Условие для точки бифуркации

Условие для точки бифуркации на линейном ряде можно легко определить аналитически. [c.28]

Условие для точки бифуркации [c.166]

Использование параметра порядка в анализе эволюции открытых систем подразумевает установление функциональных связей между его изменением и изменением факторов внешнего воздействия. Использование параметра порядка позволяет вводить универсальное, или единое, кинетическое описание процесса эволюции открытых систем между соседними точками бифуркации для различных условий и факторов внешнего воздействия. Из этого следует еще один важный принцип. [c.121]

Напряженное состояние материала в средней части фронта трещины всегда остается объемным, что обеспечивает сохранение подобия по напряженному состоянию материала для конкретного элемента конструкции в широком спектре варьируемых условий внешнего воздействия. Последовательность реакций материала на последовательность внешних нагрузок будем в дальнейшем характеризовать величинами (о ),, являющимися последовательностью эквивалентных напряжений каждого цикла внешнего силового нагружения в процессе роста усталостной трещины. Последовательное развитие трещины от начального размера до критической длины а , отвечающей достижению точки бифуркации в связи с началом нестабильного процесса разрушения, когда происходит разрушение твердого тела без подвода энергии извне, характеризует конечное число Пр приращений 8,. Величина Пр представляет собой число циклов нагружения элемента конструкции или образца в процессе распространения усталостной трещины. Это позволяет охарактеризовать длину стабильно развивающейся трещины как [c.202]

Представленная в табличной форме (табл. 5.4), ЕКД характеризует поведение сплавов не только в условиях проведения испытаний, которые являются лабораторными с заданными (тестовыми) условиями опыта. Она является характеристикой свойства материала сопротивляться внешней циклической нагрузке при многообразии условий внешнего воздействия, поскольку реализация одного и того же кинетического процесса между двумя соседними точками бифуркации характеризуется одинаковыми величинами КИН при достижении одинаковых величин скорости роста усталостной трещины. Корректное определение величины эквивалентного КИН для условий многофакторного воздействия приводит к представленной выше в табличной форме ЕКД. Вместе с тем сама ЕКД может быть использована в качестве эталона, к которому могут быть приведены получаемые в испытаниях кинетические кривые. В случае постоянного влияния параметра воздействия [c.253]

Предельное состояние материала с распространяющейся в нем усталостной трещиной первоначально достигается в середине ее фронта, где стеснение пластической деформации максимально. Происходит статическое проскальзывание трещины, а затем оно реализуется уже по всему фронту, в том числе и у поверхности образца или детали. Предельное состояние отвечает началу нестабильности развития разрушения, что отражает переход через точку бифуркации, когда материал имеет высокую неустойчивость по отношению к параметрам цикла нагружения. Небольшие флуктуации в условиях нагружения порождают дискретный переход к быстрому разрушению при разном размере трещины от образца к образцу, что отражает рассеивание предельной величины КИН для этапа стабильного роста трещины. Эго также отражается в колебаниях выявляемой предельной величины шага усталостных бороздок или скорости роста трещины в момент перехода к нестабильности. [c.287]

Условие (18.11)з свидетельствует о том, что при />0 Р > Р т. е. для развития новой формы равновесия требуется увеличение нагрузки (рис. 18.17,6) этим и определяется то, что новая форма закритического равновесия устойчива. Иными словами, в критической точке, совпадающей с точкой бифуркации. [c.304]

Таким образом, в интервале изменения нагрузки —1 < р < 1 система может иметь четыре положения равновесия два вертикальных ф = о, ф = я и два наклонных, характеризуемых условием (18.123) при этом вертикальные положения устойчивы, а наклонные неустойчивы. Вне указанного интервала возможны только два вертикальных положения ф = 0 и ф = я, из них первое устойчиво при р < 1, а второе при р > —1. Пусть нагрузка р увеличивается от нулевого значения. Тогда точка бифуркации Лб (см. рис. 18.61, а) имеет смысл границы устойчивости вертикального положения ф = 0. Исходящие из этой точки три положения равновесия — первоначальное вертикальное и два новых наклонных, а также равновесие, соответствующее самой точке бифуркации, — все неустойчивы. Такой же смысл имеет точка бифуркации С1 для вертикального положения ф = я, если нагрузка р убывает от нуля. [c.397]

