Бифуркация - Понятие

Эта глава, которая является вводной, содержит изложение основных понятий и положений, необходимых для изучения нелинейных колебаний. Прежде всего следует сказать несколько слов о колебательных явлениях вообще и о нелинейных колебаниях в частности. Общие закономерности, которыми обладают колебательные процессы в системах различной физической природы, составляют предмет науки, получившей название теории колебаний. Под колебательным явлением принято понимать либо то, что связано с фактом установившегося движения в рассматриваемой системе, либо то, что связано с процессом перехода от одного установившегося движения к другому. Установившееся движение характеризуется повторяемостью и определенной устойчивостью (смысл последнего понятия будет уточнен ниже). Переходные процессы характеризуются тем установившимся движением, к которому они приближаются. Множество переходных процессов данного установившегося движения образует его область притяжения. Смена установившихся движений, которая происходит в результате изменения какого-нибудь физического параметра рассматривае.мой системы при его переходе через некоторое значение, называется бифуркацией. Если при этом смена установившихся движений происходит достаточно быстро, т. е. скачкообразно, то говорят о жестком возникновении нового режима. В противном случае возникновение нового режима называют мягким . Колебательные явления, возникающие в так называемых нелинейных системах, называются нелинейными колебаниями. Однако, прежде чем определить, что такое нелинейная система, рассмотрим более общий класс систем, называемых динамическими системами. [c.7]

В синергетике рассматривают неравновесные фазовые переходы, которые связывают с потерей устойчивости менее организованного (или неупорядоченного) состояния с переходам в более упорядоченное состояние, т.е. с критическим состоянием системы в точках бифуркаций. Понятие бифуркаций -это математический образ "перехода количественных изменений в качественные" [21]. [c.36]

Бифуркация - 1) спонтанный переход системы в новое качественное состояние при достижении критических условий (физическое понятие) 2) ветвление решения нелинейных уравнений при вполне определенных начальных условиях (математическое понятие). [c.147]

ЛР1 говорить об автономных системах, то такие физические понятия, как автоколебания, мягкое и жесткое возбуждение автоколебаний, Затягивание и т.д. получили теперь твердую математическую основу в виде предельных циклов, теории бифуркаций, областей устойчивости в большом и т.д. Если говорить о неавтономных системах, то такие физические понятия как феррорезонанс, захватывание разных видов, получили математическую основу в теории периодических решений и их бифуркаций, а ряд других физических понятий, например, резонанс второго рода, асинхронное возбуждение и т.д. были вновь выдвинуты, отправляясь от математической теории [189]. [c.344]

В первой, вводной главе, важнейшие понятия теории упругой устойчивости — точка бифуркации, критическая нагрузка, линеаризованное уравнение, граница области устойчивости и энергетический критерий устойчивости — введены и проиллюстрированы на примерах упругих систем с одной-двумя степенями свободы, подобно тому, как это обычно делается в теории механических колебаний. Кроме того, в первой главе рассмотрены ограничения и допуш.ения, используемые обычно при формулировке и решении задач устойчивости тонкостенных элементов силовых конструкций. [c.7]

Статья 1 состоит из двух глав. Глава I посвящена классификации критических (теперь их называют особыми) точек линий тока на плоскости. В настоящее время понятие об особых точках рассматривается в курсах дифференциальных уравнений, в обзорных статьях, в справочниках, в курсе гидродинамики [1]. Во времена А. А. Фридмана, т. е. более 65 лет назад, появились за рубежом статьи по критическим точкам линий тока на плоскости, в которых или не было системы в классификации, или содержались некоторые погрешности. А. А. Фридман предложил мне провести разбор случаев плоского коллинеарного движения, применяя методику, исходящую от Пуанкаре. При этом кроме узла, седла, фокуса, центра были выделены также случаи бесконечно удаленной точки. Ввиду простоты и общеизвестности задачи я привожу главу I в сильно сокращенном виде. В главе II рассмотрено упрощенно пространственное движение, в котором пренебрегается вертикальной составляющей скорости. Это отдаленный прообраз современного понятия бифуркации — по параметру. Начало главы II дано без сокращений, но из пяти примеров приведены только два. [c.51]

