Бифуркации из тора в другие торы

Бифуркации из тора в другие торы [c.68]

Выще мы видели, что предельный цикл может при бифуркации переходить в тор. Недавно были открыты бифуркации из тора в другие торы той же или более высокой размерности.. При исследовании бифуркаций этого типа возникают особые трудности. Как показывает математический анализ, решающую роль играет весьма [c.68]

Математик избрал бы следующий план действий. Для того чтобы проверить, реализуется ли в действительности бифуркация из одного тора в другой, необходимо исследовать, с какой вероятностью произвольно заданный набор частот ю удовлетворяет условию KAM. Математики доказали, что если постоянная К в неравенстве (6.2.6) достаточно мала, то условие KAM выполняется с большой вероятностью. Следует заметить, однако, что постоянная К входит в комбинации с множителем 8 , в чем нетрудно убедиться с помощью следующих рассуждений. [c.305]

С математической точки зрения мы приходим к заключению, что вероятность найти набор частот, удовлетворяющий условию (8.10.50), очень велика, или что бифуркация из одного тора в другой сосредоточена в пространстве частот на множестве ненулевой меры. [c.305]

Хотя теория бифуркаций в ее современном виде исключает из рассмотрения флуктуации, некоторые из последних работ по теории бифуркации посвящены изучению окрестности ветвящегося решения. Специалисты по теории динамических систем и теории бифуркации заметят, что в нашей книге по ходу изложения мы выходим на передний край современных исследований и получаем новые результаты. Один из таких результатов (аналог теоремы Флоке) относится к виду решений линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. Нам удалось изучить широкий класс таких уравнений с помощью вложения. Другой результат относится к бифуркации п-мерного тора в другие торы. Наконец, принцип подчинения включает в себя в качестве частных случаев ряд важных теорем, например теорему о центральном многообразии, теорему о медленном многообразии и различные алгоритмы адиабатического исключения переменных. [c.363]

Бифуркация седлового цикла на торе, при которой устойчивые при докритических значениях параметра циклы на торе не теряют свою устойчивость. При е- е к седловому циклу подтягивается либо другой цикл, либо тор и сливается с ним при Е—Е. (Мультипликатор в этот момент может стать равным и (+1),и ( 1),и еТ) [c.162]

Пути возникновения временного хаоса могут быть прослежены на моделях, в которых движение совершается в ограниченной области, когда спектр возмущений дискретен, и хаотизация наступает поэтапно. Бифуркационные переходы на классе периодических функций изучались в работах [31, 32] в [33] задача решалась с граничным условием ЪA ЬZ = О на концах расчетной области. В [31] указаны два пути появления хаоса в системе разрушение трехмерного тора и субгармоническая бифуркация двумерного тора. В [33] обнаружен новый механизм возникновения хаоса, детальный анализ которого в применении к другой задаче дан в работе [34]. Упомянем здесь также исследования бифуркационных переходов (в том числе между странными аттракторами различной размерности), проведенные для конечно-разностного аналога уравнения [c.249]

Аналогичные пути к хаосу обнаружены не только в жидкостях, но и в других системах. Например, в лазерах порог генерации соответствует бифуркации Хопфа, а распад лазерных импульсов в ультракороткие импульсы — бифуркации предельного цикла в тор. При других условиях периодическое движение по предельному циклу может сменяться хаотическим режимом или, точнее, периодическими колебаниями, модулированным хаотическим движением. Исследование сценариев для широких классов систем и разработка методов построения общей картины — важная задача будущего. [c.309]

Интегральные двумерные тороидальные многообразия естественно возникают при бифуркации периодического движения с переходом через поверхность Как следует из предыдущего параграфа (теорема 5.5), при определенных условиях переход через бифуркационную поверхность сопровождается отделением от периодического движения тороидального двумерного многообразия. Тороидальное двумерное интегральное многообразие на своей поверхности может нести самые разнообразные фазовые портреты, которые могут претерпевать бифуркации, не сопровождающиеся разрушением несущего тора. Помимо этого, возможны бифуркации, при которых тор как гладкая интегральная поверхность исчезает. Пути разрушения тора достаточно многообразны. Среди них особый интерес представляют случаи, когда тор разрушается как целое. Бифуркации тора как целого аналогичны бифуркациям периодического движения типов Л +1, N-1 и Л ф. Однако их исследование по образцу исследования бифуркаций периодических движений наталкивается на новую трудность, поскольку приведение к нормальной форме уравнений в окрестности тора предполагает приводимость линеаризованных уравнении в окрестности тора к лилейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Возможен другой подход к рассмотрению бифуркай,ий тора как целого. В основе его лежит сведение задачи о бифуркациях двумерного тора к задаче о бифуркациях инвариантной замкнутой кривой точечного отображения. Для этого разрежем тор секущей поверхностью так, чтобы в сечении получилась замкнутая кривая Г. Фазовые траектории [c.119]

