Бифуркация в странные аттракторы

Нелокальные бифуркации периодических решений. Пусть при нулевом значении параметра в типичном однопараметрическом семействе дифференциальных уравнений в трехмерном фазовом пространстве имеется устойчивый предельный цикл с парой мультипликаторов на единичной окружности (устойчивости можно добиться обращением времени). Поскольку семейство однопараметрическое и типичное, можно считать, что со 2пр/<7 при q A. Тогда при прохождении параметра через О в направлении, соответствующем переходу мультипликатора изнутри единичной окружности наружу, рядом с предельным циклом возникает инвариантный тор толщины порядка Ve, где е — параметр семейства. На этом торе при изменении параметра в бесконечном количестве рождаются и умирают длиннопериодические предельные циклы. При дальнейшем возрастании параметра тор теряет гладкость и может превратиться в странный аттрактор, как это описано ниже. [c.49]

Эволюция свойств странного аттрактора при А оо с о п р о" вождается соответствующими изменениями в частотном спектре интенсивности. Хаотичность движения выражается в спектре появлением в нем шумовой компоненты, интенсивность которой возрастает вместе с шириной аттрактора. На этом фоне присутствуют дискретные ники, отвечающие основной частоте неустойчивых циклов, их гармоникам и субгармоникам при последовательных обратных бифуркациях исчезают соответствующие субгармоники— в порядке, обратном тому, в котором они появлялись в последовательности прямых бифуркаций. Неустойчивость создающих эти частоты циклов проявляется в уширении спек-тральных пиков. [c.182]

Оставшиеся рисунки иллюстрируют дальнейшие возможные изменения фазового портрета. На рис. 20д показан момент образования -критического седло-узла его исчезновение приведет к рождению странного аттрактора. На рис. 20 е изображено первое простое касание неустойчивого и устойчивого многообразий точки Q. В этот момент и при дальнейшем изменении параметров, приводящем к рождению гомоклинических точек транс-версального пересечения, аттрактор в кольце является странным. На рис. 20 ж уже произошла бифуркация удвоения периода точки N и возникла устойчивая двоякопериодическая траектория (замкнутой инвариантной кривой не стало). При дальнейшем изменении параметров может реализоваться каскад [c.51]

Некоторые бифуркации, описанные в этой главе, приводят к возникновению странных аттракторов. Существуют разные, не эквивалентные между собой определения аттракторов. На физическом уровне строгости аттрактор — это множество траекторий в фазовом пространстве, отвечающее установившимся режимам . Обсуждение различных определений аттрактора и описание некоторых бифуркаций аттракторов содержатся в 8. [c.87]

Бифуркации, названные в заглавии, приводят к возникновению инвариантных торов и бутылок Клейна, к рождению сложных инвариантных множеств со счетным числом циклов и странных аттракторов. Некоторые случаи изучены не полностью в п. 4.11 формулируются открытые вопросы. В конце параграфа рассматривается структурная устойчивость однопараметрических семейств диффеоморфизмов. [c.115]

Критический случай. В случае, когда объединение гомоклинических траекторий цикла с мультипликатором 1 компактно и критично, при бифуркации соответствующего поля могут возникнуть странные аттракторы. [c.118]

Замечание. Бифуркации странных аттракторов также можно разбить на внутренние и кризисы (см., например, [120], [155]). Однако эти бифуркации происходят в классе систем с бесконечным множеством циклов, и их описание выходит за рамки этого обзора. [c.165]

Пути возникновения временного хаоса могут быть прослежены на моделях, в которых движение совершается в ограниченной области, когда спектр возмущений дискретен, и хаотизация наступает поэтапно. Бифуркационные переходы на классе периодических функций изучались в работах [31, 32] в [33] задача решалась с граничным условием ЪA ЬZ = О на концах расчетной области. В [31] указаны два пути появления хаоса в системе разрушение трехмерного тора и субгармоническая бифуркация двумерного тора. В [33] обнаружен новый механизм возникновения хаоса, детальный анализ которого в применении к другой задаче дан в работе [34]. Упомянем здесь также исследования бифуркационных переходов (в том числе между странными аттракторами различной размерности), проведенные для конечно-разностного аналога уравнения [c.249]

Численное моделирование показывает, что появление странного аттрактора для уравнения (29) связано с каскадом бифуркаций двух фокусов нри ж = 1, г/ = 0. Аналогично [17], с помогцью аналогового моделирования, можно установить поведение системы в зависимости от 7, у при фиксированных 6 в. со. В табл. [c.380]

Численное моделирование показывает, что появление странного аттрактора для уравнения (70) связано с каскадом бифуркаций двух фокусов при ж = 1, г = 0. Аналогично [19] с помощью аналогового моделирования можно установить поведение системы в зависимости от уу при фиксированных 5 и а . В табл. 1. приведены результаты моделирования. [c.817]

