Устойчивость точки неподвижной

Как известно, условие устойчивости однократной неподвижной точки х состоит в выполнении неравенства I/ (л ) < 1, а неустойчивости — неравенства / (л ) > 1. Для т-кратной неподвижной точки условия устойчивости и неустойчивости соответственно имеют вид [c.284]

Как известно, устойчивым (неустойчивым) неподвижным точкам отображения, простым и кратным, соответствуют устойчивые (неустойчивые) периодические установившиеся движения соответствуюш,ей динамической системы. Поэтому изучение точечного отображения предполагает, в пер- [c.284]

На рис. 7.31 представлен график взаимно однозначного точечного отображения, заключенный между горизонтальными асимптотами х = / (—оо) и je = / (+оо). При этом любая точка х прямой преобразуется внутрь отрезка (/ (—оо), / (+оо)), на котором имеется три неподвижные точки X, х1 и xt. Неподвижные точки х и х% устойчивые, а неподвижная точка х% — неустойчивая. Всякая точка полупрямой (—оо, xf) при последовательных применениях отображения асимптотически приближается к точке х, а всякая точка полупрямой (х , -foo) — к точке х,. Таким образом, вся прямая разбивается неустойчивой неподвижной точкой на две области притяжения Я (х ) и П (Ха) устойчивых неподвижных точек л и [c.285]

На рис. 7.34 и 7.35 изображены фазы двух различных типов бифуркаций взаимно однозначного отображения, для которого / (х) 0. На рис. 7.34 изображена бифуркация, при которой происходит рождение или исчезновение двух циклов из двукратных неподвижных точек. Рис. 7.35 изображает бифуркацию смены устойчивости однократной неподвижной точки, при которой одновременно происходит рождение или исчезновение цикла двукратных неподвижных точек. [c.287]

В фазовом пространстве х, у, т циклу устойчивых -кратных неподвижных точек соответствует устойчивое периодическое движение периода 2nq (рис. 7.96), успевающее за это время р раз обернуться по переменной ф. Напомним, что у соответствующего периодического движения автономной системы происходит один оборот по ф за время, равное 2np/q, и что 2л — период внешнего воздействия. [c.351]

В семействе (2 ) при переходе параметра слева направо через О происходит мягкая потеря устойчивости. А именно, при е 0 неподвижная точка О ростка fe устойчива. При е>0 она теряет устойчивость, но возникает устойчивый цикл периода 2 пара точек, близких к Уе, переставляемых диффеоморфизмом /е. Для диффеоморфизма каждая из этих точек неподвижна и устойчива. Этой перестройке соответствует мягкая потеря устойчивости предельным циклом (в предположении, что при 6 0 все остальные мультипликаторы по модулю меньше 1). При е>0 исходный цикл сохраняется, но становится неустойчивым, а рядом с ним на расстоянии порядка Уе появляется устойчивый предельный цикл примерно вдвое большего периода (рис. 18. ) [c.45]

Рис. 3. Неустойчивая гауссова неподвижная точка ц и устойчивая нетривиальная неподвижная точка ii при d<4

Одной из осн. задач в методе РГ является классификация и анализ устойчивости возможных неподвижных точек и нахождения связанных с ними критич. поверхностей, масштабных полей и их критич. показателей. С этой целью широко используются методы топологии и качественной [c.623]

Его график представлен на рис. 7.14. С уменьшением е парабола графика отображения спускается вниз. При е = е возникает критическая неподвижная точка, которая затем разбивается на две неподвижных точки У1 и Уг. Сначала одна из иих устойчива, а другая — неустойчива. Неустойчивая и при дальнейшем убывании параметра е остается неустойчивой, а устойчивая точка становится неустойчивой, претерпевая бифуркацию, соответствующую границе Л -,. При этой последней бифуркации рождается двукратная устойчивая точка, с которой происходит такая же бифуркация и т. д., пока устойчивая точка не исчезнет и не останутся в бесконечном числе одни неустойчивые точки. [c.181]

Отображения /(ж), имеющие плавный максимум, в котором вторая производная, подобно (19.16), отрицательна, подчиняются определенным закономерностям. Пусть А — значение параметра, при котором период удваивается 8-й раз. Тогда оказывается, что последовательность А геометрически сходится к Ас Ас — А Наиболее впечатляющей особенностью различных систем, испытывающих удвоение периода, явилось то, ЧТО значение 6, впервые вычисленное Фейгенбаумом, одинаково и равно универсальному числу 6 = 4,6692016. .. Аналогичный результат был получен и для процесса расщепления устойчивых точек расстояние от точки ж = 1/2 до ближайшей к ней неподвижной точки на 2 -цикле подчиняется закону ёд+г = —а с1з, где а —универсальное число, равное 2,503. .. [c.176]

