Бифуркация мнимую ось

Редукции к двумерным системам. Бифуркации особых точек с одним нулевым и парой чисто мнимых собственных значений, а также с двумя чисто мнимыми парами достаточно изучать в трехмерном и четырехмерном пространствах соответственно (по теореме сведения). Метод Пуанкаре приводит в этом случае к вспомогательной задаче. Семейство уравнений x—v x, е) превращается в систему [c.27]

Две чисто мнимых пары. Рассмотрим векторное поле с двумя парами чисто мнимых собственных значений в особой точке О пространства R . Редукции п. 3.4 приводят к следующей задаче изучить бифуркации фазовых портретов в типичных двупараметрических семействах в четверти плоскости 1/ 0 (поле касается осей координат) [c.31]

Случаи 8° и 10° в определенном смысле сводятся к исследованию бифуркаций положений равновесия с нулевым и парой чисто мнимых собственных значений и с двумя мнимыми парами соответственно. Специальные исследования бифуркаций неподвижных точек диффеоморфизмов в случаях 8°—10°, насколько нам известно, не проводились. [c.53]

О некоторых бифуркациях состояния равновесия с одним нулевым и парой чисто мнимых корней. В сб. Методы качественной теории дифференциальных уравнений . Горький. 1978, 33—40 [c.212]

Бифуркации векторного поля в окрестности особой точки в случае двух пар чисто мнимых собственных чисел. Докл. Болг. АН. [c.214]

Теорема 5.1. Точка и не является точкой бифуркации состояния равновесия О, если на мнимой оси нет корней Я1, "кг,. , Я . [c.102]

При изменении Я различные линейные серии остаются отличными друг от друга, пока дискриминант А квадратичной формы (2) не исчезает, т. е. пока не исчезает ни один из главных коэфициентов устойчивости. Если же в то время, когда пробегается некоторая линейная серия, дискриминант А при некотором частном значении А исчезает и меняет знак, то соответствующая конфигурация оказывается формою бифуркации , т. е. эта конфигурация представляет точку пересечения рассматриваемой линейной серии с другой. Может даже случиться, что при некотором значении А две линейные серии совпадают, а после этого становятся мнимыми. Если рассматриваемая конфигурация не принадлежит ни к какой другой линейной серии, то мы имеем так называемую предельную форму равновесия, и можно показать, что А в обеих сериях вблизи от точки соединения имеет различные знаки. Особенно важным оказывается тот случай, когда две серии соединяются и после этого делаются мнимыми, в то время как третья серия непрерывно переходит через эту общую точку. [c.897]

Естественно рассмотреть в первую очередь бифуркации простейших негрубых элементов и, прежде всего, простейших негрубых состояний равновесия. В трехмерных системах, так же как и в двумерных, простейшими негрубыми являются состояния равновесия с двумя чисто мнимыми характеристическими корнями. Для них Ляпуновым аналогично двумерным системам введены ляпуновские величины . В простейших из этих состояний равновесия первая ляпуновская величина отлична от нуля. В этом простейшем случае в трехмерных системах состояния равновесия могут быть двух типов сложным фокусом (устойчивым или неустойчивым) и сложным седло-фокусом °). Далее, простейшими негрубыми состояниями равновесия в трехмерных системах могут быть двукратные состояния равновесия, возникшие в результате слияния двух простых. На рис. 253 показано образование двукратного состояния равновесия седло-фокус — фокус в результате слияния двух простых — седло-фокуса и устойчивого фокуса. При надлежащих изменениях правых частей системы двукратные состояния равновесия либо опять разделяются на простые, либо исчезают (см. [38 ]). На рис. 254 [c.471]

Простое комплексное собственное значение пересекает мнимую ось. Бифуркация Хопфа [c.271]

В дальнейшем для удобства тильду мы будем опускать. Ранее из линейного анализа (4.1) было показано, что тип равновесия определяется величиной у= К (1). Если у < 1, то равновесие -неустойчивый узел (фокус), если у > 1, то узел (фокус) становится устойчивым. При переходе через и = 1 происходит смена устойчивости по типу бифуркации Андронова-Хопфа, когда собственные значения пересекают мнимую ось. В случае обшего положения при зтом из равновесия рождается предельный цикл. Однако конкретные примеры трофической функции V (лг) могут приводить к иным результатам. [c.228]

