Точка бифуркации граничная

Из условия стационарности ДЭ (или из условия АЭ = О при дополнительном требовании минимума критической нагрузки) можно найти (точно или приближенно) точки бифуркаций прямолинейной исходной формы равновесия стержня. В частности, из условия стационарности следует основное линеаризованное уравнение (3.4) и возможные для этого уравнения граничные условия. Действительно, приравняв нулю первую вариацию изменения ЛОЛ ной потенциальной энергии АЭ, получим (см. приложение 11) [c.92]

Будем считать, что задача устойчивости пластины решена энергетическим методом с использованием энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко, и найдены соответствующие критической точке бифуркации функции Wi (х, у), ф2,(л , у), иг х, у), 2 (л , у), удовлетворяющие всем необходимым граничным условиям задачи. Приближенно примем, что при малых, но конечных отклонениях пластины ее напряженно-деформированное состояние описывается функциями [c.216]

В малой окрестности точки бифуркации решение определяется собственной функцией оператора Л(до), соответствующей нулевому собственному значению. Для систем вида (4.1), называемым еще системами реакция-диффузия , собственная функция состоит из двух частей пространственной, описывающей неоднородность по пространству и амплитудной, определяющей (правда, не полностью) растяжение пространственной неоднородности. Наибольший интерес представляет пространственная составляющая, полностью определяемая спектральной задачей для оператора Лапласа при соответствующих граничных условиях. Так, в случае одномерного ареала возникающие после бифуркации неоднородные по пространству стационарные решения описываются синусоидой, при круговом ареале — колпачком в центре круга и т.д. Это и есть обычные формы мягких диссипативных структур. [c.178]

Условие единственности основного процесса нагружения в регулярных точках соответствует существованию нетривиального решения системы (V.I) с граничными условиями (V.8). В случае бифуркации основного состояния при достижении параметром нагружения критического значения Я вектор бУ приобретает бесконечно малые, но отличные от нуля значения. [c.83]

В статье [345] на основе метода возмущений в варианте множественных масштабов предпринят анализ показателей нелинейных колебаний и внутреннего резонанса слоистых пластин. Предполагается наличие вырожденных форм колебаний тонкой прямоугольной пластины. Рассмотрены граничные условия шарнирного, подвижного и неподвижного закрепления кромки пластины. Найденные решения сопоставляются с результатами численного интегрирования. Выявлены показатели потери устойчивости, возникновения бифуркаций Хопфа и специфического перехода к хаотическому движению. [c.21]

Первое уравнение синергетики выполняется в интервале (К 2 в интервале - К23) реализуется второе уравнение синергетики. Это позволяет рассматривать каскад процессов роста трещины при изменении механизма роста треши-ны с помошью последовательности кинетических уравнений (4.47) с учетом граничных условий, определяемых физикой процесса роста трещин. Именно поэтому представило интерес рассмотреть имеющиеся экспериментальные данные по определению показателей степени в уравнении Париса, в которых предпринимались попытки выделения особых точек на кинетических кривых при исследовании сплавов на различной основе (табл. 4.3). В отобранных для анализа работах не ставилась задача построения единой кинетической кривой в виде последовательности дискретных переходов в связи со сменой механизмов разрушения. Поэтому критические точки СРТ или шага усталостных бороздок не были строго поставлены в соответствии со сменой механизма роста трещины. Вместе с тем проведенное обобщение свидетельствует о том, что последовательность в переходах через точки бифуркации в процессе роста усталостных трещин является устойчивой и в полной мере соответствует последовательности показателей степени тр. 4 2 4 — для последовательности развития трещин на микроуровне, мезо I и мезо П соответственно. [c.220]

Итак, соотношение (5.60) позволяет построить единую кинетическую кривую (ЕКД) для сквозных и несквозных усталостных трещин в качестве последовательности переходов через точки бифуркации. Ее построение проведено для сплавов ВТ6, Д16Т и ЗОХГСА как наиболее типичных сплавов на основе титана, алюминия и железа, используемых в гражданской авиации. Первоначально были использованы экспериментальные данные для величины Kj , представленные в [127]. Определение точек бифуркации применительно ко второй стадии роста трещин выполнено расчетным путем по следующим граничным условиям [c.252]