Сценарий Фейгенбаума (1978— 79) появление странного аттрактора в результате бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода. Рассмотрим такие бифуркации сначала на примере одномерного необратимого (однозначного и непрерывного) отображения л п+1 = П хп, 1) отрезка О л 1 в себя, причем этом отрезке один квадратичный [c.132]

Вернемся опять к полной модели Лоренца (359). У нее имеется три стационарных рещения при г > 1, и только два из них (360) устойчивы при небольшой надкритичности. Но что произойдет, если увеличивать параметр г, не ограничиваясь небольшими его значениями Первый вопрос — устойчиво ли равновесие (360) — можно опять рассмотреть с помощью линейного приближения вблизи равновесия. Соответствующий анализ показывает, что существует второе критическое значение га, выше которого происходит вторая бифуркация. Но это еще не все. Оказывается, система уравнений (359) имеет много различных мод движения. Самая удивительная из них была обнаружена самим Лоренцем при значениях параметров г = 28, <т = 10, ==8/3. Это решение получило название "странный аттрактор". Лоренц обнаружил, что система X, К, Z) совершает сложное хаотическое движение, похожее на "танец" вокруг двух неустойчивых фокусов. Стартуя с любой точки с небольшими X, , Z, система переходит на неустойчивый фокус, вокруг которого она начинает описывать витки с амплитудой, возрастающей со временем, т.е. пробегает траекторию по раскручивающейся спирали. После некоторого количества таких витков система внезапно устремляется ко второму фокусу, вокруг которого она снова описывает витки по раскручивающейся спирали. После нескольких витков, система снова перепрыгивает на первую спираль, чтобы приблизительно повторить то же самое движение. Однако никакой периодичности в таком движении нет и времена, в течение которых система находится вблизи одного из фокусов, и число витков на каждой из спиралей кажутся совершенно случайными. Хаотическое движение появляется в совершенно детерминированной динамической системе с тремя координатами X, V, Z. [c.322]

Модель Лоренца и ее странный аттрактор уже рассматривались в 1.5 и выше в этой главе. Здесь же нас интересует вопрос в какой мере эта модель представляет поведение жидкости в задаче Рэлея—Бенара На первый взгляд обе системы очень далеки друг от друга, поскольку модель Лоренца является чрезвычайно упрощенной с ее всего лишь тремя людами для двух функций состояния жидкости 1 ) и 0. Увеличение числа мод до пяти, семи и даже четырнадцати сохраняет некоторые черты поведения модели, включая и образование странного аттрактора. Однако переход к хаотическому движению может происходить при этом через разные последовательности бифуркаций [98 [ (дополнительную библиографию см. в работе [180]). Более того, численное моделирование двумерной конвекции, согласно (7.4.7), показывает отсутствие турбулентного движения ). В этом состоит существенное отличие от трехмерной конвекции Рэлея—Бенара, в которой турбулентность наблюдается экспериментально. [c.477]

Хотя в экспериментах и наблюдается до четырех [158] независимых частот, резкий переход к непрерывному спектру не согласуется с моделью Ландау ). Помимо этого, теоретически было показано (см. работу [112]), что последовательность бифуркаций Хопфа, как и само квазипериодическое движение, не являются типичными. Судя по рассмотренным выше примерам резкого ) возникновения непрерывного спектра, связанного с образованием странного аттрактора, можно ожидать, что именно такой механизм [c.479]

Классическим аттракторам соответствуют классические геометрические объекты в фазовом пространстве равновесному состоянию — точка, периодическому движению или предельному циклу — замкнутая кривая, а квазипериодическому движению соответствует поверхность в трехмерном фазовом пространстве. Как мы увидим в последующих главах, странный аттрактор связан с новым (по отношению к классической геометрии) геометрическим объектом, называемым фрактальным множеством. В трехмерном фазовом пространстве фрактальное множество странного аттрактора выглядит как набор бесконечного числа слоев или параллельных плоскостей, причем расстояние между некоторыми из них приближается к бесконечно малому. Для описания этого нового аттрактора нелинейной динамики требуются новые математические идеи и язык, а для его обнаружения и количественной характеристики — новые методы эксперимента. Связь между бифуркациями и хаосом обсуждается в недавно изданной книге [193]. [c.32]

Бифуркации, в результате которых исчезают статические или периодические режимы, могут приводить к тому, что система выходит на так называемый хаотический , или стохастический , режим. Его математический образ в фазовом пространстве, называемый странным аттрактором, топологически может быть устроен по-разному, чем, в частности, определяется многообразие путей его возникновения. Соответствующие бифуркации мы обсудим в гл. 22. [c.321]

