Петля сепаратрисы

Перейдем к дальнейшему исследованию точечного отображения Гзя- При fx = О в окрестности петли сепаратрис Sr = Si оно было изучено. При этом изучение свелось к рассмотрению преобразования прямой в прямую. [c.373]

Если седловая величина (сумма собственных значений линеаризации векторного поля в седле) отрицательна, то рождающийся из петли сепаратрисы цикл устойчив, если положительна, то неустойчив. [c.98]

Векторные поля с петлей сепаратрисы седла, имеющего нулевую седловую величину, встречаются в типичных семействах с не менее чем двумя параметрами. Бифуркации таких полей в типичных двупараметрических семействах описаны в п. 2.6. Бифуркации петли сепаратрисы в типичных многопараметрических семействах исследованы в работе [79]. [c.98]

Теорема 1 ([92]). В типичном двупараметрическом семействе векторных полей класса С , г З, встречаются только такие поля с петлей сепаратрисы седла, имеющего нулевую седловую величину, бифуркации которых в этом семействе изображены на рис. 39. [c.108]

Лукьянов В. И.. О бифуркациях динамических систем с петлей сепаратрисы седло-узла . Дифференц. уравнения, 1982, 18. вып. 9, 1493—1506 [c.213]

Итак, сепаратриса разделяет фазовую плоскость (р, р) на три части, причем внутри петли сепаратрисы, область III, траектории описывают конечные цепочки с одним либо двумя свободными, ненагруженными ламеллами, р = 1. В области I содержатся решения, описывающие сжатые цепочки с несмещенной конечной ламеллой, pN-i = О, рдг > 1> а. в области II лежат решения, пригодные для трактовки случаев растяжения цепочки при зажатой конечной ламелле, рм- — О, Рм < 1- [c.90]

Ситуация 9. Восьмерка. Восьмеркой назван фазовый портрет точечного отображения плоскости в плоскость с неподвижной седловой точкой О и двумя петлями сепаратрис 5" = (рис. 6.34). При малейшем возмущении точечного отображения восьмерка разрушается и мо- [c.153]

НИИ конечной амплитуды величину А удобно переопределить как ( тах— С/тш)/2. Характер изменения решения с увеличением А можно проследить, обратившись к рис. 14. Осесимметричное решение отвечает у = 2, у = 0. При Ке = = Ке из точки у = 2 рождается цикл, т. е. замкнутая кривая на рис. 14, причем решению с данной величиной т соответствуют т обходов замкнутой кривой по часовой стрелке. С ростом А размер цикла возрастает и при цикл влипает в петлю сепаратрисы. [c.74]

Условия на сепаратрисы седел и седло-узлов в системе первой степени негрубости. Пусть теперь у системы (А) существует сепаратриса, идущая из седла в седло. Рассмотрим, в частности, тот случай, когда сепаратриса Ьо идет из седла О в то же седло. Тогда Ьо вместе с седлом О образует простую замкнутую кривую Со- Мы будем говорить в этом случае, что сепаратриса образует петлю или что мы имеем петлю сепаратрисы. Если при этом сепаратрисы седла О, отличные от Ьо, лежат внутри петли (внутри Со), то мы будем говорить, что Ьо образует большую петлю. Укажем следующие основные свойства петли сепаратрисы. [c.158]

Петля сепаратрисы, у которой в седле 0 хо, г/о) (см. [8]) [c.162]

При одном характере поведения сепаратрис о и Ь обе сепаратрисы о и уходят из окрестности бывшей петли сепаратрисы Ьо, так же как и все отличные от седла траектории, проходящие через близкие к Ь п о точки (рис. 101,6). [c.167]

Как мы видели, при рассмотрении систем первой степени негрубости для таких систем запрещаются а) случай, когда существует двукратный предельный цикл, на который извне и изнутри накручиваются сепаратрисы, и б) случай, когда на петлю сепаратрисы накручивается хотя бы одна сепаратриса. Оба эти случая невозможны в системах первой степени негрубости в силу данного определения таких систем, так что при наличии таких образований система рассматривается как система более высокой степени негрубости. [c.183]