При таком подходе к понятию времени облегчается решение многих эволюционных задач. Мы используем эти представления для решения задачи прогнозирования долговременных характеристик прочности при работе в условиях ползучести. В предыдущем параграфе было показано, Что при циклическом нагружении прогнозирование долговечности материала требует знания параметров точки бифуркации (пороговой скорости движения трещины В и коэффициента интенсивности напряжений А), [c.203]

Общие замечания. При наличии в конструкции вязкоупругих элементов ее деформативные характеристики, а также прогибы независимо от характера приложенной нагрузки являются функциями времени. Анализ изменения во времени свойств вязко-упругой конструкции в случае статического нагружения приводит к понятиям мгновенной и длительной устойчивости [83, 135]. Очевидно, что в этом случае к совокупности требований, предъявляемых к проекту относительно величин предельных нагрузок и массы конструкции, добавляется требование к величине времени эксплуатации конструкции /э. Поскольку классическое определение критической нагрузки потери устойчивости вязкоупругой конструкции как нагрузки бифуркации в условиях статического нагружения наталкивается на известные противоречия, то понятие потери устойчивости такой конструкции следует обобщить, рассматривая потерю устойчивости как протяженный во времени процесс выпучивания конструкции. Естественной характеристикой такого процесса является критическое время потери устойчивости конструкции /кр, которое в принципе можно определить из условия достижения прогибом конструкции гОг некоторого критического значения ш [c.237]

Старый предельный цикл исчезая, сменяется новым, при движении по которому системе для ее возвращения в исходное состояние, требуется вдвое больше времени, чем при движении при предыдущем исходном цикле, т.е. каждый раз при переходе с одного предельного цикла на другой происходит удвоение периода [65] (бифуркация удвоения по сценарию Фейгенбаума). Это и определяет иерархию неустойчивости. При переходе к новому устойчивому циклу (или к новой структуре) ее система реагирует на предыдущее состояние. Поэтому и в неживой природе используется понятие память системы . Оно характеризует [c.33]

Вблизи неустойчивой точки система становится особенно чувствительной даже к малым воздействиям. Иначе говоря, путем малых воздействий можно кардинально менять состояние и поведение системы, чего нельзя добиться в других случаях. Все это хорошо сейчас разработано в математике, физике, химии. Емкое и содержательное понятие о бифуркации завоевывает популярность и в гуманитарных науках. [c.104]

Основным элементом такого исследования является прослеживание фазового портрета и его изменений при непрерывном изменении параметра р. вдоль некоторой кривой в пространстве параметров. Оказывается, что при прохождении некоторых точек на этой кривой происходит качественная перестройка фазового портрета. Такие точки получили название точек бифуркации фазового портрета, а отвечающие им значения параметров — бифуркационных значений параметров. Через одну и ту же точку пространства параметров может проходить много различных кривых и заранее ниоткуда не следует, что изменение фазового портрета не зависит от кривой, по которой меняются параметры. Значит, понятие бифуркации зависит еще и от пространства параметров, т. е. можно обнаружить, расширяя его, новые бифуркации, сужая — какие-то бифуркации потерять. Выяснение того, с каким именно случаем мы имеем дело при исследовании той или иной динамической системы, требует уточнений. [c.99]

Серии бифуркаций и вложенные структуры. Рассмотрение взаимно однозначного отображения окружности на себя привело к понятию числа вращения Пуанкаре и сериям бифуркаций, вызываемым особым характером зависимости числа вращения от параметра. Аналогично исследование гладкого однозначного, но не взаимно однозначного отображения прямой в прямую [c.172]

