Равновесие Формы — Бифуркация (разветвление)

Статический критерий устойчивости состоит в следующем. Рассматриваются состояния равновесия, бесконечно близкие к исходному (основному, тривиальному ) состоянию равновесия. При некотором значении нагрузки возможна наряду с основной формой равновесия другая форма. Иными словами, при одной и той же нагрузке могут осуществляться различные формы равновесия (точка бифуркации, разветвления форм равновесия). Подобное состояние и может рассматриваться как переходное от устойчивого равновесия к неустойчивому. Наименьшая нагрузка, при которой возможны различные формы равновесия, называется критической. [c.266]

В результате решения уравнений равновесия оболочки в пространстве нагрузка—перемещения в выбранных пределах изменения внешней нагрузки находим кривую, представляющую равновесные состояния оболочки. При этом на полученной кривой отыскиваем точки (если такие имеются), соответствующие верхней и нижней критическим нагрузкам оболочки. Вместе с тем в процессе нагружения оболочек (как и других тонкостенных конструкций) нередки случаи, когда при определенной нагрузке (нагрузке бифуркации) происходит разветвление равновесных форм оболочки, т. е. на исходное поле перемещений оболочки накладывается по меньшей мере одно дополнительное, бесконечно малое поле перемещений, которое в процессе его эволюции приводит к выпучиванию оболочки. В случае осесимметричного деформирования оболочки вращении при бифуркационной нагрузке появляется, как правило, одно дополнительное, вообще неосесимметричное поле перемещений (возможны также случаи выпучивания по нескольким формам). [c.288]

Предварительно несколько уточним саму постановку задачи о нахождении критической силы. По Эйлеру, признаком неустойчивости формы равновесия служит существование смежной (т. е. сколь угодно близкой к исходной) отклоненной формы равновесия при неизменной нагрузке. Возникновение такой возможности зависит от уровня нагрузки. Если сжимающая сила достигает критического значения, то происходит разветвление (бифуркация) форм равнове- [c.450]

Исследование свойств функционала потенциальной энергии можно заменить систематическим рассмотрением смены форм равновесия при изменении параметров системы. Соображения, близкие к известной теории бифуркаций А. Пуанкаре (1884 г.), приводят к статическому методу в теории устойчивости упругих систем. Этот метод позволяет свести исследование устойчивости к отысканию точек разветвления и предельных точек. В окрестности точки разветвления наряду с исследуемой формой равновесия сущ ествуют некоторые смежные формы. При переходе через эту точку может происходить потеря устойчивости по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной формы равновесия к другой. Анализ типов предельных точек и смен равновесных состояний упругих систем можно найти в работах Г. Ю. Джанелидзе (1955), И. И. Гольденблата (1965) и др. Основную трудность в применении метода бифуркаций упругих систем составляет выбор параметров, характеризуюш их состояние системы. Строго говоря, наличие точек бифуркации не является ни необходимым, ни достаточным условием смены устойчивости. Достоверность выводов, основанных на бифуркационных соображениях, можно повысить, если увеличить число параметров. Но при этом утрачивается главное преимущество бифуркационного метода — геометрическая наглядность. [c.336]

Появление смежных равновесных форм называют бифуркацией, или разветвлением форм равновесия. Точку А на рис. 1, б называют точкой бифуркации. [c.8]

Диаграмма равновесных состояний в случае оболочки, показанной на рис. 2, является несимметричной (здесь прогиб к центру кривизны откладывается вправо, а от центра — влево). Ветвь АВР лежит ниже точки разветвления (бифуркации) А. Участок АВ соответствует неустойчивым равновесным формам, участок ВР — устойчивым. Точка А отвечает верхней критической нагрузке Р , точка В — нижней критической нагрузке Р . Верхней критической нагрузкой называют наибольшую нагрузку, до которой исходное состояние равновесия оболочки [c.127]

Результаты, полученные в предыдущем параграфе, еще не дают ответа на вопрос об устойчивости в строгом смысле слова, как это было сформулировано в 4.1. Вместо этого мы по существу ввели бифуркационный критерий устойчивости. Вели представить себе процесс нагружения стержня продольной силой как процесс, описываемый кривой (Зависимости некоторого прогиба от сжимающей силы, то на этой кривой получаются разветвления в некоторых точках, называемых иритичесними или точками бифуркации. Так, на рис. 4.4.1 схематически изображен график saBiH HMO TH прогиба, например прогиба б в середине стержня, от сжимающей силы Р пока Р < Р это отрезок оси ординат, 6 = 0. При Р> Р стержень может либо оставаться прямым, либо иоириниться в соответствии с двумя возможными формами равновесия возникает бифуркация, одному и тому же значению силы Р соответствуют два возможных прогиба (точии А -а В). Вопрос о том, какая форма равновесия, прямолинейная [c.121]

Итак, установлена замкнутая система линейных однородных уравнений устойчивости слоистых композитных оболочек. Записанная в вариациях обобщенных перемещений система состоит из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными j S относительно пяти искомых функций и , и . И", TTj. Ее порядок от числа слоев оболочки не зависит и равен 12, что соответствует количеству задаваемых для нее краевых условий (3.3.6). Зависимость коффициентов этих уравнений от параметра внешних нагрузок проявляется через характеристики основного состояния (перемещения, деформации, усилия) и в общем случае нелинейна. Задача заключается в определении таких значений этого параметра, при которых линейная однородная система уравнений устойчивости, подчиненная надлежащим однородным краевым условиям, допускает нетривиальное решение. Этими значениями параметра нагрузок определяются критические точки, которые, согласно существующей классификации [45, 51 ], могут быть двух типов — точки бифуркации и предельные точки. При переходе через точку бифуркации может теряться устойчивость по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной равновесой формы к другой [45, 51 ]. [c.61]

В noi TanoBKe Шенли вопрос об устойчивости сводится к вопросу о бифуркации, т. е. разветвлении форм движения. Пока сила меньше чем Ро, при увеличении силы наблюдается одна-едпнст-веиная форма движения стержня, а именно его равномерное сжатие. При Р > Ра возможны две формы движения либо равномерное сжатие, либо непрерывное выпучивание при этом каждому значению силы Р > Ро соответствует вполне определенное значение прогиба. Действительно, хотя при выводе фо рмулы (4.10.1) мы воспроизводили тот же ход рассуждения, который привел нас к формуле Эйлера для упругого состояния стержня, на самом деле малое приращение сжимающей силы делает возможным лишь малые искривления стержня, не сопровождающиеся разгрузкой. При появленпп частичной разгрузки сопротивление изгибу возрастает, поэтому равновесие возможно не при любом значении прогиба, а при вполне определенном его значении. [c.139]

В классической теории упругой устойчивости критическая сила (критическое давление, критический момент и т. п.) определяется как наименьшее значение силы, при котором наряду с исходной формой равновесия имеют место смежные, весьма близкие к ней другие формы равновесия. При Р — Ркр происходит разветвление (бифуркация) форм равновесия. При Р > исходная форма равновесия перестает быть устойчивой и сменяется новой устойчивой формой равновесия, т. е. происходит качественное изменение характера деформации элемента конструкции в частности, центрально сжатый стержень при Р > Р р испытывает сжатие и изгиб — продольный изгиб. Как правило, при переходе элемента конструкции к новой форме равновесия происходит быстрый рост перемещений и напрянгений, что приводит к разрушению конструкции или невозможности ее дальнейшей эксплуатации. Для обеспечения надежности конструкции ее эксплуатационная нагрузка должна быть существенно меньше кри- [c.292]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...