Пусть /—установившееся движение, т. е. состояние равповесия, периодическое или стохастическое движение, точнее, пе само движение, а его геометрический образ в фазовом пространстве. Установившееся движение / имеет область притяжения П(/), внутри которой находится /. При непрерывном изменении параметра (х динамической системы меняется как установившееся движение, так и его область притяжения П(7). Возможны два различных случая первый — когда при бифуркационном значении параметра [х = ц существуют сколь угодно малые е-ок-рестности /, которые со временем преобразуются строга внутрь себя, и второй — когда таких окрестностей нет, и любая достаточно малая е-окрестпость / преобразуется в область, у которой есть точки, лежащие вне этой е-окрестности. При этом отброшена возможность граничного случая, когда существуют сколь угодно малые окрестности /, преобразующиеся в себя. Первый случай соответствует мягкому режиму смены установившегося движения, второй — жесткому. В первом случае вновь возникающее установившееся движение отделяется от прежнего установившегося движения /, а его область притяжения непрерывно возникает из области притяжения прежнего установившегося движения /. Во втором случае, напротив, прежнее установившееся движение / теряет устойчивость или исчезает, и фазовые точки из его окрестности с ростом времени переходят к новому установившемуся движению, которое, как правило, существовало и до рассматриваемой бифуркации установившегося [c.166]

В [29, с. 7-44] обсуждены проблемы, связанные с формированием автоструктур (не зависящих от начальных и граничных условий локализованных образований) в неравновесных диссипативных средах, и исследована динамика пространственных ансамблей таких структур. В частности, проведен анализ простой модели — одномерного ансамбля не взаимно связанных структур, представляющих собой цепочку, состоящую из элементов, динамика которых описывается одномерным отображением типа параболы. Напомним, что такое отображение описывает динамику самых различных физических систем, демонстрирующих при изменении параметра цепочку бифуркаций удвоения периода. Пусть параметры цепочки выбраны так, что в первом элементе реализуется режим регулярных колебаний периода Т. При некотором номере ] элемента режим одночастотных колебаний становится неустойчивым и возникает режим удвоенного периода, затем и он теряет устойчивость и т. д. вплоть до установления режима хаотических колебаний. Если каждый из элементов — автогенераторов — находился в режиме стохастических колебаний, то при движении вдоль цепочки наблюдается развитие хаоса — интенсивность колебаний увеличивается, а в спектре уменьшаются выбросы (спектр сглаживается ). В цепочке описанных автогенераторов ван-дер-полевского типа имел место пространственный переход к хаосу через квазипериодичность сначала наблюдался квазимонохроматический режим, сменявшийся затем режимом биений с большим числом гармоник при дальнейшем движении вниз по потоку этот режим переходил в слабо хаотический. Далее хаос развивался, интенсивность колебаний возрастала, но при достаточно больших j она уже не изменялась — устанавливался режим пространственно однородного хаоса. [c.527]

Уравнения Нейтрального равновесия и граничные условия, аналогичные уравнениям (2.73) — (2.79), на основе последовательно нелинейной постановки были получены X. М. Муштари в 1938 году [51]. Эти уравнения наряду с членами, содержащими докритические усилия Г р 22 в срединной поверхности оболочки, содержат также члены, учитывающие докритические искривления образующей оболочки 0]°. Из-за серьезных математических трудностей, возникающих при решении уравнений (2.73) — (2.77) с граничными условиями (2.78) — (2.79), подавляющее большинство исследователей при решении конкретных задач устойчивости оболочек отбрасывало члены, содержащие докрити-ческое искривление образующей оболочки. Это постепенно привело к тому, что и сами уравнения нейтрального равновесия стали трактоваться по-новому. При их выводе использовались линейные соотношения теории оболочек и вводилась фиктивная поперечная нагрузка, равная сумме дополнительных проекций основных усилий Г 1> 22 на направление нормали к изогнутой поверхности. В этом случае как-то стушевывается тот факт, что задача устойчивости как задача о бифуркации форм равновесия должна рассматриваться исходя исключительно из нелинейной теории. [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...