Удвоение периода

Если отображение Т — это отображение, порождаемое фазовыми траекториями, близкими к периодическому движению Г на секущей поверхности S, то первой из описанных бифуркаций устойчивой неподвижной точки соответствует мягкий режим удвоения периода колебаний. Поясняющие этот процесс фазовые картинки в трехмерном случае представлены на рис. 7.П. Как меняются при этом осциллограммы колебаний, изображено на рис. 7.12. При этом Г изображает родившееся движение удвоенного по отношению к периоду прежнего периодического движения Г Ч Периодическое движение переходит в На секущей поверхности S неподвижная точка переходит в О и при этом одновременно рождается цикл двукратных неподвижных точек (О, , 0.у ). На секущей поверхности S стрелками изображается отображение Т . Для отображения [c.259]

Представленная на рисунке 1.9 бифуркационная диаграмма является универсальной, так как применима ко всем процессам, испытывающим удвоение периода. В этом случае эволюция системы с дискретными временными интервалами, отвечающих неравновесным фазовым переходам описывается уравнением (1.24). Оно отражает общую закономерность характерную для эволюции систем с обратной связью. [c.71]

Условию достижения предельного цикла удвоения периода отвечает пороговое значение m=m при = = 5 в (1.24) [c.73]

Можно отметить и определенную последовательность в удвоении периода от одной эры к другой 1- 1->2 2->4 4. Это позволяет прогнозировать, что при переходе к следующей эре реализуется переход к т=8 8. [c.173]

Переход к турбулентности путем удвоения периодов [c.169]

Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движением при переходе мультипликатора через —1. Равенство л = —1 означает, что начальное возмущение через интер)зал времени То меняет знак, не меняясь по абсолютной величине еще через период То возмущение перейдет само в себя. Таким образом, при переходе ц через значение —1 в окрестности предельного цикла с периодом То возникает новый предельный цикл с периодом 2То — бифуркация удвоения периода ). На рис. 20 условно изображены две последовательные такие бифуркации на рисунках а, б сплошными линиями показаны устойчивые циклы периодов 2То, 47 о, а штриховыми — ставшие неустойчивыми предыдущие циклы. [c.170]

Если принять условно неподвижную точку отображения Пуанкаре за точку л = 0, то вблизи нее отображение, описывающее бифуркацию удвоения периода можно представить в виде разложения [c.171]

Чтобы увидеть, как происходит удвоение периода, надо итерировать отображение [c.171]

Мультипликатор —1 и бифуркация удвоения периода. [c.45]

Рис. 18. Бифуркация удвоения периода

Оставшиеся рисунки иллюстрируют дальнейшие возможные изменения фазового портрета. На рис. 20д показан момент образования -критического седло-узла его исчезновение приведет к рождению странного аттрактора. На рис. 20 е изображено первое простое касание неустойчивого и устойчивого многообразий точки Q. В этот момент и при дальнейшем изменении параметров, приводящем к рождению гомоклинических точек транс-версального пересечения, аттрактор в кольце является странным. На рис. 20 ж уже произошла бифуркация удвоения периода точки N и возникла устойчивая двоякопериодическая траектория (замкнутой инвариантной кривой не стало). При дальнейшем изменении параметров может реализоваться каскад [c.51]

Одна из возможных бифуркаций аттрактора, часто реализующихся в системах, зависящих от параметра, — последовательность удвоений периода устойчивого цикла. Эта последовательность бифуркаций, происходящая на конечном интервале изменения параметра, приводит систему от устойчивого периодического режима к хаосу. [c.79]

Рис. 30. Три последовательные бифуркации удвоения периода в типично семействе отображений, сохраняющих площадь (гамильтонов случай)

Системы с аттракторами Фейгенбаума. Известно, что бесконечная последовательность бифуркаций удвоения периода [c.151]

Справедливо ли это хотя бы для диффеоморфизмов диска, — неизвестно. Возможно, что еще до того, как произойдет бесконечное множество бифуркаций удвоения периода, уже возникает бесконечное неблуждающее множество за счет касания многообразий седловых точек. [c.152]

Бифуркация удвоения периода и бифуркация рождения тора из цикла в мягком случае — внутренняя бифуркация, в жестком — кризис. [c.160]

Смена устойчивости устойчивого предельного цикла на торе — удвоение периода, либо рождение тора. В этом случае существует значение ei8i Те не является гладким, неустойчивое многообразие седлового цикла накручивается на устойчивый цикл, а не гладко примыкает к нему. [c.161]