Между тем динамические системы, для которых осуществляется случай а) пли б), в общем пространстве динамических систем заполняют пленки, т. е. имеют коразмерность 1. Действительно, в случае а) эта пленка выделяется условием наличия двукратного цикла, а в случае б) —условием наличия петли сепаратрисы. Однако эти пленки существенно отличаются от пленок, соответствующих системам первой степени негрубости в любой пх окрестности существуют другие негрубые пленки как в случае а), так и в случае б)—это пленки, соответствующие сепаратрисе, идущей пз одного седла в другое седло. Можно показать, что в указанных случаях а) и б) пленка является недостижимой границей области, заполненной грубыми системами, т. е. не существует простой дуги, соединяющей сколь угодно близкую точку грубой области с указанной пленкой, не пересекающей других пленок. [c.183]

В случае 4) предположим, что изображающая точка при значениях Я < Яо двигается по устойчивому предельному циклу, который при X == Яо влипает в сепаратрису. Очевидно, по мере образования петли сепаратрисы период предельного цикла, влипающего в эту петлю, неограниченно увеличивается. Когда после образования петли петля разрушается без образования предельного цикла, что всегда имеет место при общем вхождении параметра, изображающая точка стремится к тому устойчивому [c.234]

Иногда удается доказать наличие петли сепаратрисы и, используя седловую величину, доказать рождение при ее разделении предельного цикла, устойчивого или неустойчивого (в зависимости от знака седловой величины). При использовании методов теории бифуркаций наибольшие трудности возникают при доказательстве отсутствия или наличия предельных циклов, появляющихся при разделении двукратного предельного цикла, возникающего из уплотнения траекторий. [c.243]

Наконец, последний тип бифуркации проиллюстрирован на рис. 3.5, где показан случай рождения устойчивого предельного цикла из петли сепаратрисы седла. Пусть сепаратрисы седла при некотором значении X имеют расположение, представленное на рис. 3.5, а. Предположим, что при увеличении параметра X ветви сепаратрисы сближаются и при некотором значении Х == Яц сливаются, образуя петлю (рис. 3.5, б). Если при дальнейшем увеличе-1И1И X сепаратрисы седла вновь разделяются так, как показано на рис. 3.5, б, то из петли рождается предельный цикл. Значение А. = в этом случае является бифуркационным. [c.52]

Точки накопления бифуркационных значений параметра являются их односторонними пределами и могут быть лишь следующих двух типов а) в бифуркационный момент, соответствующий точке накопления бифуракционных значений параметра, векторное поле имеет петлю сепаратрисы седла, являющуюся предельной для устойчивой или неустойчивой сепаратрисы другого седла (рис. 35) б) поле имеет цикл с мультипликатором -[-1. предельный для устойчивой и неустойчивой сепаратрис двух разных седел (рис. 32). К этим точкам накапливаются бифуркационные значения, отвечающие векторным полям, имеющим седловые связки. [c.99]

Рис. 35. Бифуркация петли сепаратрисы, предельной для еёПаратриСЫ дрУ гого седла. При е<0 показан момент возникновения седловой связки

Теорема ([6], [8], [9], [15], [16]). Пусть замкнутая поверхность М либо ориентируема, либо неориентируема и рода 3. Тогда гладкая динамическая система на М, обладающая следующими свойствами 1) квазиобщая 2) не имеющая сепг-ратрис седел, содержащих в множестве своих предельных точек петли сепаратрис других седел (или того же самого седла) [c.103]

Рис. 39. Бифуркационная диаграмма и перестройки фазовых портретов для типичной двупараметрической деформации векторного поля с петлей сепаратрисы. Бифуркационная кривая, отвечающая полуустойчивому циклу, имеет бесконечный порядок касания с осью ei в нуле

Бифуркации могут быть не связаны с изменением характера особых точек. Например, бифуркациями являются рождение предельного цикла КЗ петли сепаратрисы (т. с. сепаратрисы выходящей и входящей в одно и то же седло) или распад цолуустойчивого Предельного цикла на устойчивый и неустойчивый. [c.40]

Бифуркации рождения периодич. движения. В табл. 1 приведены основные Б. рождения (если фазовые портреты просматривать слова направо) или исчезновения (если справа налево) периодич. движений. Они разбиты на 3 группы. Если говорить об исчезновении периодич. движений, то к 1-й группе (первые 2 строки) относятся такие Б., при к-рых период периодич. движения Т- ж (или частота оу- О) при ц, - 0, а амплитуда колебаний около ср. значения к нулю не стремится. В автоколебат. системах примером такой Б. является возникновение модуляции при действии периодич. силы на автогенератор. Предельный цикл — образ модулир. колебаний — при этом рождается из петли сепаратрисы седло — узел при слиянии и исчезновении двух состояний равновесия седла и узла (табл. 1, строка 1). Знание подобной Б. позволяет оиределить свойства нового режима, возникшего после перехода через критич. точку,— возникшая модуляция будет характеризоваться конечной амплитудой и близкой к нулю частотой модуляции. [c.211]