Для теории нелинейных колебаний теория бифуркаций состояний равновесия и периодических движений представляет интерес не только тем, что облегчает исследование конкретных систем, но и в первую очередь тем, что решает вопрос о характере смены установившегося режима при медленном изменении параметров. Можно напомнить, что именно теория бифуркаций дала математическое описание мягкого и жесткого способов возникновения колебаний в ламповом генераторе и сделала эти понятия одними из основных в теории нелинейных колебаний, а метод точечных отображений позволил решить вопрос о мягком и жестком возбуждении в многомерном случае. Методом точечных отображений была решена и аналогичная задача о возбуждении квазипериодических колебаний в автономной системе и обнаружен случай мягкого удвоения периода автоколебаний (Ю, И. Неймарк, 1958—1959). [c.156]

Необходимо сказать, что при переходе к динамическим системам в пространстве трех и большего числа измерений (и даже к динамическим системам на двумерных поверхностях, отличных от сферы) теория бифуркаций динамических систем чрезвычайно усложняется. Даже содержание понятия грубой системы делается значительно более сложным (см. [111]). Однако и в этом случае теория бифуркаций динамических систем,на плоскости все же остается некоторой основой, и для некоторых классов много- [c.9]

Понятие бифуркации и бифуркационного значения параметра будет дано в гл. 10. [c.124]

Следует отметить, что хотя многие понятия теории бифуркаций динамических систем переносятся на случай многомерных систем, но в этом случае все значительно сложнее, и имеют место совсем иные факты (см. [111, 25, 24, 137-141]). [c.131]

Общие замечания. При исследовании динамических систем, соответствующих физическим задачам, нельзя ограничиться только одним понятием грубой динамической системы. При этом не только потому, что при некоторых идеализациях имеет смысл рассматривать негрубые системы, например консервативные, а прежде всего потому, что при изменении параметров, входящих в динамическую систему, мы можем перейти от одной грубой системы к другой, качественно отличной грубой системе. Такой переход всегда совершается через негрубую динамическую систему. Отсюда естественно вытекает задача рассмотрения негрубых динамических систем и их классификации. С этим вопросом тесно связана теория зависимости качественной картины разбиения на траектории от параметра, которую мы будем называть теорией бифуркаций динамических систем. [c.155]

Мы уже говорили, что (см. 8 гл. 8) Пуанкаре фактически пользовался понятием грубости двумерных консервативных систем (в классе консервативных систем) и рассматривал изменение качественной структуры таких систем при изменении параметра ). Им же введены термины бифуркация , бифуркационное значение параметра , которые использовались впоследствии в [2, 3] (и в настоящей книге) в более широком смысле. [c.164]

С порядком коразмерности 1, 2,. .., как и со степенями негрубости 1, 2,. .., связываются представления о возможных в системе при изменениях правых частей наборах бифуркаций. Понятия степеней негрубости связаны с этим более органично. [c.183]

В случае, когда правые части динамической системы (А) — многочлены, так что систему можно рассматривать на сфере Пуанкаре (см. гл. 6), бифуркациям от бесконечности соответствуют бифуркации от экватора сферы Пуанкаре. При этом, очевидно, необходимо ввести понятие грубости системы на сфере Пуанкаре и условия грубости и негрубости экватора. Однако в настоящей книге эти вопросы не рассматриваются. [c.195]

Понятие грубости и степени негрубости для динамических систем на цилиндре. Бифуркации на цилиндре. Поворот поля ). Определение грубости и первой степени негрубости системы на цилиндре в области, ограниченной двумя циклами без [c.212]

Рассмотренные случаи перескоков изображающей точки, вызванных бифуркациями, возникающими при изменении параметров, естественным образом привели к понятию безопасных и опасных границ области устойчивости. [c.225]

Другими словами, качественное исследование системы, содержащей параметры, заключается в установлении разбиения пространства параметров бифуркационными пленками (в случае двух параметров — бифуркационными кривыми) на области с одинаковым качественным поведением фазовых траекторий и при этом, конечно, в установлении этого качественного поведения. Очевидно, все понятия теории бифуркаций (понятие грубости, первой степени негрубости, бифуркации) при этом крайне естественны и необходимы. [c.240]