Таковы основные и самые простые сведения о колебаниях, необходимые нам в последующем. Наука о колебаниях в настоящее время очень быстро развивается. Нет такой области в технике и в физике, где в той или иной мере не приходилось бы встречаться с колебательными процессами. Законы колебательных движений различного характера очень широко применяются инженером-механиком — конструктором разнообразных машин и движущихся механизмов, корабельным инженером — строителем морских и речных судов, авиаконструктором, создающим новые типы самолетов и моторов. Электротехника переменных токов и радиотехника полностью основаны на использовании колебательных процессов. С колебаниями приходится на каждом шагу встречаться ученым в геофизике, в оптике, механике, акустике, атомной физике, сейсмологии. Даже архитектор при проектировании здания или моста, казалось бы, устойчивого и неподвижного сооружения, не может обойтись без того, чтобы не применить или, во всяком случае, не учесть основных законов теории колебаний. [c.28]

При скачкообразном режиме трения салазки металлорежущего станка то неподвижны, то получают мгновенное ускорение, быстро замедляют движение и опять становятся неподвижными. Неравномерность движения в большой степени зависит от конструкции и материала направляющих. Например, применением направляющих с поверхностями, пропитанными политетрафторэтиленом (РТРЕ), можно избежать возникновения скачкообразного движения. Низкие характеристики трения, присущие РТРЕ, создают возможность устойчивого однородного движения при низких скоростях. Однако наиболее часто изготовляют направляющие из стали или чугуна. [c.43]

Проблема V. Пусть Т — какое-либо консервативное преобразование с неподвижной точкой Р устойчивого типа. Определить условия, при которых вблизи Р существует бесконечное множество точек, неподвижных при преобразованиях Т . [c.325]

Частный случай этой задачи отмечает уже на первых страницах своего знаменитого сочинения сам А. М. Ляпунов, желая подчеркнуть тот факт, что решение задачи об устойчивости зависит от выбора величин, по отношению к которым рассматривается эта задача. Приведем это место из сочинения А. М. Ляпунова полностью Если материальная точка, притягиваемая неподвижным центром обратно пропорционально квадрату расстояния, описывает круговую траекторию, то движение ее по отношению к радиусу-вектору, проведенному из центра притяжения, а также по отношению к ее скорости устойчиво. То же движение по отношению к прямоугольным координатам точки неустойчиво. [c.70]

В семействе х - х + тх + вблизи значения т = 0. Для т < О имеются три неподвижные точки устойчивая в ж = 0 и две неустойчивые, по одной с каждой стороны от устойчивой точки. При т = 0 они сливаются, и для т > О начало координат является изолированной отталкивающей точкой. Чтобы показать, что эта бифуркация не структурно устойчива, возмутим данное семейство следующим образом х>- х + тх + ез + х . Чтобы найти бифуркационные значения параметра, заметим, что график функции 1/ = = х + тх + ех + х касателен к диагонали у = ж в точности в тех значениях (ж, г), для которых график функции у=ех +х касателен к прямой у——тх. Как следует из рассмотрения графика у = ех + х , это имеет место для двух значений т, и в каждом из них происходит структурно устойчивая бифуркация описанного выше вида. [c.308]

Области стохастичности. Известно, что стохастические траектории занимают конечную область энергетической поверхности в фазовом пространстве, а их последовательные пересечения заполняют конечную площадь поверхности сечения. Пример двух стохастических траекторий приведен на рис. 1.10. В случае д траектория заполняет кольцеобразный стохастический слой, заключенный между двумя инвариантными кривыми, подобными тем, что изображены в случае а. В этой области существуют также и регулярные траектории, но соответствующие им островки устойчивости, окружающие неподвижные точки (см. 3.3), либо обходятся стохастической траекторией, либо их размер слишком мал и их просто не удается разглядеть. В случае е показан стохастический слой вблизи островков случая в, заполненный одной стохастической траекторией. [c.62]

Светлые кружки — устойчивые точки периода 2 треугольник — неустойчивая неподвижная точка с сепаратрисой (сплошная кривая). Цифры показывают последовательность движения по сепаратрисе (ср. рис. 3.10, б). [c.234]

Это — взаимно-однозначное отображение М = точек плоскости а, Ь) на себя. Оно не содержит округления или каких-либо других численных ошибок ). Для т, кратного 4, и /С<4 отображение имеет две неподвижные точки (О, 0) и (— т/4, 0). Первая устойчива при малых И/, вторая неустойчива. Для К = 1,3 и m = = 400 имеются 48 относительно коротких периодических траекторий, заполняющих некоторую кольцевую область вокруг неподвижной устойчивой точки (О, 0). Кроме того, имеются 9 очень длинных траекторий, которые довольно однородно покрывают большую часть фазового квадрата и соответствуют, по-видимому, хаотическому движению. Для /С = 10 имеются только 12 (длинных) траекторий, представляющие хаотическое движение. [c.309]