Классификация точек бифуркации. Точки бифуркации иногда подразделяют на устойчивые и неустойчивые. Устойчивой называют точку бифуркации, в которой для смежного равновесия выполняется условие [c.416]

Основная идея определения точек бифуркации с помощью однородных линеаризованных уравнений состоит в следующем. Предположим, что одна какая-то форма равновесия системы известна и нужно найти точки бифуркации этой формы равновесия. Для этого достаточно, не интересуясь поведением системы вдали от известной формы равновесия, найти условия существования других форм равновесия, отличных от исходной, но бесконечно к ней близких. Те точки, в окрестностях которых существуют такие формы равновесия, и будут точками бифуркации. [c.21]

Если отклонения упругой системы от исходного положения равновесия могут быть полностью описаны N независимыми параметрами (т. е. если упругая система имеет N степеней свободы), то линеаризация условий равновесия вблизи исходного положения системы приводит к системе N линейных однородных уравнений с N неизвестными. Для существования нетривиальных решений этой системы ее определитель должен быть равен нулю. Указанное условие приводит к уравнению, позволяющему найти точки бифуркации исходного положения равновесия. Если это уравнение не имеет кратных корней, то число точек бифуркации равно числу степеней свободы рассматриваемой системы. [c.24]

Для системы с распределенными параметрами, которую можно трактовать как систему с бесконечным числом степеней свободы, линеаризация условий равновесия вблизи исходного положения равновесия системы приводит к однородным дифференциальным уравнениям. Их решение дает, вообще говоря, бесконечное число точек бифуркации. [c.24]

Исходное состояние равновесия, рассмотренной в предыдущем параграфе стержневой системы (см. рис. 1.15) = О и ф = О известно. Для определения точек бифуркации нужно найти условия существования новых равновесных состояний, смежных с исходным. Для этого можно подсчитать полную потенциальную энергию в состоянии, смежном с исходным. Тогда условие ста- [c.26]

Из условия стационарности ДЭ (или из условия АЭ = О при дополнительном требовании минимума критической нагрузки) можно найти (точно или приближенно) точки бифуркаций прямолинейной исходной формы равновесия стержня. В частности, из условия стационарности следует основное линеаризованное уравнение (3.4) и возможные для этого уравнения граничные условия. Действительно, приравняв нулю первую вариацию изменения ЛОЛ ной потенциальной энергии АЭ, получим (см. приложение 11) [c.92]

В развиваемом подходе внешние факторы учитываются с помощью соотношений, связывающих критические параметры подобных точек бифуркаций. Показана возможность резко повысить информативность результатов испытаний на кратковременное растяжение, усталость и ползучесть с определением степени деградации материала при заданных условиях службы на основе параметрических карт механического состояния сплава. Установленная возможность определения свойств материала в автомодельных условиях в зависимости только от одного параметра — структуры (в данном случае динамической) — явилась основой для разработки принципов управления диссипативными свойствами сплавов. [c.130]

При таком подходе к понятию времени облегчается решение многих эволюционных задач. Мы используем эти представления для решения задачи прогнозирования долговременных характеристик прочности при работе в условиях ползучести. В предыдущем параграфе было показано, Что при циклическом нагружении прогнозирование долговечности материала требует знания параметров точки бифуркации (пороговой скорости движения трещины В и коэффициента интенсивности напряжений А), [c.203]

С позиций синергетики самоорганизация диссипативных структур, как уже отмечалось, связана с достижением точек бифуркаций, переход через которые приводит к самоорганизации структуры, обеспечивающей упорядочение более высокого ранга. Отсюда можно сделать вывод, что оптимизация конструкций промежуточных разливных устройств и режимов разливки стали непосредственно связана с обеспечением условий для формирования потока жидкости при режимах, отвечающих переходу от ламинарного течения к турбулентному. Числовые значения технологических параметров могут быть получены на базе диаграмм трехмерного течения расплава, разработанных в [341]. [c.222]

