Сложная особая точка

Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях и /V,,-Поверхность не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двоякоасимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для ->того требуется пересечение интегральных многообразий Sp и S.,, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности yv происходит слияние состояний равновесия О"" и Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку О"" проходят интегральные многообразия Sp и S, и через точку 0/>+1, -I — интегральные многообразия Sp i и S i. Пересечение многообразий Sq и Sp,.i является общим. В силу того, что на поверхности /V,, состояния равновесия О -" и сливаются, до момента этого слияния поверхности Sg и Sp+i в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазо- [c.264]

Сложная особая точка появляется, когда [c.37]

Рис. 5. Сложная особая точка (Д = а - 0)

Начало координат является сложной особой точкой для поля давления — на оси симметрии давление обращается в минус бесконечность, а с приближением к началу координат вдоль стенки растет до плюс бесконечности. Наличие на стенке благоприятного градиента давления предотвращает отрыв. Производимая в силу условий прилипания завихренность накапливается у стенки и ускоряет внешнее течение. В результате развивается пристенная струя. Изучим ее структуру подробнее. [c.112]

Сложное состояние равновесия (особая точка) с нулевыми характеристическими корнями ). В настоящем параграфе мы приведем результаты исследования одного простейшего типа сложных особых точек. [c.86]

В настоящее время методы исследования сложных особых точек получили дальнейшее развитие (список дополнительной литературы [31, 15, 17, 27]), [c.93]

Значение параметра ц = О является бифуркационным ). При возрастании ц от значения ц = О сложная особая точка на [c.124]

БИФУРКАЦИИ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ СЛОЖНЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК 171 [c.171]

Бифуркации некоторых типов сложных особых точек. [c.171]

Если бы среди т особых точек, на которые при сколь угодно малых добавках разделяется данная сложная особая точка О, была бы сложная особая точка (т. е. такая, для которой Д = 0), то всегда можно было бы указать такие сколь угодно малые добавки, при которых особая точка О разделялась бы более чем на т особых точек, что противоречит условию а). Если бы среди особых точек, на которые разделяется О, была бы простая, но не грубая особая точка (т. е. такая, для которой Д > О, а = 0), то всегда можно было бы указать и такие сколь угодно малые добавки, при которых все особые точки были бы грубыми. Кратность сложного состояния равновесия, очевидно, совпадает с кратностью общей точки любых двух различных изоклин, проходящих через эту особую точку. [c.171]

Очевидно, особая точка кратности тп может при надлежащем выборе добавок разделяться и на меньшее, чем т, число особых точек, и, в частности, могут быть такие сложные особые точки, которые при надлежащим образом выбранных, но сколь угодно малых добавках исчезают (например, седло-узел). [c.172]

Теорема 1. Индекс сложной особой точки О кратности т равен сумме индексов тех особых точек, на которые сложная особая точка О может разделяться при сколь угодно малых добавках ранга т. [c.172]

Нетрудно видеть, что в рассматриваемом простейшем случае сложной особой точки ее качественный характер полностью определяется числом и характером грубых состояний равновесия, на которые она разделяется. [c.173]

II. Разделение прп малых добавках к правым частям системы (А) сложной особой точки О (0,0) с двумя нулевыми корнями (А = О, аФЩ, для которой Рх (О, 0) -Ь 1 Ру (0,0) 1 -Ь + < (о, 0) -t-[( (0, 0)1 0, па грубые особые точки. Как уже было указано в гл. 4, в этом случае система может быть приведена линейным неособым преобразованием к виду [c.173]

Бифуркации от бесконечности . В 2 рассматривалась смена качественных структур, которая происходила вблизи негрубого особого элемента (сложной особой точки, сложного фокуса и т. д.), лежащего внутри области определения динамической системы. Очевидно, можно также рассмотреть и возможные смены качественных структур в том случае, когда негрубый особый элемент лежит на границе области определения динамической системы. Не останавливаясь на случае, когда система (А, ) определена в ограниченной части плоскости, укажем некоторые возможности бифуркаций от бесконечности в случае, когда [c.194]

При Х = 0 на фазовой плоскости (х, у) существуют области, заполненные замкнутыми кривыми, при —([г — 1) = 0 существуют сепаратрисы, идущие из седла в седло (интегральные прямые), и при fi = О — сложная особая точка высокого порядка, распадающаяся при изменении параметра [г. [c.246]

В случае А = О две симметричные точки сливаются с особой точкой в начале координат в одну и образуют особую точку высшего порядка. Заметив, что при А > О индекс особой точки в начале координат равен -Ы, а нри А<0 равен —1, заключаем отсюда, что сумма индексов особых точек, слившихся с началом, равна —2, т. е. эти особые точки — седла, и сложная особая точка имеет характер седла, а оставшиеся две — узлы. [c.247]