Аттрактор Лоренца и его негрубость сохраняются и вообще при всех достаточно малых изменениях правых частей уравнения (1). А отсюда, очевидно, следует, что не существует сколь угодно близкой к системе (1) грубой системы и, следовательно, грубые системы не всюду плотны в пространстве трехмерных систем. Так как для двумерных систем всюду плотность грубых систем в пространстве динамических систем была чрезвычайно важным свойством, то в этом кардинальном вопросе разница между двумерными ц многомерными динамическими системами очень существенна ). Тем не менее понятие грубости динамических систем трех и большего числа измерений — в простейшем случае систем Морса — Смейла или даже в еще более упрощенной ситуации, например, в случае систем Морса — Смейла с конечным числом ячеек, все же сохраняет свое значение. Большое значение (как математическое, так и для приложений) имеет также рассмотрение бифуркаций многомерных динамических систем через негрубые системы. Мы сделаем по этому поводу некоторые краткие замечания. [c.471]

Основная тема второй части книги — взаимосвязь между локальным анализом вблизи отдельной (например периодической) орбиты и сложностью структуры орбит в целом. Эта взаимосвязь изучается с помощью таких понятий, как гиперболичность, трансверсальность, глобальные топологические инварианты, а также с помощью вариационных методов. Набор методов включает анализ устойчивых и неустойчивых множеств, бифуркаций, исследование индекса и степени и построение орбит как минимумов и мини-максов функционалов действия. [c.12]

Бифуркация — математический образ, отвечающий перестройке характера движения физической системы, химической системы и т. д. Математическое определение бифуркации опирается на понятие топологической эквивалентности динамических систем. Согласно, например, [17] две системы топологически эквивалентны, если движения одной из них могут быть сведены к движениям другой непрерывной заменой координат и времени. Рассмотрим в качестве примера фазовые портреты на рис. 1.3 и 1.4, которые на первый взгляд кажутся совершенно различными. Введением новой системы координат их можно свести один к другому (предоставляем это читателю), т. е. переход от фазового портрета на рис. 1.3 к фазовому портрету на рис. 1.4 не есть бифуркация, поскольку бифуркация — это переход от одной системы к топологически неэквивалентной. [c.312]

Выше была изложена созданная к настоящему времени локальная теория состояний равновесия и периодических движений, а также попутно и отчасти неподвижных точек преобразования. При этом полностью рассмотрены все основные типы равновесий и периодических движений и их основные бифуркации. Это рассмотрение носит в некотором смысле законченный и завершенный характер. Точнее, можно думать, что рассмотрение более сложных случаев не даст ничего принципиально нового для общего понимания и общего качественного изучения динамических систем. Это естественно в предположении, что речь идет об изучении классов динамических систем, в котором только этим бифуркациям соответствуют в пространстве параметров разделяющие его бифуркационные поверхности. Вместе с тем эта надежда уже ни в коей мере не оправдывается для специальных классов динамических систем и в первую очередь для так называемых консервативных систем, где понятие общности совсем друп е, Когсерва-тивные системы требуют своего, во многом специфического исследования. Эта специфичность проявляется не всегда, многие вопросы и, в частности те, которым в значительной мере будет посвящен дальнейший текст, в полной мере относятся и к консервативному случаю. [c.267]

Нелокальные бифуркации многомерных систем исследованы, в основном, математиками школы А. А. Андронова. О бифуркациях гомоклинических траекторий негиперболического седла см. работы Л. П. Шильникова [109], [ПО], [113]. О бифуркациях гомоклинических траекторий негиперболического цикла см. [28], [31], [33], [180], гиперболического седла — [111], [112], [114], [147]. О бифуркациях контуров (на Западе называемых циклами) см. [30], [58], [62], [66], 1.139], [176]—[178], [180], [183]. Нелокальным бифуркациям в типичных двупараметрических семействах посвящены работы [49], [50], [65] — [67], [80], [81]. О цепочке бифуркаций, приводящих от точечного аттрактора к аттрактору Лоренца, см. [29], [101], [173]. О различных понятиях аттрактора см. [100], [101], [158], [173], [174], [181], [198]. [c.209]