Re I.J отрицательны для р и положительны для q корней, причём p + q — n. Если р п (р = 0), точка <У наз. устойчивым (неустойчивым) узлом траектория с началом в мало11 окрестности точки О попадает в О при t—>.-(-03 t—со). Если p O q, точка О на.ч. седлом. Через неё про. одят две поверхности / -мерная Wl и -мерная W o, наз. устойчивой и неустойчивой сепаратрисами точки О они образованы траекториями, стремящимися к О при t— - 00 и t— —оо соответственно. Остальные траектории уходят из окрестности седла при I -—оо (рис. 1). Траектория, лежащая одновременно в Wl и W o (и не совпадающая с О), наз. двоякоасимптотической к О или петлей сепаратрисы седла. При стационарном движении ей отвечает бегущая локализов. волна, в данном случае спадающая при t — 00 (таковы нек-рые соли тоны). [c.626]

Критерий Шильникова сформулируем лишь для систем с трёхмерным фазовым пространством. Пусть система xi = Xi x , х , Жд), i —1, 2, 3, имеет состояние равновесия О ж = а , характеристич. ур-ние для к-рого имеет положит, корень Яз>0 и два ко.мплекс-но сопряжённых — Re i,2=a<0 и 7,з+а>0. Пусть также одна из траекторий одномерной неустойчивой сепаратрисы точки О лежит на двумерной устойчивой, образуя петлю сепаратрисы Г. При этом как для данной системы, так и для всех близких к ней в окрестности Г существует сложная структура траек- [c.627]

В плоском случае, то есть если в уравнении (2.7) устремить радиус капилляра к бесконечности, мы придем к фазовому портрету типа, изображенного на рис. 2.2 в, с той лищь разницей, что особая линия h = R переносится в бесконечность. При этом петля сепаратрисы, замыкающаяся в бесконечно-удаленной точке, описывает мениск в щели (Philip, 1977 Неймарк и Хейфец, 1981). Для плоского случая периодических решений не существует, однако одиночные капли и линзы, описываемые траекториями внутри сепаратрисы как слева от особой точки, так и справа от нее, соответственно, сосуществуют в неравновесных условиях, описанных выше. [c.45]

Тип а характеризует область колебательных движений (например, при жесткой восстанавливающей силе). В случае в имеется пара сдвоенных сепаратрис соответствующие двоякоасимптотические решения Пуанкаре назвал гетероклини-ческими (такой фазовый портрет имеет, например, система Дуффинга при мягкой восстанавливающей силе). Петля сепаратрисы в случае б является траекторией гомоклинических решений (по Пуанкаре). Фазовый портрет такого типа получится при добавлении квадратичного по х слагаемого в выражение для восстанавливающей силы. [c.235]

Расщепление сепаратрис и периодические решения. Предположим, что фазовый портрет певозмущеппой системы содержит петлю сепаратрис или пару сдвоенных сепаратрис. Оказывается, при малых значениях е ф д эти сепаратрисы, как правило, расщепляются (перестают быть сдвоенными), и это явление, обнаруженное Пуанкаре, приводит к появлению областей с квазислучайным поведением траекторий (см. [9, 10, 16]). Как показано в [17], расщепление сепаратрис тесно связано с рождением бесконечного числа пар различных долгопериодических решений, одно из которых эллиптическое, а другое — гиперболическое. [c.242]

Важно отметить, что предположение о наличии петли сепаратрисы является существенным. В гетероклиническом случае (например, в системе Дуффинга с мягкой восстанавливающей силой) теорема Пуанкаре может давать лишь периодические решения с частотой (3.4), где п пробегает нечетные числа. [c.245]

Таким образом, точка z = О—неустойчивое равновесие невозмущенной системы, а кривая о — ее гомоклинная траектория (петля сепаратрисы). [c.294]

Следует, однако, подчеркнуть, что здесь мы говорили о невозможности установления указанных топологических структур непосредственным приближенным построением траекторий. Это, однако, ни в какой мерс не означает, что не существует косвенных методов, также связанных с вычислениями, при помощп которых можно установить наличие двойного цикла, петли сепаратрисы и т. д. [c.255]

В некоторых случаях (например, при рассмотрении функции последования в окрестности петли сепаратрисы) функцию последования удобнее строить как составленную из двух (или более) функций соответствия. Функция последования [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...