Данная глава является кратким, элементарным введением в теорию бифуркаций, которая изучает качественные изменения в поведении решений динамической системы при изменении ее параметров. Теория бифуркаций обязана своим рождением трудам А. Пуанкаре. Исключительно важные для приложений типы бифуркаций подробно изучены А.М. Ляпуновым. Громадное значение теории бифуркаций для приложений отчетливо понимал А.А. Андронов, который еше в 1931 г. на Всесоюзной конференции по колебаниям в связи с развитием теории нелинейных колебаний ставил вопрос о полной теории бифуркаций для неконсервативного случая [2]. Более того, им получены основополагающие результаты по бифуркациям в системах второго порядка. В частности, А.А. Андронову принадлежит заслуга открытия бифуркации рождения предельного цикла из положения равновесия в случае пары чисто мнимых корней характеристического уравнения и обнаружение связи этой бифуркации с ляпунов-скими величинами. [c.101]

Напомним, что при этой бифуркации при л = О характеристическое уравнение имеет два чисто мнимых корнягЬио. В случае (7.20) при [х = О, помимо двух чисто мнимых корней 10), имеется еще р — 2 корня с отрицательной действительной частью и с положительной. В случае (7.21) числа корней с отрицательной и положительной [c.254]

Так, с ростом Re может быть достигнуто новое критическое значение Re2 r, при котором пара мультипликаторов примет значения ехр ( /а) (где афО, я, я/2, 2я/3, чтобы исключить резонансы). Тогда произойдет вторая нормальная бифуркация Хопфа периодическое течение Uo(x)-fUi(x, t) станет неустойчивым относительно какого-то из возмущений вида fi(x, t)y где fi — периодическая по времени функция с периодом 2я/а, а собственное значение X имеет мнимую часть 1о2. При небольших Re—R2 r это возмущение будет возрастать со временем до конечного предела — квазипериодического движения с двумя периодами 2n/Oi и 2л/о2 и двумя степенями свободы (фазами колебаний). Таким образом, из замкнутой траектории образуется траектория на двумерном торе (рис. 2.10 6). Если затем произойдет следующая нормальная бифуркация Хопфа, то образуется траектория на трехмерном торе, и т. д. [c.99]

II. Бифуркации сложного фокуса первого порядка, т. е. состояния равновесия О с чисто мнимыми характеристическими корнями ( -1 = гЬ, к.2 = — 6) и с не равной нулю первой ляпуновской величиной ( 3 = 1= =0). Как было указано (см. 5 гл. 3), в случае состояния равновесия с чисто мнимыми корнями все полупрямые с концом в точке О не имеют контактов с траекториями в достаточно малой окрестности О, и на достаточно близкой к О части (с концом в О) любой из таких полупрямых может быть построена функция последования, которая в рассматриваемом случае имеет вид [c.165]

А. Д. Лизарев [1.39] (1963) разобрал колебания упруго защемленных стержней в рамках теории Тимошенко. Установлено, что в зависимости от частотного параметра возможны три типа корней характеристического уравнения два корня действительных и два мнимых, два действительных и два нулевых, соответствующих точке бифуркации, и все корни мнимые (при достаточно высоких частотах). Проведенные расчеты показывают, что влияние деформации сдвига и инерции вращения существенно лишь для коротких стержней и усиливается с увеличением коэффициента упругого защемления и тона колебаний. [c.84]

Выражение (4.3) представляет на плоскости х, у) замкнутые кривые, охватьшаюшие равновесие (1, I). Таким образом, при изменении параметра Ь и переходе его через 1/2 справа налево собственные значения системы (4.1) пересекают мнимую ось, а равновесие из неустойчивого фокуса превращается в устойчивый, проходя стадию чистого центра. Бифуркация Андронова-Хопфа не имеет место в этом случае, и предельных циклов из равновесия не возникает. [c.229]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...