоть до достижения мерой выпучивания f некоторого критического значения, после чего происходит выщелкивание элемента конструкции, которое называют иногда локальной катастрофой. Локальная катастрофа в квазистатической постановке представляет собой во времени разрывную бифуркацию. Если материал обладает неограниченной ползучестью, то постановка задачи об устойчивости на неограниченном интервале времени не имеет места. Всякий процесс выпучивания при неограниченной ползучести является неустойчивым (рис. 15.6). При некотором конечном значении времени / скорость выпучивания [c.324]

Выше было отмечено, что основные уравнения задачи допускают существенное упрощение, если Nm= onst, т. е. не зависят от х , Х2. Это возможно, если считать, например, N = 20. Для однородного перед бифуркацией напряженного состояния упрощение возможно при аппроксимации [c.344]

Как видим, в уравнениях (16.66), (16.67) переменные разделяются и задача сводится к решению лишь одного дифференциального уравнения (16.66), которое обобщает известное в практике инженерных расчетов на устойчивость уравнение устойчивости пластин Ильюшина [7] на случай сложного нагружения. При 2 = onst оно позволяет решать задачи о бифуркации и устойчивости по всем частным теориям пластичности, которые не учитывают излом траектории в выражениях для Рт, Nm- В этих теориях граница раздела зон пластической догрузки и разгрузки находится из уравнения [c.348]

Отметим также, что для нелокальной теории бифуркаций оказываются особенно полезными конечногладкие нормальные формы локальных семейств дифференциальных уравнений. Эти нормальные формы значительно упрощают отыскание и исследование бифуркаций, а также обоснование и исследование полученных результатов. С другой стороны, нелокальная теория бифуркаций позволяет выделить задачи теории нормальных форм, важные для приложений. На наш взгляд, связь между теорией нормальных форм и нелокальной теорией бифуркаций в настоящее время используется недостаточно. [c.10]

Полное описание бифуркаций получено только для первого из этих классов. Для ростков двух других классов аналогичное описание, по-видимому, невозможно. Теория нормальных форм дает в качестве упрощенной модели для исследования деформаций рЬстков этих классов вспомогательные локальные семейства эквивариантных векторных полей на плоскости. Переход от вспомогательных семейств к исходным также небезобиден. Исследование вспомогательных семейств — трудная задача из-за бифуркаций предельных циклов. [c.26]

Заметим, что эти определения относятся, в первую очередь, к постановке задачи локальные бифуркации могут сопровождаться полулокальными, а полулокальные — глобальными. [c.88]

Дать возможно полное описание бифуркаций векторных полей, имеющих критический цикл, узловой по гиперболическим переменным с мультипликатором 1 и компактным множеством гомоклинических траекторий. Для одномерного аналога этой задачи некоторые результаты имеются в [180], где используется язык нидинг-последовательностей и множеств вращения. [c.126]

Наибольшую сложность в исследовании бифуркаций положения равновесия на плоскости представляет задача о рождении предельных циклон. Как правило, основная часть решения этой задачи сводится к исследованию абелевых или сходных с ними интегралов по фазовым кривым специальной гамильтоновой системы. Эти исследования проводятся либо чисто вещественными методами [43], [72], [88], либо с помощью выхода в комплексную область с применением теоремы Пикара — Лефшеца, теории эллиптических интегралов и уравнений Пикара — Фукса [75], [76], [93], [104], [119], [141], [193]. [c.208]

Мы рстаиили в этом обзоре в стороне обширную и быстро развивающуюся теорию бифуркаций систем с симметриями. Обилие разнообразных групп симметрий и их приложений, а также распространенность задач с симметриями в приложениях делают эту область очень привлекательной здесь уже прн малом числе параметров типичны сложные бифуркационные диаграммы. С современным состоянием этой теории можно ознакомиться по статьям и книге Голубицкого и Шеффера [150—153] см. также [136], [145], 1146], [148], [149], [195]-[197]. [c.209]

Нейштадт А. М.. Бифуркации фазового портрета одной системы уравнений. возникающей в задаче о потере устойчивости автоколебаний вблизи резонанса 1 4. Прикл. мат. и мех., 1978, 42, вып. 5. 830—840 [c.213]

Первое уравнение синергетики выполняется в интервале (К 2 в интервале - К23) реализуется второе уравнение синергетики. Это позволяет рассматривать каскад процессов роста трещины при изменении механизма роста треши-ны с помошью последовательности кинетических уравнений (4.47) с учетом граничных условий, определяемых физикой процесса роста трещин. Именно поэтому представило интерес рассмотреть имеющиеся экспериментальные данные по определению показателей степени в уравнении Париса, в которых предпринимались попытки выделения особых точек на кинетических кривых при исследовании сплавов на различной основе (табл. 4.3). В отобранных для анализа работах не ставилась задача построения единой кинетической кривой в виде последовательности дискретных переходов в связи со сменой механизмов разрушения. Поэтому критические точки СРТ или шага усталостных бороздок не были строго поставлены в соответствии со сменой механизма роста трещины. Вместе с тем проведенное обобщение свидетельствует о том, что последовательность в переходах через точки бифуркации в процессе роста усталостных трещин является устойчивой и в полной мере соответствует последовательности показателей степени тр. 4 2 4 — для последовательности развития трещин на микроуровне, мезо I и мезо П соответственно. [c.220]

Определение точек бифуркации и критических нагрузок энергетическим методом сводится к определению стационарных значений некоторых функционалов. Для решения последней задачи может быть применен метод Рэлея—Ритца. Схему использования метода Рэлея—Ритца в задачах устойчивости упругих систем рассмотрим на примере определения критической силы для сжатого прямого стержня. При этом следует иметь в виду, что задача устойчивости стержня выбрана только для наглядности изложения и все этапы ее решения, рассуждения и выводы носят общий характер. [c.65]

Итак, с помощью метода Рэлея—Ритца задача определения точек бифуркации прямолинейной формы равновесия стержня сведена к задаче на собственные значения для матриц (см. приложение I). Условие существования отличных от тождественного нуля решений системы (2.71) приводит к уравнению, из которого могут быть найдены собственные значения Р [c.66]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...