Потеря устойчивости предельным циклом на торе, происходящая жестким образом при е- Е к устойчивому циклу, лежащему на торе, подтягивается седловой цикл удвоенного периода, либо неустойчивый тор, лежащий на границе области притяжения Те при <е и при е=е передает свою неустойчивость этому предельному циклу. [c.162]

ЦИСЛО ФЕЙГЕНБАУМА. Вблизи значения Я = 3,56994... прекращается удвоение периода и последовательность значений параметра, при которых происходят удвоения периода, подчиняется точному закону [c.87]

В общем случае, эволюцию системы описывают бифуркационными диаграммами, содержащими каскад бифуркаций, отвечаюший последовательности Фейгенбаума [25] при переходе через порог устойчивости период Т удваивается в последовательности 2Т, 4Т, 8Т и т.д. Такая последовательность отвечает последовательности бифуркаций удвоения периода. На рисунке 1.10 показан [c.41]

М. Фейгенбаум отметил общую черту различных процессов по мере изменения внешнего параметра поведение системы меняется от простого к хаотическому, при этом поведение системы упорядоченно и периодично. Упорядоченность заключается в том, что в каждый период времени Г поведение системы самовоспроизводится. Вне этого диапазона процесс перестает воспроизводится через Т (например, Т секунд). Удвоение периода отвечает 2-Т, следующий этап удвоения периода 4-Т. Процесс удвоения продолжается до тех пор, пока поведение системы перестает быть периодическим. Важным в решении Фейгенбаума явилось установление ранее неизвестной закономерности перехода системы от простого, периодического, к сложному, непериодическому, движению, связанной с тем, что в пределе хаотического непериодического движения имеется универсальное решение, общее для всех систем, испыты- [c.42]

М. Фейгенбаум [25 J установил общую закономерность различных процессов по мере изменения внешнего параметра поведение системы меняется о т простого к хаотическому. Однако, имеется определенный диапазон значений внешнего параметра, в котором поведение системы упорядочено и периодично. Упорядоченность заключается в том, что в каждый период времени Т поведение системы самовоспроизводится. Вне этого диапазона процесс перестает воспроизводиться, т.е. удвоение периода (Т, 2Т, 4Т...) продолжается до тех пор, пока число удвоений Т не достигнет предельного значения. Это условие выражено соотношением [c.71]

Процесс разрушения, как показано в [10], является неравновесным фазовым переходом. Поэтому можно считать, что процесс самоорганизации диссипативных структур носит циклический характер, подчиняющийся закономерности удвоения периода, а система в виде деформируемого твердого тела является сис емой с обратной связью. Это означает, что циклический характер процесса разрушения, связанный с неравновесными фазовыми переходами в точках бифуркации, самовоспроизводится. При переходах устойчивость-пеустойчивость-устойчивость значение предыдущей итерации является начальным значением для следующей. [c.72]

В этом параграфе основной период, т. е. период первого периодического движения, обозначаем как То (а не ft). Критические значеиня числа Рейнольдса, отвечающие последовательным бифуркациям удвоения периода, будем обозначать здесь иосредством Ri. Rj,. .., опуская индекс кр (число Ri заменяет прежнее Rhpz). [c.170]

Многократное повторение бифуркаций удвоения периода открывает один из возможных путей возникновения турбулентности. В этом сценарии число бифуркаций бесконечно, причем они следуют друг за другом (по мере увеличения R) через все убывающие интервалы последовательность критических значений Ry, R2,. .. стремится к конечному пределу, за которым периодичность исчезает вовсе и в пространстве возникает слож[1ый апериодический аттрактор, ассоциируемый в этом сценарии с возникновением турбулентности. Мы увидим, что этот сценарий обладает замечательными свойствами универсальности и масштабной инвариантности М. J. Feigenbaum, 1978) ). [c.172]

Последовательность бифуркаций удвоения периода (нумеруемых далее порядковыми номерами 1, 2,. ..) не обязательно должна начинаться с первой же бифуркации периодического движения. Она может, в принципе, начаться и после нескольких первых бифуркаций с возникно ением несоизмеримых частот, после их синхронизации за счет рассмотренного в 30 механизма. [c.172]

Преобразование (32,5) имеет неподвил<ную точку — корень уравнения х, = 1 —Хх . Эта точка становится неустойчивой при X > Л[, где Ai — значение параметра Х, для которого мультипликатор (х = —2Я,л , = —1 из двух написанных уравнений находим Л = 3/4. Это — первое критическое значение параметра Х, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант затем будут сформулированы точные утверждения. [c.173]