Основное практическое применение в анализе устойчивости конструкций находит концепция устойчивости механических систем, восходящая к Эйлеру. С состоянием устойчивости системы связывается возможность существования для нее при заданном Р только одной формы равновесия напротив, в состоянии неустойчивости в тех же условиях система характеризуется наличием нескольких, так называемых смежных форм равновесия, соответствующих бесконечно близким значениям функционала П. Иными словами, для состояния неустойчивости нагруженной системы характерно ветвление или бифуркация форм равновесия. Очевидно, что в рамках концепции Эйлера задача анализа всевозможных равновесных состояний системы на устойчивость эквивалентна задаче определения точек бифуркации системы в пространстве параметров, определяющих ее состояния (нагрузки, частоты возбуждающих колебаний и т. п.). [c.108]

Применение подходов теории подобия к анализу разрушения металлов и сплавов с трещиной в условиях плоской деформации и установленная масштабная инвариантность критических параметров, контролирующих точки бифуркаций, позволили сформулировать условия проведения тестовых испытаний, с целью получения в наиболее простых условиях эксперимента необходимых данных для расчета механических свойств, определяющих работоспособность материала с трещиной. Вводится три фундаментальных свойства материала критическая плотность энергии упругой деформации W с, сопротивление пластической деформации ((1т) и трещиностойкость (/ i )- Знание Kw а,, позволяет прогнозировать разрушение материала по механизму нормального отрыва в различных условиях нагружения при известной зависимости предела текучести от температуры и скорости нагружения по данным тестовых испытаний. [c.380]

Чтобы понять физический смысл коллективных мод структурообразования, вернемся снова к анализу системы уравнений (3.59). Если сравнить уравнения (3.49), эквивалентные (3.59), с системой (3.38) для предельного цикла, видно, что последние отличаются от (3.49) отсутствием членов, содержащих коэффициенты диффузии Ох и Оу. Из этого следует, что пространственно-анизотропная система дефектов в деформируемом кристалле может возникнуть лишь с участием процессов диффузии, скорости которых различны в окрестности дефектов разного класса. В отсутствие диффузии после точки бифуркации В > В в системе возникает стационарный периодический во времени процесс (предельный цикл). К этому режиму система приближается при любых начальных условиях. Если координатам X, У в системе (3.38) придать тот же смысл, что и в системе (3.59), получается, что нри некотором критическом количестве элементов структуры без участия диффузии в деформируемом кристалле при небольших отклонениях п от е возникают незатухающие во времени колебания р и п, при этом в конце концов устанавливается предельный цикл (замкнутая траектория в пространстве р, п) с определенной частотой колебаний. Иными словами, и в отсутствие диффузии есть предпосылки для самоорганизации системы дефектов (имеются носители коллективных [c.88]

В малой окрестности точки бифуркации решение определяется собственной функцией оператора Л(до), соответствующей нулевому собственному значению. Для систем вида (4.1), называемым еще системами реакция-диффузия , собственная функция состоит из двух частей пространственной, описывающей неоднородность по пространству и амплитудной, определяющей (правда, не полностью) растяжение пространственной неоднородности. Наибольший интерес представляет пространственная составляющая, полностью определяемая спектральной задачей для оператора Лапласа при соответствующих граничных условиях. Так, в случае одномерного ареала возникающие после бифуркации неоднородные по пространству стационарные решения описываются синусоидой, при круговом ареале — колпачком в центре круга и т.д. Это и есть обычные формы мягких диссипативных структур. [c.178]

Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях и /V,,-Поверхность не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двоякоасимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для ->того требуется пересечение интегральных многообразий Sp и S.,, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности yv происходит слияние состояний равновесия О"" и Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку О"" проходят интегральные многообразия Sp и S, и через точку 0/>+1, -I — интегральные многообразия Sp i и S i. Пересечение многообразий Sq и Sp,.i является общим. В силу того, что на поверхности /V,, состояния равновесия О -" и сливаются, до момента этого слияния поверхности Sg и Sp+i в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазо- [c.264]