Можно надеяться, что ответы на эти вопросы, вероятно, будут получены в ближайшие годы. Тем не менее уровень развития теории, достигнутый уже сейчас, нолволяет нам выделить различные уровни времени время, выражаемое понятием классической или квантовой механики, время, связанное с необратимостью процесса через функцию Ляпунова, и время, характеризующее историю системы через бифуркации. Я полагаю, что на основе проведенного выше выделения различных концепций времени можно достичь лучшей интеграции теоретической физики и химии с другими науками о природе, чем это имеет место сегодня. [c.154]

Виды динамических систем. По характеру ур-ний и методам исследования Д. с. делят на классы. Конечномерные и бесконечномерные (распределённые) Д. с.—системы с конечномерным и бесконечномерным фазовым пространством. В конечно-мерно.м случае консервативные и диссипативные Д. с. — системы с сохраняющимся и несохраняющимся фазовым объёмом. Г амильтоновы системы с ф-цией Гамильтона, не зависящей от времени, образуют подкласс консервативных систем. У диссипативных систе.м с неогранич. фазовым нространством часто существует ограниченная область в нём, куда попадает навсегда любая траектория. Д. с. с н е п р е-рывным временем (потоки) и Д. С. с дискретным временем (каскады) дискретность времени иногда отражает существо реального процесса (дискретность моментов прохождения импульса через усилитель п оптическом квантовом генераторе, сезонность в экологии, смена поколений в генетике н т. д.). Грубые и пегрубые Д. с. понятие грубости (структурной устойчивости) характеризует качественную неизменность типа движения Д. с. при малом изменении её параметров. Значения параметров, при к-рых система перестаёт быть грубой, наз. б и ф у р-к а ц и о н н ы м II (см. Бифуркация). При размерности фазового пространства больше 2 могут существовать целые области в пространстве пара.метров, где Д. с. оказывается негрубой. [c.626]

В математике существует понятие бифуркации. Оно сейчас достаточно широко применяется и в истории, и в социологии. Бывают моменты, когда под влиянием определенных закономерностей и сил, при плавном изменении определенных параметров следует довольно резкое изменение форм движения, т.е. любой процесс или событие могут пойти по совершенно другому пути. Следуя этой логике, 1959 год для М.А. Ильгамова, по его собственному признанию, безусловно, явился точкой бифуркации. Он имел решающее значение во всей судьбе молодого инженера, уже видевшего себя в большой науке. [c.34]

По-видимому, для гуманитария не менее важ но овладеть понятиями современной картины мира, чем для физика. Один из выдающихся людей нашего времени Ю. М. Лотман, наверное, первым из гуманитариев грамотно использовал термин бифуркация в своей работе Клио на распутье ссылаясь на определение И. Р, Пригожина . Он пишет, что в истории ...противоборствуют механизмы возрастания энтропии и, следовательно, растущего ограничения выбора, сведения альтернативных ситуаций к информационному нулю, с одной стороны, — и постоянного увеличения перекрестков , альтернатив, моментов выбора пути, моментов, когда нельзя предсказать дальнейшее развитие — с другой. Здесь вступают в действие интеллект и личность человека, осуществляющего [c.32]

Метод точечных отображений как средство изучения динамических систем, придающее аналитическим проблемам геометрическую трактовку, существенно расширяющую возможности исследования, ведет свое начало от А. Пуанкаре, П. Боля, Я. Брауера и Дж. Биркгофа. При этом многие основные геометрические соображения, такие как теоремы о неподвижных точках, понятие индекса векторного поля, были привлечены извне, а некоторые, например, последняя геометрическая теорема Пуанкаре, и, вообще, теория отображений с инвариантной мерой, теория устойчивости, теория бифуркаций и ветвления решений, воникли в прямой связи с теорией динамических систем. [c.137]