Функция g(x) определяет структуру апериодического аттрактора, возникающего в результате бесконечной последовательности удвоений периода. Но это происходит при вполне определенном для функции [(х X) значении параметра X = Л, . Ясно поэтому, что функции, образованные из f(x X) путем многократ-ног-о итерирования преобразования (32,12), действительно сходятся к g(x) лишь при этом изолированном значении X. Отсюда в свою очередь следует, что неподвижная функция оператора Т неустойчива по отношению к ее малым изменениям, отвечающим малым отклонениям параметра к от значения Лоо. Исследование этой неустойчивости дает возможность определения универсальной постоянной б — снова без всякой связи с конкретным видом функции f x) ). [c.177]

Масштабный множитель а определяет изменение — уменьшение— геометрических (в пространстве состояний) характеристик аттрактора на каждом шаге удвоений периода этими характеристиками являются расстояния между элементами предельных циклов на оси х. Поскольку, однако, каждое удвосиие сопровождается еще и увеличением числа элементов цикла, это утверждение должно быть конкретизировано и уточнено. При этом заранее ясно, что закон изменения масштаба не может быть одинаковым для расстояний между всякими двумя точками ). Действительно, если две близкие точки преобразуются через почти линейный участок функции отображения, расстояние между ними уменьи1ится в а раз если же преобразование про- [c.177]

В момент бифуркации (при X = Л ) каждый элемент (точка) 2" -цикла расщепляется на пару—две близкие точкп, расстояние между которыми постепенпо возрастает, но точки остаются ближайшими друг к другу на всем протяжении изменения до следующей бифуркации. Если следить за переходами элементов цикла друг в друга с течением времени (т. е. нри последовательных отображениях Xj+i = f(xj к)), то каждая из компонент пары перейдет в другую через 2" единиц времени. Это значит, что расстояние между точками пары измеряет амплитуду колебаний вновь возникающего удвоенного периода, и в этом смысле представляет особый физический интерес. [c.178]

Эти формулы позволяют сделать некоторые заключения об изменеиии спектра (частотного) движения жидкости, претерпевающей удвоения периода. В гидродинамическом аспекте величину Xm t) надо понимать как характеристику скорости жидкости. Для движения с периодом Тт спектр функции Xm t) (от непрерывного времени Л.) содержит частоты /гшт k = = 1,2,3,. ..) —основную частоту (л,п=2л1Тт и ее гармоники. После удвоения периода течение описывается функцией Xm+i(i) с периодом Тт+ — 2Тт Ее спектральное разложение содержит, наряду с теми же частотами йсот, еще и субгармоники частоты [c.179]

Таким образом, интенсивность новых спектральных компонент, появляющихся после бифуркации удвоения периода, превышает таковую для следующей бифуркации в определенное, не зависящее от номера бифуркации, число раз (М. У. Feieenbaum, 1979) ). [c.180]

Аттрактор, возникший в результате бесконечной цепочки удвоений периода, в момент своего рождения не является странным в определенном в 31 смысле 2 -цикл , возникающий как предел устойчивых 2 "-циклов при fli—>-оо, тоже устойчив. Точки этого аттрактора образуют на отрезке [—1,1] несчетное множество канторового типа. Его мера на этом отрезке (т, е. полная длина совокупности его элементов) равна пулю его размерность лежит между О и 1 и оказывается равной 0,54 ). [c.180]

Когда параметр семейства пробегает отрезок между соседними бифуркационными значениями, отвечающими удвоению периода, один из мультипликаторов соответствующего цикла меняется от значения 1 до значения —1, выходя по дороге в комплексную область. Интересно исследовать асимптотику кривой, пробегаемой этим мультипликатором на плоскости С. В настоящее время оценен сверху радиус круга с центром О, в котором лежит дуга невещественных значений мультипликатора этот радиус убывает, как повторная геометрическая прогрессия ехр(—а2 ). [c.85]

Лазерная светодинамика (1988) -- [ c.212 ]

Регулярная и стохастическая динамика (0) -- [ c.76 , c.430 , c.432 , c.453 , c.457 , c.498 ]

Хаотические колебания (1990) -- [ c.35 , c.64 , c.86 , c.111 , c.122 , c.173 , c.274 , c.277 ]

Синергетика иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах (0) -- [ c.67 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...