Перемежаемость. Предположим, что выполнены условия предыдущего следствия, либо условия теоремы п. 4.5, т. е. у векторного поля существует странный аттрактор для е>0. Рассмотрим произвольную непрерывную функцию ф(х) на фазовом пространстве. Пусть x=x t)—траектория, принадлежащая странному аттрактору. Тогда график функции ij3(A (f)) в общем случае имеет следующий вид длинный цуг близких к периодическим осцилляций — на этом интервале времени изображающая точка находится в малой окрестности исчезнувшего цикла — затем турбулентный всплеск, затем снова интервал периодичности и т. д. Такой режим был назван в [170] перемежаемостью. Перемежаемость свидетельствует о бифуркации возникновения странного аттрактора при исчезновении полуус-тойчивого цикла и часто встречается в моделях реальных "про-цесов (см., например [63], [171]). [c.122]

Эволюция свойств странного атграктора при увеличении X. за Аса состоит в общих чертах в следующем. При заданном значении А. > Л , аттрактор заполняет ряд интервалов fta отрезке [—1, 1] участки между этими интервалами — области притяжения аттрактора и в них же находятся элементы неустойчивых циклов с периодами, начиная от некоторого 2 " и меньше. При увеличении Я скорость разбегаиия траекторий на странном аттракторе увеличивается, и он разбухает , последовательно поглощая циклы периодов 2 , 2" + ,. .. при этом число интервалов, занятых аттрактором, уменьшается, а их длины увеличиваются. Другими словами, число витков упомянутой выше ленты последовательно уменьшается вдвое, а их ширьчш увеличиваются. Таким образом, возникает как бы обратный каскад последовательных упрощений аттрактора. Поглощение аттрактором неустойчивого 2 "-цикла называют обратной бифуркацией [c.181]

С ростом числа степеней свободы усложнение динамики системы, напр. при изменении коэф. передачи по каналу О. с., может осуществляться за счёт бифуркаций периодич. движений, приводящих, в частности, к рождению странного аттрактора, Поводепие фазовых траекторий на таком аттракторе и вблизи него хаотично, поэтому с рождением странного аттрактора связывают возникновение в системах хаотич. движения (см. Стохастические колебания). [c.387]

Рассмотрим вначале режимы мягкого возникновения стохастич. автоколебаний. Осн. бифуркации в этом случае представлены на рис. 4. Это — рождение тора из предельного цикла при потере им устойчивости, бифуркация удвоения периода, слияние устойчивого и седлового циклов и их исчезновение, сопровождающееся возникновением странного аттрактора, сложные деформации ( гофрирование ) тора и его разру- [c.695]

Принципиальное изменение представлений о природе Т. произошло после открытия феномена динамич. хаоса — случайного поведения гюлностью детерминированных систем. Образом случайного движения динамич. системы является стрштыи аттрактор. Странный аттрактор —притягивающее множество траекторий, среди к-рых все (или почти все) являются неустойчивыми (седловыми) — может возникнуть после небольшого числа бифуркаций в фазо- [c.182]

Сценарий Рюэлля и Такенса (1971) появление странного аттрактора после трех нормальных бифуркаций. Этот сценарий обладает структурной устойчивостью в каждой достаточно малой окрестности фазового потока с п-мерным инвариантным тором при м 3 имеется открытое множество фазовых потоков со странным аттрактором, удовлетворяющим аксиоме А (причем малость окрестности понимается в смысле С -нормы Р =тах Д Рк [c.131]

Странные аттракторы. Первые простейшие моделп (см. гл. 2), в которых исследовались ус.ювия появ.1епия стохастичности, уже были не гамильтоновыми. Однако наиболее интенсивное изучение диссипативных систем началось после работы Лоренца [200]. Работа была посвящена анализу возникновения турбулентности в процессе термоконвекции в так называемом конечномерном приближении ). Численный анализ, проведенный Лоренцем, показал, что прп некоторых условиях в модели возникает хаос. Как и полагается, переход к нему (т. е. к турбулентности) происходит через ряд бифуркаций решения (их исследование см. в [201]). Однако, если можно так выразиться, хаос имеет весьма необычную структуру. Опишем ее следующим образом. [c.250]

Однако фактически странные аттракторы появились впервые в трехмерных потоках и связанных с ними двумерных отображениях. В этом случае также имеет место последовательность бифуркаций с удвоением периода. Для понимания поведения таких систем важно знать движение вблизи сепаратрисных слоев и инвариантные распределения ). Несмотря на соответствие между одномерными и двумерными отображениями, наше знание последних недостаточно. Например, в настоящее время нет никакого метода для отыскания перехода к странному аттрактору в лшого.мерных системах. [c.20]