При качественном исследовании динамических систем можно использовать переход от исходной модели к упрощенной или кусочно-интегрируемой, аппроксимируя характеристики в уравнениях движения. При этом возникает важный вопрос о допустимых отклонениях аппроксимирующих функций от реальных характеристик при сохранении необходимой близости между исходной и аппроксимирующей системой. Понятие необходимой близости не однозначно и определяется целями исследования. Естественным требованием при создании удобной модели за счет изменения аппроксимации будет при этом требование сохранения при изменении характеристик качественной структуры раз-бения пространства параметров и фазового пространства исследуемой системы. Таким образом, возникает задача выяснить, в какой мере возможно изменять характеристики системы, не изменяя существенно общую картину зависимости поведения траекторий от параметров, и выяснить, что может происходить с пространством параметров системы при изменении характеристик, В общей постановке задача сводится к вопросу о сохранении или потере бифуркаций при переходе к аппроксимирующей системе. Возникающие здесь трудности связаны с тем, что не все бифуркации могут быть прослежены регулярными методами, и, кроме [c.431]

В этой главе собраны некоторые результаты, касаюпдаеся свойств, которыми обладает большинство динамических систем в различных естественных классах. Разумеется, прежде всего мы должны ввести естественные в том или ином смысле понятия больших и маленьких множеств в бесконечномерных пространствах. Главное утверждение в этой главе — теорема Купки — Смейла 7.2.6 — показывает, что в определенном (впрочем, довольно слабом) смысле гиперболическое поведение типично. В 7.3 мы кратко коснемся очень важного понятия бифуркации, которое вводится ддя того, чтобы попытаться понять, как нарушается типичное поведение и как различные виды типичного поведения преобразуются друг в друга. [c.293]

Перенормировка и критерий удвоения периода. Две идеи ифа-ют важную роль в понимании явления удвоения периода первая — понятие бифуркации решений, вторая — идея перенормировки. Наглядное представление о том, что такое бифуркащ1я, дает рис. S.10. Термин бифуркация используется для обозначения внезапного качественного изменения поведения системы при изменении некоторого параметра. Например, на рис. S.12 стационарное периодическое решение Xq становится неустойчивым при некотором значении параметра , и амплитуда начинает осциллировать между двумя значениями х и j f, совершая полный цикл за вдвое большее время, чем до потери устойчивости. При дальнейшем изменении параметра амплитуды х и х также теряют устойчивость, и решение претерпевает ветвление, переходя в новый цикл периода 4. В случае квадратичного отображения (S.3.1) также бифуркации решения продолжаются неограниченно при возрастании (или убывании) X." Однако критические значения параметра стремятся к точке накопления, т. е. Jim IXJ = I <00, при переходе через которую система допускает хаотическое непериодическое решение. Таким обра- [c.173]

Данная задача принадлежит к тем разделам астрономии и гидродинамики, начало которым было положено открытием закона всемирного тяготения. Именно тогда стало возможным объяснять не только движение планет и спутников, но также и саму форму небесных тел. С той поры немало крупных ученых-математиков внесли свой вклад в развитие теории фигур равновесия. Имена Клеро, Маклорена, Якоби и Лиувилля говорят сами за себя. Но наиболее весомый вклад принадлежит А. Пуанкаре и нашему соотечественнику А. М. Ляпунову. В 1884-85 годы они независимо друг от друга установили, что в окрестности определенных сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби (их множество бесконечное, но все же счетное ) существуют неизвестные науке неэллипсоидальные фигуры равновесия. Научный мир с изумлением взирал на эти открытия. И если можно (а почему бы и нет ) сравнить новые фигуры с драгоценными кристаллами, то шахта для их добычи оказалась круто уходящей вниз, где на большой глубине могут работать лишь сильные разумом и духом исследователи. И именно отсюда, с этой глубины берут свое начало такие отрасли математики, как теория нелинейных интегральных уравнений, теория бифуркаций, здесь же возникло само понятие линейных рядов фигур равновесия. [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...