При Я = 1 состояние равновесия Оз сливается с О2, образуя сложную особую точку, которая нри Я > 1 делается грубым неустойчивым узлом. [c.254]

Проследим за изменением качественной структуры и бифуркациями при движении точки в пространстве параметров вдоль кривой 1 + + л — Я = 0. Точкам на этой кривой соответствует сложная особая точка, возникшая в результате слияния Оз и О4. Это будет особая точка типа седло-узел для всех точек кривой, за исключением двух точки (ц = 0, Я=1), для которой в фазовом пространстве сливаются три особые точки, и точки В (рис. 167)— вырожденного седло-узла. Качественная картина разбиения фазового пространства на траектории будет определяться наличием или отсутствием предельных циклов, охватывающих фазовый цилиндр, и расположением сепаратрис, ограничивающих узловую область особой точки седло-узел. На рис. 168 изображе- [c.314]

При возрастании параметра х точка в пространстве параметров попадает на кривую 1 + = О, и из сгущения траекторий возникает сложная особая точка седло-узел с неустойчивой узловой областью, изображенная на рис. 169, 2—3. При дальнейшем возрастании ц сложная особая точка распадается на две простые седло и неустойчивый узел (рис. 169,5). [c.317]

Кривые 4.5 , 5.6 и 6.7 на прямой Я = 1 пересекаются в одной точке F. В этой точке осуществляется структура разбиения на траектории высокой степени негрубости, представленная на рис. 169, fi—5—6—7. Точка (я/2, 0)—сложная особая точка. Только от структуры 4—5—6—7 с петлей сепаратрисы можно сколь угодно малым изменением параметров перейти к негрубым структурам 4—5, 5—6 илп 6—7, но, так как изменение х разрушает петлю, на прямой Я = 1 может существовать лишь единственная точка со структурой, содержащей петлю сепаратрисы,— точка пересечения кривых 4.5 , 5.6 и 6.7 . [c.322]

При возрастании до значения 7 = 1 состояния равновесия 0[ и О2 сливаются, образуя сложную особую точку седло-узел, а области 1—3, 5 и 7 рис. 180 уходят в бесконечность. На нлоскости единственной бифуркационной кривой будет "-кривая (ее существование следует из рассуждений, аналогичных рассуждениям для случая малых 7, опирающихся на существование при 7 = 1 некоторой окрестности оси с1, для точек которой есть устойчивый предельный цикл на верхнем полуцилиндре). Пространство параметров и структуры разбиения фазового пространства изображены на рис. 181. [c.354]

А — 1)/ 1 < р <(А + 1)/ л, на которых производная меняет знак. При (А — 1)/ л > 1 на полосе —л < ф < я будет только два состояния равновесия 0 п/2, 0)—седло и 02(л/2, 0)—неустойчивый узел. При (А—1)/ 1 = 1 изоклины смыкаются и возникает сшитая сложная особая точка (О, 1), качественно эквивалентная вырожденному седло-узлу без узловой области (гл. 4) (рис. 235). При (А —1)/р,<1 сложная особая точка распадается на две 0з(0, 1)— сшитый фокус и 04 (ф4, Р4)— седло. При (Я, + 1) / д. 1 [c.439]

Разбиение пространства параметров на области с различной качественной структурой фазового пространства. Вдоль всей граничной кривой характер сложной особой точки и структура разбиения фазового пространства на траектории сохраняются. Бесконечность неустойчива а-сепаратриса седла Oi не может идти в особую точку и накручивается на устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр. Качественная картина разбиения на траектории на всей граничной кривой эквивалентна изображенной на рис. 168, II—III. [c.440]

И полупрямой X = И для и > (я/2)ф7 . Вдоль граничной кривой характер сшитой сложной особой точки и качественные структуры разбиения на траектории будут изменяться. [c.442]

Если фо невелико, то сложная особая точка Оз4(фо, (Я - 1)/ц) на интервале О <Сц< (п /2)фо сшивается из седла О4 и фокуса или узла Оз. Для [г>(я/2)ф7 сложная особая точка 0з4(0, 1) [c.442]

При 7 = 1 на оси г/ = О — сложная особая точка седло-узел. Существует единственное значение к = ко, при котором а- и со-сепаратрисы седло-узла образуют петлю, охватывающую цилиндр. При О < А < Ао существует устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр при ка<к<°о все траектории имеют [c.448]

При К = л и 7<1 в фазовом пространстве па линии сшивания нет особых точек. Для Я = л и < 1 две особые точки — фокус и (на линии сшивания) седло, сшитое из обыкновенных траекторий. Для у = 1 на линии сшивания сложная особая точка, исчезающая при 1- [c.449]