Рассмотрим класс дис х )еренциальных уравнений я = N (я), где N удовлетворяет определенным условиям дифференцируемости. Нас могут интересовать такие свойства решений я (/), которые являются правилом, а не исключением. Такие свойства называются общими (для данного класса уравнений). Вместо того чтобы пытаться уточнить определение общего , поясним его на простом примере из физики. Рассмотрим непрерывные центральные силы. Если обозначить через г расстояние от центра, то семейство функций К (г), где К есть непрерывная функция,— общее для интересующего нас класса сил. С другой стороны, сила, описываемая законом Кулона К l/r не является общей. Это — весьма специальный, частный случай ). Рюэль и Такенс исследовали, как происходят в общем случае бифуркации торов в торы более высокой размерности. [c.307]

До сих пор мы подробно исследовали свойства квазипериодического движения и в особенности бифуркации из одного тора в другой, в том числе бифуркации из двумерных торов в трехмерные. Причина, по которой мы уделяли столько внимания этому подходу, заключается в том, что, как экспериментально установлено, возможны переходы от двумерного тора не только к хаосу, но и к трехмерному тору. В связи с этим естественно возникает задача выяснить, почему картина Рюэля и Такенса наблюдается в одних и не наблюдается в других случаях. Из соображений, подробно изложенных в предыдущем разделе, следует, что бифуркация двумерного тора в трехмерный возможна, если выполняется условие KAM, т. е. если отношения частот аномально хорошо аппроксимируются рациональными числами. Из сказанного можно сделать вывод о разумности привлечения вероятностных соображений при оценке возможности бифуркации двумерного тора в трехмерный у данной реальной системы. Наш подход позволяет решить загадку — ответить на вопрос, почему у некоторых систем наблюдается бифуркация двумерного тора в трехмерный, несмотря на то, что соответствующие решения не являются общими в смысле Рюэля и Такенса. Оказалось, что у реальной системы в некоторых интервалах значений управляющих или каких-то других параметров может осуществляться сценарий последовательных бифуркаций торов, но по мере увеличения размерности торов вероятность переходов быстро убывает, картина Ландау—Хопфа становится неадекватной, и наступает хаос. [c.308]

Выше говорилось о бифуркациях обмотки двумерного интегрального тора, порождаемых изменением числа вращения Пуанкаре. В частности, эти бифуркации могли происходить на торе, который рождается от иериодического движепия при изменении параметров, приводящем к переходу через бифуркационную поверхность коразмерности единицы. В момент рождения тора число вращения фазовых траекторий на нем равно ф/2я и в дальнейшем может меняться. При этом рождение тора носит изолированный характер, т. е. оно происходит при некотором значении параметра [х = (х и при [х, близких к ц, по отличных от (X, отделений или слияний торов с периодическим движением нет. Однако в особых случаях и, в частности, для гамильтоновых систем, рождение интегральных торов от периодических движений может носить совсем другой, непрерывный характер [61]. Это связано с особенностями гамильтоновых систем и в первую очередь с тем, что при наличии у нее периодического движепия только с двумя ко мплексными корнями последние обязательно имеют вид и при изменении параметров возможны только следующие случаи [c.170]

Одним из важных путей к хаосу в многомерных динамических системах, подобных термогидродинамическим, является возникновение колебаний на двух предельных циклах бифуркация Хопфа), которое приводит к квазипериодическому движению. Этот процесс обсуждался в гл. 2. Динамика такого движошя моделируется течением на торе, и возникающие сечения Пуанкаре имеют вид замкнутых круговых дуг. Несмотря на важность квазипериодических колебаний для хаотической динамики, онн мало исследованы в других системах, кроме гидродинамических. Именно по этой причине мы решили изучить квазипериодические колебания в такой нелинейной структуре, как изогнутый стержень. [c.148]

Современная наука весьма часто бывает перегружена ворохом специальной терминологии и обозначений. Я стремился свести терминологию до минимума и в случае необходимости объяснять смысл новых терминов. Теоремы и методы изложены так, чтобы их можно было применять к конкретным задачам, т. е. приведены конструктивные доказательства, а не чистые теоремы существования. Стремясь использовать понятия общей теории динамических систем, я пытался следовать конструктивному подходу. В большинстве частей книги мне удалось осуществить свои намерения. Трудности возникли лишь в связи с квазипериодическими процессами. Я включил эти тонкие проблемы (например, бифуркацию торов) и мой подход к их решению не только пото.му, что они находятся на передовом рубеже современных математических исследований, но и потому, что с ними приходится то и дело сталкиваться при рассмотрении как естественных, так и искусственных систем. Главы, посвященные рассмотрению этих сложных проблем, так же, как и другие трудные главы, отмечены звездочкой. При первом чтении их можно опустить. [c.17]

МЫ вывели уравнения (8.10.29), (8.10.30). Если мы используем эти уравнения или уравнения (8.10.40), (8.10.41) как модель, то необходимость в дополнительных предположениях относительно отпадает. В этом случае мы можем получить бифуркацию из тора, если при данных и нам удастся найтн такие V и при которых выполняются соотношения (8.10.44), (8.10.45) и удовлетворяет условию KAM. С другой стороны, если мы вывели уравнения (8.10.40), (8.10.41) из исходных автонодшых уравнений (8.9.1), то нам необходимо учитывать те предположения, которые были приняты при выводе. Основное предположение было сделано относительно структуры функций (8.9.13), чтобы обеспечить квазипериодичность векторов v. Из него, в частности, следовало, что частоты Dj, D.,,. .., Сйд1 удовлетворяют условию KAM. [c.305]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...