Эйлерова точка бифуркации для упругих систем может быть устойчивой (стержни, пластины) и неустойчивой (оболочки, панели) (см. рис. 15.1—15.3). Послебифуркацнонное поведение упругопластической системы в процессе ее нагружения из устойчивых точек бифуркации может обнаружить резервы послебифуркационной устойчивости и прочности при выпучивании. В силу этого различают докритический и послекритический процессы выпучивания. Критическое состояние имеет место в предельных точках точках бифуркации Пуанкаре), в которых имеет место условие dp/d/=0 или [c.322]

Распространение усталостных трещин в тонких пластинах сопровождается переходом к переориентировке всей поверхности излома под углом около 45° к плоскости пластины еще до начала быстрого разрушения. Развитие трещины происходит в условиях перемещения берегов трещины по типу /jm при одноосном растяжении. Такая же ситуация реализуется в случае комбинированного не одноосного нагружения тонкой пластины, т. е. она не зависит от условий внешнего воздействия, а присуща поведению материала в некотором диапазоне толщины испытываемой пластины. Происходит самоорганизо-ванный переход через точку бифуркации, когда материал стремится понизить затраты энергии на реализуемый процесс разрушения и использует для этого большую работу пластической деформации, которая имеет место при продольном сдвиге. Доказательством сказанного являются результаты известных экспериментов, например [77-79]. На участке перехода от преимущественно плоского к переориентированному под углом около 45° излому отмечается небольшое снижение темпа роста трещины. Ее величина может даже оставаться постоянной. Это отмечается в алюминиевых, никелевых и титановых сплавах, что свидетельствует о едином поведении системы в виде пластины с развивающейся в ней усталостной трещиной. С увеличением длины трещины снижается степень стеснения пластической деформации вдоль фронта трещины, до.яя плоской поверхности излома по сечению уменьшается, что позволяет реализовать большую работу пластической деформации перед продвижением трещины. [c.109]

Применительно к предельному состоянию в точке бифуркации можно записать аналогичное соотнощение для используемого параметра Uq с целью анализа предельного состояния в тестовых условиях опыта и в протгзвольных условиях нагрл -жения [c.125]

Первое уравнение синергетики выполняется в интервале (К 2 в интервале - К23) реализуется второе уравнение синергетики. Это позволяет рассматривать каскад процессов роста трещины при изменении механизма роста треши-ны с помошью последовательности кинетических уравнений (4.47) с учетом граничных условий, определяемых физикой процесса роста трещин. Именно поэтому представило интерес рассмотреть имеющиеся экспериментальные данные по определению показателей степени в уравнении Париса, в которых предпринимались попытки выделения особых точек на кинетических кривых при исследовании сплавов на различной основе (табл. 4.3). В отобранных для анализа работах не ставилась задача построения единой кинетической кривой в виде последовательности дискретных переходов в связи со сменой механизмов разрушения. Поэтому критические точки СРТ или шага усталостных бороздок не были строго поставлены в соответствии со сменой механизма роста трещины. Вместе с тем проведенное обобщение свидетельствует о том, что последовательность в переходах через точки бифуркации в процессе роста усталостных трещин является устойчивой и в полной мере соответствует последовательности показателей степени тр. 4 2 4 — для последовательности развития трещин на микроуровне, мезо I и мезо П соответственно. [c.220]

Итак, соотношение (5.60) позволяет построить единую кинетическую кривую (ЕКД) для сквозных и несквозных усталостных трещин в качестве последовательности переходов через точки бифуркации. Ее построение проведено для сплавов ВТ6, Д16Т и ЗОХГСА как наиболее типичных сплавов на основе титана, алюминия и железа, используемых в гражданской авиации. Первоначально были использованы экспериментальные данные для величины Kj , представленные в [127]. Определение точек бифуркации применительно ко второй стадии роста трещин выполнено расчетным путем по следующим граничным условиям [c.252]

