Бифуркация из фокуса в предельный цикл (бифуркация Хопфа)

Бифуркация из фокуса в предельный цикл (бифуркация Хопфа) [c.65]

Превращение устойчивого фокуса при прохождении через нуль в неустойчивый фокус, окруженный предельным циклом, называют бифуркацией Хопфа. Самая впечатляющая особенность этого перехода — перестройка фазового портрета — возникает при сколь угодно малом изменении управляющего параметра е. Возможно, аналогичный механизм лежит в основе такого метода воздействия на биологическую систему человека, как иглоукалывание. [c.173]

На базе нелинейных уравнений исследуется устойчивость прямолинейного поступательного торможения при наличии линейного демпфирующего момента. Показано, чю в рамках рассматриваемой модели в принципе могуг возникнуть автоколебания, соответствующие предельным циклам, коюрые рождаются из слабого фокуса (известная бифуркация Андронова-Хопфа). [c.282]

Превращение устойчивого фокуса в предельный цикл при прохождении и через нуль (рис. 7.2, д) называется бифуркацией Хопфа. Возможна также и обратная бифуркация Хопфа (рис. 7.2, е). На рис. 7.2, а—е показаны все типичные бифуркации в двумерных потоках ). [c.416]

Третья модель перехода к турбулентности, предложенная Фейгенбаумом, связана с последовательностью бифуркаций удвоения периода [122]. Переход начинается с бифуркации Хопфа из устойчивого фокуса в предельный цикл с частотой /i. При дальнейшем [c.481]

В дальнейшем для удобства тильду мы будем опускать. Ранее из линейного анализа (4.1) было показано, что тип равновесия определяется величиной у= К (1). Если у < 1, то равновесие -неустойчивый узел (фокус), если у > 1, то узел (фокус) становится устойчивым. При переходе через и = 1 происходит смена устойчивости по типу бифуркации Андронова-Хопфа, когда собственные значения пересекают мнимую ось. В случае обшего положения при зтом из равновесия рождается предельный цикл. Однако конкретные примеры трофической функции V (лг) могут приводить к иным результатам. [c.228]

Заметим, что при (Сг - С,) < О обычным для системы (6.2) является рождение предельного цикла в результате бифуркации Андронова-Хопфа, так как с ростом параметра С фокус теряет устойчивость. Очевидно, что бифуркационное значение Скр есть корень уравнения R (С р) = О, и, как показано выше, хотя бы один такой корень всегда существует. [c.260]

Цель этого параграфа - предложить достаточно простое, хотя и не исчерпывающее, изложение того, что обычно называют бифуркацией рождения предельного цикла из слабого фокуса, а также ее приложений к задачам динамики твердого тела, взаимодействующего с сопротивляющейся средой. Исторически это восходит к работам Пуанкаре [196, 197] (1892 г.). Эта тема также обсуждалась A.A. Андроновым [3-13], начиная с 1930 г. Основные же работы Хопфа по данному вопросу появились в 1942 г. Хотя термин бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа (сюда иногда даже включают Фрид-рихса) бьш бы более точным, в западной литературе более распространен термин бифуркация Хопфа . Причиной этого является то, что самый существенный вклад Хопфа - обобщение результата с двумерного случая на высшие размерности. [c.175]

В главе 8 обсуждаются некоторые следствия введения слагаемых, х актеризующих вращательную производную момента аэрогидродинамических сил по угловой скорости. В задаче о плоскопараллельном свободном торможении тела в среде на базе нелинейных уравнений исследуется устойчивость прямолинейного поступательного торможения при наличии линейного демпфирующего момента. Показано, что в рамках рассматриваемой модели в принципе могут возникнуть автоколебания, соответствующие предельным циклам, которые рождаются из слабого фокуса (известная бифуркация Андронова-Хопфа). Последний аспект является возможным положительным ответом на главный вопрос нелинейного анализа— может ли начало координат на плоскости (или Л а,со ) стать устойчивым (что [c.37]

Выражение (4.3) представляет на плоскости х, у) замкнутые кривые, охватьшаюшие равновесие (1, I). Таким образом, при изменении параметра Ь и переходе его через 1/2 справа налево собственные значения системы (4.1) пересекают мнимую ось, а равновесие из неустойчивого фокуса превращается в устойчивый, проходя стадию чистого центра. Бифуркация Андронова-Хопфа не имеет место в этом случае, и предельных циклов из равновесия не возникает. [c.229]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...