Странный аттрактор существует не для всех значений а в интервале а аасад. Имеется много узких участков, в которых движение является периодическим с периодами 3, 4, 5. .. и испытывает бифуркации удвоения периода жения рассматриваются в 7.2. [c.421]

Мы уже видели, что хаотическое движение может возникать в диссипативных потоках с размерностью фазового пространства не меньше трех, или в соответствующих этим потокам обратимых отображениях Пуанкаре, размерность которых не менее двух. В общем случае хаотическое движение имеет место лишь для узких интервалов параметров. В этом существенное отличие от гамильтоновых систем, где хаотическое движение сохраняется, как правило, в широком диапазоне параметров. Ниже описаны два критерия локальной стохастичности для диссипативных систем. В п. 7.3а метод квадратичной ренормализации применяется к двумерным обратимым отображениям и показывается сходимость последовательности бифуркаций удвоения периода и возникновение локального хаотического движения. В п. 7.36 получен критерий перехода к хаотическому движению вблизи сепаратрисы на примере вынужденных колебаний осциллятора с затуханием. Наконец, в п. 7.3в pa ютpeнa модель ускорения Ферми с диссипацией и используется описание хаотического движения с помощью уравнения ФПК. Это уравнение позволяет получить первое приближение для инвариантного распределения на странном аттракторе. [c.453]

Фактически численное моделирование показывает, что появление странного аттрактора для уравнения Дюффинга, по всей видимости, связано с каскадом бифуркаций двух фокусов при х = = 1 г = О (см. рис. 7.26). С помощью аналоговой вычислительной машины Холмс исследовал поведение системы при фиксированных б и со в зависимости от у. Его результаты приведены на рнс.7.27. При ус0,76 наблюдалось только регулярное движение, показан- [c.463]

Рюэль и Тэкенс [355 ] предложили другой механизм возникновения турбулентности, согласно которому сначала происходят две последовательные бифуркации Хопфа, как и в модели Ландау, однако затем нелинейность разрушает трехчастотное движение и образуется странный аттрактор (табл. 7.2). По первоначальной гипотезе требовалась размерность потока не менее четырех. Предположение о неустойчивости трехчастотного аттрактора в типичном случае было позднее доказано, а лшнимальная размерность сокращена до трех [317] ). [c.480]

В гл. 7 обсуждалось возникновение странных аттракторов в трехмерных потоках. Рюэль [353 ] предположил, что реакция Белоусова—Жаботинского, как и другие химические реакции, может протекать хаотически (иногда это называется химической турбулентностью). В настоящее время существование химической турбулентности надежно установлено как теоретически, так и численно [351, 410, 413]. Проведено также много экспериментов [101, 206, 365, 418, 426], которые со всей очевидностью выявляют этот режим. Например, Вайдал и др. [418], измеряя фурье-спектр концентраций при возрастании скорости протекания реакции, наблюдали бифуркацию удвоения периода, а затем и переход к химической турбулентности. [c.495]

Рис. 22.16. Возникновение странного аттрактора в трехмерной системе путем последовательности бифуркаций удвоения периода (исходное движение имеет период Го) а — последовательность удвоений в фазовом пространстве (вверху) и на спектрограммах (внизу) б — странный аттрактор в виде складывающейся вдвое и замыкающейся на себе ленты , который возникает вслед за потерей устойчивости движения с периодом 2°°Го (в сечении лента имеет канторовскую структуру [33]

Характер энергообмена между неустойчивой волной из шз и затухающей парой u)i и и)2, т. е. когда из = 7303, ai = —Viai, а2 = —1 2(12, существенно зависит от соотношения 73 и Pi 2- Численный анализ показывает [20], что хаотический обмен энергией между такими модами реализуется в достаточно широкой области параметров. Хаос возникает в результате возникновения цепочки последовательных бифуркаций удвоения периода. Наглядное исследование структуры получающегося странного аттрактора затруднительно, поскольку следующая из (22.17) в случае ui ф V2 система дифференциальных уравнений имеет порядок, равный четырем. Более перспективным в этом отношении является анализ вырожденного случая Vi = V2- Поскольку амплитуды одинаково затухающих низкочастотных волн при t оо выравниваются (это нетрудно показать, воспользовавшись (22.17)), то система (22.17) может быть представлена в форме [c.481]

Смотреть страницы где упоминается термин Бифуркация в странные аттракторы : [c.165] [c.9] [c.97] [c.698] [c.701] [c.183] [c.168] [c.174] [c.131] [c.20] [c.418] [c.420] [c.457] [c.464] [c.482] [c.100] [c.496] [c.501] [c.409] [c.395]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...