Пусть консервативная система (с конечным числом степеней свободы или континуальная) находится под действием нагрузки, меняющейся пропорционально одному параметру р. При любых значениях р возможно равновесие, которое получим на основе линейных уравнений и перемещениями которого будем пренебрегать. Наименьшую нагрузку, при которой наряду с указанным первоначальным равновесием становится возможным новое, смежное с ним, обозначим через р, а параметр, характеризующий смежное равновесное положение, — через f. Принимая, что в малой окрестности точки бифуркации форма равновесия меняется мало, представим полную энергию системы в виде функции П = П(/, р). Исключим из рассмотрения случай односторонних связей (см. рис. 18.73) и будем считать функцию П(/, р) непрерывной вместе со своими производными любого порядка. Для каждого уровня нагружения энергию П условимся отсчитывать от положения равновесия / = О, так что П(0,р) = 0. [c.413]

Итак, с помощью метода Рэлея—Ритца задача определения точек бифуркации прямолинейной формы равновесия стержня сведена к задаче на собственные значения для матриц (см. приложение I). Условие существования отличных от тождественного нуля решений системы (2.71) приводит к уравнению, из которого могут быть найдены собственные значения Р [c.66]

Для анализа устойчивости 1фисталлической решетки и характеристик прочности межатомной связи металлических кристаллов рассмотрим подходы к оценке максимальной (идеальной) прочности с использованием термодинамических и упругих констант кристаллов. С позиции принципов синергетики критические параметры, контролирующие устойчивость системы вблизи точек бифуркаций, инвариантны к виду подводимой энергии. В связи с этим за энергетический критерий устойчивости кристаллической решетки можно принять энергию, необходимую для нагрева кристалла до температуры плавления и его плавления [266]. Она определяется работой, которую надо произвести над кристаллической решеткой при заданных температуре и давлении, чтобы перевести ее в состояние, подобное состоянию металла при температуре плавления. Эта аналогия вытекает из инвариантности энергии, контролирующей бифуркационную неустойчивость систем, к условиям подвода энергии. [c.147]

На рис. 123 представлено сопоставление расчетных и экспериментальных значений, отвечающих различным условиям нагружения. Наличие указанчой последовательности в изменении фрактальной размерности диссипативных структур отражает масштаб зоны процесса, непосредственно связанного с механизмом диссипации энергии. В этом смысле разрушение при ударном нагружении подобно усталостному, если реализуется один и тот же механизм диссипации энергии, контролирующий размер зоны процесса. Другой вывод, вытекающий из анализа иерархической последовательности бифуркаций, отраженный в диаграмме рис. 123, — неизбежность "разброса" экспериментальных данных по тре-щиностойкости материалов, определяемых в соответствии с рекомендациями линейной механики разрушения. (Слово "разброс" взято в кавычки, так как это естественное поведение трещины в точке бифуркации. В этой точке нельзя заранее предсказать, по какому пути пойдет система при переходе в новое состояние.) Понижение температуры и повышение скорости деформации приводит к сужению области абсолютных пороговых значений Ki , отвечающих предыдущему и последующему неустойчивым состояниям. Таким образом, испытания при пониженных температурах и высоких скоростях деформации для определения К 1с приближаются к испытаниям в подобных по микромеханизму разрушения условиях. Остается вопрос, как перейти от значений Ki при низкой температуре к значениям Ki при более высокой температуре или более высоких скоростях деформации. Установленное постоянство произведения Т = ЙГ <Ут позволяет выполнить такие пересчеты, если известны температурная и скоростная зависимости а,. [c.202]

Это условие является вариационной формулировкой статического критерия устойчивости, так как из него непосредственно следуют дифференциальные уравнения статического критерия. Таким образом, для исследования устойчивости можно использовать или условие (0.1), или условие (0.3). Эти условия свидетельствуют о том, что приращение энергии в точке бифуркации становится положительно полуопределенной функцией — функцией, принимающей или положительные, или нулевые значения. Можно также использовать условие минимума второй вариации [c.54]