Ясно также, что х — устойчивая (притягивающая) неподвижная точка. Другая неподвижная точка х = О является неустойчивой (отталкивающей). [c.427]

На рисунке 3 изображена бифуркационная диаграмма для случая Г1 = = Гг = 1 и фазовые портреты приведенной системы соответствующие различным областям на диаграмме (этот случай приводит к дополнительной симметрии). Фазовый портрет при малых значениях интеграла момента (рис. 3 а) определяется одной устойчивой эллиптической неподвижной точкой и одной особенностью в точке I = 0, Ь = 0. Особенности соответствует слияние двух вихрей, а неподвижной точке — вращение вихрей по одной и той же окружности вокруг центра цилиндра, при котором они находятся на одной прямой с центром круга по разные стороны от него. При увеличении интеграла момента радиус этой окружности растет, и при некотором критическом значении данная конфигурация становится неустойчивой (рис. [c.431]

Две другие ветви соответствуют устойчивой (нижняя) и неустойчивой (средняя) неподвижным точкам (рис. 5 б). Обе эти точки соответствуют таким вращениям вихрей, при которых во все время движения они остаются на одной прямой с центром цилиндра по одну сторону от него. Устойчивая точка соответствует вращениям вихрей с меньшими радиусами, чем неустойчивая. Кроме того, средняя и нижняя ветви имеют асимптоты внутри области возможных значений интеграла момента, которые задаются соотношениями [c.436]

Как мы указывали уже в 1, теорема о существовании инвариантных кривых может быть применена к проблеме устойчивости эллиптической неподвижной точки, к которой мы теперь возвращаемся. Рассмотрим сохраняющее площадь отображение окрестности неподвижной точки общего эллиптического типа, которое в подходящих координатах может быть выражено в виде [c.314]

Введем, согласно [76, 77], понятие устойчивой и неустойчивой неподвижных точек. Неподвижная точка М называется устойчивой в малом, если для любой точки М, принадлежащей достаточно малой е-окрестности М, имеет место неравенство [c.107]

Имеет место соответствие не только между периодическими движениями и неподвижными точками преобразования Т, но и соответствие между их устойчивостями. Именно, чтобы периодическое движение было устойчивым по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы была устойчивой соответствующая неподвижная точка преобразования Т. [c.108]

Гхли это уравнение имеет р корней внутри единичного круга и q вне него, то неподвижная точка типа Ор- (р - - q — = rt—I). O " —это устойчивая неподвижная точка, [c.248]

Для неподвижных точек достаточно гладкого в их окрестности точечного отображения справедливы следующие утверждения. В окрестности неустойчивой (устойчивой) узловой неподвижной точки существует заполняющее ее множество несамопересекающихся гладких выходящих [c.359]

Предположим, что материальная точка, притягиваемая неподвижным центром с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния точки от центра, описывает окружность. Ее движение относительно радиуса-вектора, проведенного из центра притяо/сения, а также относительно скорости — устойчиво. То же движение относительно прямоугольных координат — неустойчиво. [c.327]

Рис. 2, Гауссова неподвижная точка ц со значениями параметров rj = u = 0 и собственные векторы е, и е2 оператора Д на плоскости двух параметров (fo, и). Линии тока и стрелк указывают направления движения ростом s а — устойчивая точка (d>4)

В граничном случае й =4 обе неподвижные точки juj и Д сливаются в одну, двукратно вырожденную, причём степенные особенности корреляц. ф-ций сменяются при этом на логарифмические. Физ. смысл смены характера устойчивости точек nj и р при переходе через значение d=4 состоит в том, что при d>4 спиновые флуктуации слабо взаимодействуют друг с другом и крнтич. поведение описывается гауссовым приближением (эквивалентным среднего паля приближению), в к-ром осн. роль играет градиентное слагаемое с сфЬ, соответствующее сильному взаимодействию соседних спиновых блоков. Однако при d<4 влияние этих флуктуаций становится существенным и величиной U, в принципе, нельзя пренебрегать, однако учитывать вклад соответствующего слагаемого в критич. свойства возможно лищь приближённо. [c.624]

