Эйлера бифуркации

Применяя статический метод Эйлера, мы рассматриваем лишь совокупность форм равновесия в малой окрестности точки бифуркации. Этим полностью исключаются из анализа устойчивости возможные формы движения. [c.318]

Для стержней и пластин (рис. 15.1, 15.2) после бифуркации при нагрузке р наблюдается неединственность решения задачи и резкое возрастание прогибов, которое, как правило, приводит либо к разрушению, либо к недопустимо большим деформациям. Такое поведение стержней и пластин предопределило успех бифуркационной теории Эйлера. У оболочек (рис. 15.3) после бифуркации при нагрузке р наблюдается резкое падение сжимающей нагрузки при одновременном росте перемещений. Оболочки весьма чувствительны к начальным несовершенствам формы и поэтому при анализе их поведения основное значение имеет максимальная нагрузка Рт, которую она выдерживает перед наступлением катастрофического выпучивания. Для определения же максимальной нагрузки необходимо решать нелинейную задачу о выпучивании оболочки с учетом начальных прогибов fo (рис. 15.3) либо других начальных несовершенств. [c.321]

Задачей о потере устойчивости системы в виде колонны, нагруженной продольной силой, занимались Эйлер, Вернули и др. Одним из первых термин "бифуркация" (что означает раздвоение) ввел Якоби в 1834 г. Теория бифуркаций получила фундаментальное развитие в работах при решении различных задач нелинейного поведения систем. [c.40]

Метод Эйлера применим к анализу таких типов потери устойчивости, т. е. таких явлений, которые характеризуются наличием возможности перехода от одной формы равновесия к другой, бесконечно близкой к ней, при фиксированной нагрузке (т. е. равенство нулю производной Р/й/ при некотором значении Р, где Р — сила, а [ — характерный параметр деформации системы). В то же время этот метод не может быть применен в тех случаях, когда потеря устойчивости формы равновесия состоит в переходе не к другой форме равновесия, а к колебательному движению. Остановимся на вопросе о применимости метода Эйлера в случае, если потеря устойчивости принадлежит типу перехода к новой устойчивой форме равновесия, но посредством скачка. Можно отметить два характерных варианта. Водном из них этот переход происходит в точке бифуркации, до которой (Р < Р ) зависимость Р — / линейна. В другом — переход происходит в предельной точке, до которой (Р < Р,) зависимость Р—[ нелинейна. В первом случае метод Эйлера позволяет найти Р, во втором же — этот метод неприменим. [c.372]

Бернулли—Эйлера гипотеза 184, 185 Бианки тождества 109 Бифуркация 90 [c.532]

Основное практическое применение в анализе устойчивости конструкций находит концепция устойчивости механических систем, восходящая к Эйлеру. С состоянием устойчивости системы связывается возможность существования для нее при заданном Р только одной формы равновесия напротив, в состоянии неустойчивости в тех же условиях система характеризуется наличием нескольких, так называемых смежных форм равновесия, соответствующих бесконечно близким значениям функционала П. Иными словами, для состояния неустойчивости нагруженной системы характерно ветвление или бифуркация форм равновесия. Очевидно, что в рамках концепции Эйлера задача анализа всевозможных равновесных состояний системы на устойчивость эквивалентна задаче определения точек бифуркации системы в пространстве параметров, определяющих ее состояния (нагрузки, частоты возбуждающих колебаний и т. п.). [c.108]

Проведенный выше анализ показывает, что на отрезке значений 0 от Ok до ап наряду с продолжением основного процесса монотонного сжатия, который оказывается за точкой а неустойчивым, имеется продолжение, описываемое формулой (7.7) (рис.4). Каждая точка интервала [la, ап] отвечает неединственности решения для приращений и является точкой разветвления или бифуркации процесса деформирования. В дальнейшем такие точки будем называть точками бифуркации первого порядка, или, сокращенно, точками Б1. Здесь индекс 1 отмечает, что в деле замешаны. первые приращения внутренних параметров. Соответственно этому точка, определяемая критерием Эйлера, может быть названа точкой бифуркации нулевого порядка (БО), или точкой бифуркации состояния. Последнее наименование широко распространено, хотя буквальная расшифровка его при учете непрерывности процессов затруднительна. Пользуясь данной терминологией, можно сказать, что если критерий Эйлера — это критерий бифуркации состояния (БО), то использованное в предыдущем параграфе предложение составляет критерий бифуркации процесса (Б1). [c.20]

Таким образом, для выявления особых точек во многих случаях может быть использована зависимость (13.1), вполне аналогичная закону упругости. В этом смысле соотношение (13.1) служит упругим эквивалентом в проблеме определения особых точек процесса, сводящим последнюю к задаче Эйлера о бифуркации состояния (БО) для фиктивного упругого материала с модулем Е. В частности, для модели стержня, критическое условие в рамках любой из рассматриваемых сред получается автоматически из условия БО при линейной упругости [c.34]