Итак, границу устойчивых состояний определяет точка бифуркации состояния (БО), отвечающая условию неединственности решения для внутренних параметров. Границу устойчивости процесса определяет равноактивная бифуркация процесса (Б 1), отвечающая первому в истории деформирования моменту неединственности первых приращений внутренних параметров. Теперь напрашивается мысль, что физическое значение для некоторых конструкций может иметь ситуация, отвечающая моменту неединственности вторых приращений внутренних параметров при единственности самих параметров и их первых приращений — бифуркация второго порядка (Б2) и т. д. [c.22]

Итак, установлена замкнутая система линейных однородных уравнений устойчивости слоистых композитных оболочек. Записанная в вариациях обобщенных перемещений система состоит из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными j S относительно пяти искомых функций и , и . И", TTj. Ее порядок от числа слоев оболочки не зависит и равен 12, что соответствует количеству задаваемых для нее краевых условий (3.3.6). Зависимость коффициентов этих уравнений от параметра внешних нагрузок проявляется через характеристики основного состояния (перемещения, деформации, усилия) и в общем случае нелинейна. Задача заключается в определении таких значений этого параметра, при которых линейная однородная система уравнений устойчивости, подчиненная надлежащим однородным краевым условиям, допускает нетривиальное решение. Этими значениями параметра нагрузок определяются критические точки, которые, согласно существующей классификации [45, 51 ], могут быть двух типов — точки бифуркации и предельные точки. При переходе через точку бифуркации может теряться устойчивость по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной равновесой формы к другой [45, 51 ]. [c.61]

Рассмотрены константы и критерии подобия локального разрушения и освещены закономерности дискретного роста усталостных трещин в условиях автомодельности, микромеханизмы разрушения и диссипативные структуры. Изложена техника и даны примеры количественной фракто-графии при анализе усталостных изломов с использованием представлений о фракталях, эквивалентном напряжении и пороговых значениях размаха коэффициента интенсивности напряжений, соответствующих точкам бифуркаций при смене определяющего микромеханизма разрушения. Приведены единые для сплавов на одной и той же основе (стали, алюминиевые и титановые сплавы) фрактографические карты, связывающие макро- и микропараметры разрушения. [c.2]

Анализ критических точек (точек бифуркаций), отвечающих при движении трещины смене микромеханизма разрушения в условиях подобия локального разрушения, с использованием концепции критической плотности энергии деформации позволил выявить однозначную связь между параметрами, контролирующими локальное и глобальное разрушения. Найденные соотношения и разработанная методология количественной фрактографии с учетом дискретности и автомодельности разрушения при возникновении локальной нестабильности позволяют с помощью микрофрактографических исследований решать важные инй енерные задачи, связанные с оценкой по микрофракто-графическим параметрам скорости и длительности роста усталостной трещины по механизму нормального отрыва, определением эквивалентных напряжений, склонности материала к хрупкому разрушению в точках бифуркаций, соответствующих смене микромеханизма разрушения, с установлением пороговой энергии на единицу длины трещины в этих точках. Это позволило разработать единые для сплавов на данной основе фрактографические карты, объединяющие мйкро- и макропараметры разрушения. [c.6]

Если рассматривать зависимость сопротивления материала разрушению от условий нагружения с позиций синергетики, то можно заключить, что эта зависимость присуща процессу разрушения. Суть ее заключается в проявлении при разрушении различных свойств в точках бифуркации, отвечающих смене типа диссипативных структур, при неравновесных фазовых переходах. Следствием этого является различие в рельефе поверхности. Топография поверхности разрушения непосредственно связана с энер1 ией, необходимой для движения трещины, зависящей в свою очередь от типа диссипативной структуры, формирующейся на стадии предразрушения. Критерии трещиностойкости ли- [c.111]