Обсудим эти бифуркации подробнее. Пусть изменение состояния системы происходит в результате изменения некоторого параметра а. Бифуркационное значение параметра обозначим через о. Бифуркация первого типа изображена на рис. 15.5 а. При значении параметра а < о в системе существовало два состояния равновесия-седло и узел. При а = ао они слились, образовав сложную особую точку седло — узел. При последующем увеличении параметра а состояние равновесия исчезает. [c.313]

Элементарность особых точек имеет двоякий смысл 1) сложная особая точка рассыпается на элементарные, как на атомы. 2) Элементарные особые точки сравнительно просто устроены (см. 2 и 5). Указанная в заглавии классификация получена для всех ростков гладких векторных полей, за исключением подмногообразия коразмерности бесконечность, и, в частности, для всех ростков аналитических векторных полей с изолированной особой точкой она дается следующими двумя теоремами. [c.88]

Топологическая классификация сложных особых точек с характеристической траекторией [c.89]

Выбор Д влияет на модуль и знак к - коэффициента при старшем члене в числителе дроби (3.70) именно он определяет монотошюсть (бифуркация отсутствует) либо немонотонность (бифуркация существует) правой ветви бифуркационной кривой. При Z), = О линия (3.70) имеет одну монотонную ветвь. Если бифуркация существует, то она представляется сложной особой точкой седло - устойчивый узел. Состояния равновесия, соответствующие точкам на бифуркационной кривой (рис, 3.22) при А> А° - устойчивые узлы. Расчеты [c.119]

Уравнение имеет семейство решений Р (а), зависяш ее от параметра Ре одно из них с Ре = схэ (V = 0) совпадает с найденным Рейли, для которого вблизи фокусировки Р а /2., Начало координат (а = О, р = 0) есть сложная особая точка уравнения (3.2), она показана на рис. 4. л Среди кривых, ВЫХОДЯШ.ИХ из начала коорди- [c.318]

Н. А. Губарь, Характеристика сложных особых точек системы двух дифференциальных Уравиений при помощи грубых особых точек Слизких систем. Матем. сб. 40 (82) 1 (1956). [c.564]

Методы исследования сложных особых точек (метод Бендиксона [143] и метод Фроммера [132]) опираются на рассмотрение траекторий, стремящихся в определенном направлении. [c.84]

I. Разделение при малых добавках к правым частям системы (А) сложной особой ТОЧКИ О с одним нулевым характеристическим корнем (т. е. особой точки, для которой А = 0, о О) на грубые особые точки. Такая сложная особая точка была рассмотрена в гл. 4. В окрестности такой o o6oii точки, как мы видели (см. 2 гл. 4), система может быть приведена линейным неособым преобразованием к виду [c.172]

БИФУРКАЦИИ НЕКОТОРЫХ ТРШОВ СЛОЖНЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК 173 [c.173]

Для точки Л (О, 1) пространства параметров X, я (см.рис. 167) картина разбиения фазового цилиндра на траектории представлена на рис. 168,/ (см. пример 1 3 гл. 14). Предельных циклов нет (это вытекает из расположения контактной кривой рассматриваемой системы и консервативной системы я = Я, = 0) (см. гл. 6, 5). Есть только две особые точки седло 0 и сложная особая точка Огз4 (п/2, 0). На куске АВ кривой будет осуществляться структура разбиения, представленная на рис. 168,//. При переходе от точки А к точкам куска АВ осуществляются две бифуркации [c.315]

Кривая 4.5 не выходит из полосы 1 < Я < У3/2 и заканчивается в точке В. Сепаратрису сложной особой точки на рис. 168, II—III можно рассматривать как вырождение сепаратрисы точки Oi на рис. i%9,4—5 при предельном переходе, сохраняющем при сближении точек Ог и Oi петлю сепаратрисы. Кривая 5.6 заканчивается в точке С (см. рис. 167). В точке С, как и на кривой 5.6 , сепаратриса седла 0 идет в седло Oi (см. рис. 168, III—IV, 169, 5—6). Ни для одной точки любой прямой Я = onst, проходящей выше точки С, это уже невозможно. [c.322]

Губарь Н. А. Характеристика сложных особых точек системы двух дифференциальных уравнений при помощи грубых особых точек близких систем jj Матем. сб.— 1956.— Т. 40, вьш. 1. [c.479]

Топологический тип Диффёрёнцйа льнбгб уравнёнйя в окр ности особой точки общего положения определяется линеаризацией поля в точке (теорема 1.1 ниже). Случаи более сложных особых точек обсуждаются в 2 и 5. [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...