Предварительно несколько уточним саму постановку задачи о нахождении критической силы. По Эйлеру, признаком неустойчивости формы равновесия служит существование смежной (т. е. сколь угодно близкой к исходной) отклоненной формы равновесия при неизменной нагрузке. Возникновение такой возможности зависит от уровня нагрузки. Если сжимающая сила достигает критического значения, то происходит разветвление (бифуркация) форм равнове- [c.450]

В настоящее время особенно подробно изучены задачи, относящиеся к случаю 1 (бифуркационные задачи). Для определения точек бифуркации пользуются способом Эйлера или энергетическим методом. [c.11]

В ряде случаев, таких, например, как классическая задача Эйлера, возможна бифуркация равновесия. Рассмотрим пластину, нагруженную лишь в своей плоскости. Поскольку поперечных перемещений ап не возникает, теория малых прогибов дает точное решение. Однако даже при нулевых поперечных перемещениях можно определить матрицу начальных напряжений [/сЯ> хотя [/Сь] = 0. Если мембранные напряжения сжимающие, то эта матрица, как правило, будет такой, что из уравнения изгибной деформации [c.450]

Рассмотрим сжатые оболочки или пластины, находящиеся в плоском безмоментном напряженном состоянии. Для исследования возможной бифуркации состояния равновесия или квазистатиче-ского процесса нагружения воспользуемся методом Эйлера. Приложим статически к оболочке или пластине малую поперечную возмущающую распределенную нагрузку интенсивностью tq, которую затем статически же снимем. Допустим, что оболочка либо пластина не вернулась в исходное состояние, а перешла в смежное сколь угодно близкое моментное состояние и на ее поверхности появились локальные выпучины. Каждую такую выпучину с достаточной для практики степенью точности можно рассматривать как пологую оболочку и воспользоваться изложенной в 10.11 теорией упругих пологих оболочек. При переходе оболочки в смежное состояние точки срединной поверхности получат дополнительную деформацию бе,7, прогиб —6mi = y, а усилия и моменты — приращения 6Nij, bMij. На основании уравнений (10.111), (10.126) получим [c.324]

В noi TanoBKe Шенли вопрос об устойчивости сводится к вопросу о бифуркации, т. е. разветвлении форм движения. Пока сила меньше чем Ро, при увеличении силы наблюдается одна-едпнст-веиная форма движения стержня, а именно его равномерное сжатие. При Р > Ра возможны две формы движения либо равномерное сжатие, либо непрерывное выпучивание при этом каждому значению силы Р > Ро соответствует вполне определенное значение прогиба. Действительно, хотя при выводе фо рмулы (4.10.1) мы воспроизводили тот же ход рассуждения, который привел нас к формуле Эйлера для упругого состояния стержня, на самом деле малое приращение сжимающей силы делает возможным лишь малые искривления стержня, не сопровождающиеся разгрузкой. При появленпп частичной разгрузки сопротивление изгибу возрастает, поэтому равновесие возможно не при любом значении прогиба, а при вполне определенном его значении. [c.139]

Из (6.5) следует, что уравнения (6.4) представляют собой дискретные по времени уравнения пошаговой процедуры явной схемы Эйлера (первого порядка точности) интегрирования системы (6.2). Для интегриршания по времени уравнений (6.2) можно использовать другие схемы, более высокого порядка точности, чем схема Эйлера. Однако такие схемы требуют более высокой гладкости решения, не всегда достижимой при решении прикладных задач. В качестве примеров задач, в которых вектор перемещений не обладает непрерывной дифференцируемостью по времени можно привести задачи упругопластического деформирования, задачи с бифуркацией решений и т. д. Поэтому лучше использовать схему Эйлера с уравнениями (6.4) с последующим уточнением решения при помощи некоторой итерационной процедуры. [c.184]

Строгая математическая проверка критерия равноактивной бифуркации в связи с предельной сложностью анализа в общем случае отсутствует. Но там, где имеется возможность относительно просто исследовать возмущенные движения, этот критерий подтверждается. Для идеально-упругих тел данный критерий дает тот же результат, что и критерий Эйлера, который был высказан еще в середине восемнадцатого века и утверждал, что равновесие упругой системы становится неустойчивым в момент, когда впервые обнаруживается неединственность решения для самих механических параметров (бифуркация состояния), а не их приращений (бифуркация процесса), как это рассматривалось выше. [c.187]

В отличие от этого сформулированный выше критерий равноактивной бифуркации таких формальных моментов не содержит и не связан с анализом состояния равновесия, и если критерий Эйлера есть порождение проблемы устойчивости состояния, то данный критерий естественным образом проистекает из проблемы устойчивости движения (процесса). Тем не менее в сравнимых случаях выводы концепции продолжающего нагружения и критерия равноактивной бифуркации совпадают. [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...