Пусть дано кольцо радиуса а. Пусть его меридиональное сечение имеет ось симметрии, параллельную оси симметрии кольца, так что ось симметрии меридионального сечения вместе с перпендикулярной к ней осью, проходящей через центр тяжести меридионального сечения, представляют главные оси поперечного сечення. Так как мы предполагаем, что размеры поперечного сечения в сравнении с диаметром 2а кольца малы, то к рассматриваемому кольцу можно применить формулы теорик изгиба бруса малой кривизны. Пусть нагрузка распределена равномерно вдоль круга радиуса а и направлена к центру этого круга. Пусть 1) все силы нагрузки будут направлены к этой неподвижной течке также и при бесконечно малом отклонении кольца от его круглой формы и пусть 2) на единицу длины окружности приходится нагрузка р кг см, так что центральному углу da соответствует нагрузка р айч. При очень большой нагрузке кольца образуется восьмерка , т. е. плоская форма равновесия переходит в искривленную. Так как в данном случае мы имеем задачу об устойчивости, то мы должны исходить из деформированного состояния кстльца, бесконечно близкого к состоянию равновесия, и выразить, что для этого близкого состояния также получается равновесие. Это дает нам условие, которому должна удовлетворять критическая нагрузка р , при переходе через которую начинается потеря устойчивости плоской формы равновесия. [c.378]

На рис. 7.17 изображен общий вид фазового пространства и секущей 2 при значениях параметра г, несколько меньших 1.3,92. НанЬмним, что остальные параметры а и Ь предполагаются ради определенности фиксированными о = 10, Ь = 8/3. При возрастании г вплоть до значения г = 13,92 вторые точки пересечения Л, и N2 интегральных кривых и 5 с секущей плоскостью 2 приходят на линию разрыва Я. Это соответствует появлению у состояния равповесия О двух петель и 5 , показанных на рис. 7.15. Напомним, что эти петли лежат на интегральной поверхности состояния равновесия О, а точечное отображение на секущей плоскости 2 при этом имеет вид, условно изображенный на рис. 7.18 (условно в том смысле, что на рис. 7.18 представлен отдельный его фрагмент, а не глобальная картина, которая в целом достаточно сложна). На рис. 7.18 по разные стороны от кривой Я определены разные отображения Г, и Т2. Они симметричны. Кривые Р, и Рг они преобразуют в кривую Я, а кривую Я в точки М, и Л/г, которые, в свою очередь, преобразуются в точки ж, и N2 кривой я. Области, лежащие между кривыми Р, и / , Рг и Я, стягиваются соответственно к неподвижным устойчивым точкам О, и Ог. Сказанное означает, что любая внутренняя точка этих областей при последовательных преобразованиях асимптотически приближается соответственно к неподвижной точке либо О,, либо Ог. [c.188]

Ниже приводится более полное описание фазовых портретов и их изменений для М = 0,1 к = 0,05 и О < ц, 1,8. При = () фазовый портрет имеет такой же вид, как на рис. 7.40. Первая существенная бифуркация с ростом параметра л происходит при ц = 0,11. При этом возникает сложная неподвижная точка типа седлоузел, которая с дальнейшим ростом ц, распадается на устойчивую узловую неподвижную точку А и неустойчивую седловую В . Затем с ростом параметра ц в интервале 0,12 < ц < 1,43 устойчивая узловая точка А становится устойчивым фокусом, от- [c.206]

НОГО отображения Либерману и Лихтенбергу [274] удалось получить выражение для критерия устойчивости при больших к. Они показали, что граница устойчивости по скорости и лежит тем выше, чем больше величина к. Поэтому самая нижняя граница устойчивости для неподвижных точек (А = 1) определяет некоторый важный для динамики переход. Соответствующую граничную скорость будем обозначать Us. Ниже этой границы нет устойчивых областей [c.231]

Назовем отображение 3 устойчивым в неподвижной точке а, если для каждой окрестности it С существует такая ее часть С it, для которой все образы S " п = 1, 2,. ..) лежат в И. Неустойчивость определим не просто как логическую противоположность устойчивости, по с помощью более сильного требования, а имеппо следующим образом. Отображение 3 называется неустойчивым в неподвижной точке а, если существует такая окрестпость it С ШЗ, что для каждой точки р 7 а из И по крайней мере один образ р лежит вне it. [c.234]

При ц = О вопрос решается просто, так как задача трех тел при этом переходит в задачу двух тел, а задача об устойчивости точек либрации сводится к исследованию устойчивости движения материальной точки вокруг неподвижного притягивающего центра, а такое движение, как известно, неустойчиво, так как сколь угодно малое возмущение начальных условий приводит к изменению периода кенлеровского движения здесь имеет место лишь орбитальная устойчивость (по этому вопросу см. также работу А. Г. Сокольского [85]). [c.130]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...