Бифуркация. Как правило, функции fn xi, Х2) в правой части уравнений (19.1) содержат параметры, описывающие влияние внешних условий на систему. Пусть нам известно решение (19.1) при определенном значении параметра . Найдем такое значение ео, что при малом отклонении от него (е = о + Ае) новедение системы качественно меняется. Если такое значение существует, говорят, что система (19.1) имеет точку бифуркации при е = sq, а изменение фазового портрета называют бифуркацией. В качестве простого примера найдем точку бифуркации линейной системы (19.7), полагая кц = е, ki2 = 21 = О, 22 = —с < 0. Поскольку Sp к = — с, det к = —ес, то при е < О особая точка — устойчивый узел, а для любого > О — седло. Система претерпевает бифуркацию при = 0. [c.172]

Сохранение структуры разбиения плоскости параметров в этих точках требует более жестких условий для класса характеристик, не изменяющих структуру разбиения плоскости параметров. Такой точкой, например, для рассматриваемой плоскости параметров о, V при характеристиках рис. 243, а, б будет точка А, в которой смыкаются пять областей. Пеизменность качественной структуры разбиения плоскости параметров системы (9) при характеристиках рис. 243, а, б обуславливается тем, что величина Рц, + Qy с точностью до величин порядка для фокуса и для седла имеет одинаковое значение при обеих аппроксимациях, и при изменении знака а не только появляется цикл из особой точки, но и происходит изменение характера бифуркаций для петли сепаратрисы. Это условие не будет соблюдено, еслп перейти к релейным характеристикам. [c.455]

I) При условии, что линейный ряд расположен в направлении, указанном стрелкой, вогнутости постепенно меняют свою форму, и появляется уже выпуклость . Соответственно в критической точке С другой линейный ряд ВС В пересекает первоначальный линейный ряд А1СА2. Точка пересечения называется точкой бифуркации , и соответствующая ей равновесная конфигурация — фигурой бифуркации . Если поначалу ряд АхС был устойчивым, то изменение выпуклости на вогнутость означает, что за точкой С продолжение ряда СА2 должно быть неустойчивым, т. е. в точке С исходный ряд теряет свою устойчивость. С другой стороны, в описанном нами случае у нового ряда ВСЕ выпуклости такие же, как и у А С, следовательно, конфигурации этого ряда будут устойчивыми. Здесь произошла передача устойчивости членам нового ряда. Для каждого значения 1, соответствующего фрагмен- [c.24]

Важно подчеркнуть чтобы эти результаты оставались справедливыми, число координат, необходимых для описания данной системы, должно оставаться неизменным. Непрерывные системы, такие, например, как жидкие массы, для своего полного описания требуют бесконечного количества координат, но если ограничить эту массу какой-либо формой, то число необходимых координат станет конечным. Так, если рассматривать только эллипсоидальные формы, будет достаточно двух координат если а, 6, с обозначают полуоси, то они должны удовлетворять условию ab = onst. Если рассматривать только сфероидальные формы, ю а = Ь, т. е. будет вполне достаточно одной координаты. Если изобразить для ряда Маклорена график, подобный вышеописанному, то точка бифуркации не возникает, т. к. в данных пределах отсутствуют другие ряды фигур равновесия . С другой стороны, если изобразить график для эллипсоидального ряда, то точка бифуркации окажется в точке его пересечения с рядом Маклорена. [c.27]

Перемежаемость. Предположим, что выполнены условия предыдущего следствия, либо условия теоремы п. 4.5, т. е. у векторного поля существует странный аттрактор для е>0. Рассмотрим произвольную непрерывную функцию ф(х) на фазовом пространстве. Пусть x=x t)—траектория, принадлежащая странному аттрактору. Тогда график функции ij3(A (f)) в общем случае имеет следующий вид длинный цуг близких к периодическим осцилляций — на этом интервале времени изображающая точка находится в малой окрестности исчезнувшего цикла — затем турбулентный всплеск, затем снова интервал периодичности и т. д. Такой режим был назван в [170] перемежаемостью. Перемежаемость свидетельствует о бифуркации возникновения странного аттрактора при исчезновении полуус-тойчивого цикла и часто встречается в моделях реальных "про-цесов (см., например [63], [171]). [c.122]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...