Бифуркации сепаратрис

О бифуркациях сепаратрис в задаче о потере устойчивости автоколебаний вблизи резонанса 1 4. Прикл. мат. и мех. 1980, 44, вып. 5, 938—943 [c.211]

IV. Бифуркации сепаратрисы, идущей из седла в седло. Возможны два случая. [c.167]

V. Бифуркации сепаратрис седло-узла. Рождение предельного цикла из сепаратрисы седло-узла. Пусть у системы (А), являющейся системой первой степени негрубости, негрубой особой траекторией является седло-узел 0(хо, уо). Тогда в силу условий Г (см. гл. 9) ни одна из сепаратрис седло-узла не может идти в седло или являться и со- и а-сепаратрисой седло-узла. [c.169]

В точках пересечения рассматриваемой полупрямой (16) с прямыми 1 = 0 и 2 = 0 происходят бифуркации состояний равновесия при уменьшении X сначала из фокуса х (рис. 160,10) и затем из фокуса Х2 рождаются неустойчивые предельные циклы (фокусы становятся устойчивыми) и возникает структура с тремя предельными циклами (рис. 160,9). Так как при Х = 0 предельных циклов нет (г/ = о — интегральная прямая, качественная структура эквивалентна структуре рис. 160,7), то рассуждениями, аналогичными проведенным в п. 3.4, находим, что при убывании X до нуля должны осуществиться следующие бифуркации сепаратрис возникновение петли сепаратрисы вокруг верхнего фокуса, вокруг нижнего фокуса, возникновение большой петли, содержащей внутри два состояния равновесия. Так как седловая величина положительна (Р + ( у = — ф xq) — 1 = a—1,гдеЯ — координата [c.301]

Слияние особых точек — простейшая бифуркация системы (1). Другие возможные бифуркации связаны со сменой устойчивости состояния равновесия О3, с бифуркациями сепаратрис (сепаратрисы, идущие из седла в седло) и появлением предельных циклов из бесконечности, из петли сепаратрисы, из сгущения траекторий и из сепаратрисы особой точки седло-узел. Все эти бифуркации могут быть прослежены для системы (1). [c.314]

Дальнейшие бифуркации при возрастании х будут бифуркациями сепаратрис. Проследим эти бифуркации. [c.317]

Вг) бифуркации сепаратрис седлообразных точек покоя (сшитых или несшитых), идущих из седлообразной точки покоя в такую же точку покоя или седло (сшитое или несшитое) [c.368]

На рис. 7. ПО изображены последовательные стадии перехода через общие бифуркации от обычного синхронизма к стохастическому. При переходе от рис. а к б происходит смена узла на фокус. Затем (рис. 7. ПО, в) фокус меняет устойчивость, и от него рождается устойчивый предельный цикл. Одновременно происходит сближение сепаратрис седла 5Г и 5i и соответственно 52 и So. После этого (рис. 7. ПО, г) сепаратрисы пересекаются, причем вместе с пересечением сепаратрис 5а и 52 происходит исчезновение устойчивого предельного цикла. [c.364]

Простейший пример нелокальной бифуркации на двумерной поверхности — появление седловой связки , когда выходящая сепаратриса одного седла пересекается при изменении параметра в некоторый момент с входящей сепаратрисой другого (и, следовательно, сливается с ней при этом значении параметра). При прохождении бифуркационного значения параметра сепаратрисы обеих седел меняются местами . Эта бифуркация встречается неустранимым образом в однопараметрических семействах векторных полей, т. е. является типичной. [c.97]

Векторные поля с петлей сепаратрисы седла, имеющего нулевую седловую величину, встречаются в типичных семействах с не менее чем двумя параметрами. Бифуркации таких полей в типичных двупараметрических семействах описаны в п. 2.6. Бифуркации петли сепаратрисы в типичных многопараметрических семействах исследованы в работе [79]. [c.98]

Теорема 1 ([92]). В типичном двупараметрическом семействе векторных полей класса С , г З, встречаются только такие поля с петлей сепаратрисы седла, имеющего нулевую седловую величину, бифуркации которых в этом семействе изображены на рис. 39. [c.108]

Лукьянов В. И.. О бифуркациях динамических систем с петлей сепаратрисы седло-узла . Дифференц. уравнения, 1982, 18. вып. 9, 1493—1506 [c.213]

Рассматривая изменение качественного характера траекторий в некоторой достаточно малой окрестности какой-либо негрубой особой траектории (т. е. в окрестности особой точки, в окрестности замкнутой траектории, в окрестности сепаратрисы или некоторого контура, составленного из сепаратрис), мы будем говорить что рассматривается бифуркация негрубой особой траектории (или контура, составленного из особых траекторий) того или другого тина. [c.163]

Рассмотрим бифуркации, осуществляющиеся при движении по полупрямым (16), касающимся дискримпнантной кривой на интервале Xi < A < A2. Здесь возникнут как бифуркации состояний равновесия, так и бифуркации сепаратрис и предельных циклов. [c.301]

Слияние и исчезновение особых точек — простейшая бифуркация, возможная в системе (1). Другие возможные бифуркации связаны со сменой устойчивости состояния равновесия Oi, с бифуркациями сепаратрис, идущих из седла в седло (при этом появляются илн исчезают предельные циклы) и появлением предельных циклов из сгущения траекторий, из сепаратрисы особой точкп седло-узел и из бесконечности. Все эти бифуркации могут быть прослежены для системы (1). Знание всех бифуркаций позволяет дать разбиение пространства параметров у > О, Я > О, d на области с различной структурой разбиения фазового пространства на траектории. [c.346]

При х я(Я — 1)+1 одна из со-сепаратрис седла 0 уходит в бесконечность. Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 169, 8. Между линиями Я = х и р, = я(Я—1)+1 при возрастании х осуш ествляются две бифуркации сепаратрис при некотором х = х (Яо) возникает сепаратриса, идуш ая из седла Оц в седло 0, и при [х = х (Яо)> х Ч о) возникает петля сепаратрисы вокруг цилиндра. [c.436]

Наконец, последний тип бифуркации проиллюстрирован на рис. 3.5, где показан случай рождения устойчивого предельного цикла из петли сепаратрисы седла. Пусть сепаратрисы седла при некотором значении X имеют расположение, представленное на рис. 3.5, а. Предположим, что при увеличении параметра X ветви сепаратрисы сближаются и при некотором значении Х == Яц сливаются, образуя петлю (рис. 3.5, б). Если при дальнейшем увеличе-1И1И X сепаратрисы седла вновь разделяются так, как показано на рис. 3.5, б, то из петли рождается предельный цикл. Значение А. = в этом случае является бифуркационным. [c.52]

Пусть со не меняется и не происходит бифуркаций слияния неподвижных точек. Тогда возможные изменения будут состоять только в изменениях неподвижных точек и расположениях сепаратрисных кривых. При этом седло-вые точки должны оставаться седловыми. А узлы могут переходить в фокусы и обратно. Фокус может сменить устойчивость, и при этом от него отделится либо обычный, либо стохастический синхронизм. При смене взаимного расположения сепаратрис может произойти возникновение стохастического синхронизма. Эта бифуркация в суженном виде будет в дальнеЙ1ием рассмотрена отдельно. Сейчас же ограничимся ее изображением на рис. 7. ПО. [c.364]

Бифуркация от сепаратрисы седла. Перейдем к рассмотрению малого неавтономного возмущения автономной системы с сепаратрисой, идущей из седла в него же. Предварительно опишем бифуркацию, возникающую при малом автономном возмущении, изученную в работах А. А. Андронова и Е. А. Леонтович [5]. [c.369]

Пример. Изображенная на рис. 32 система имеет npw е = бо полуустойчивый предельный цикл, на который наматывается неустойчивая сепаратриса седла и с которого сматывается устойчивая сепаратриса другого седла. После исчезновения цикла, скажем, при е>8о, сепаратрисы этих седел замыкаются, когда параметр е пробегает последовательность значений ei>6o, Ei- eo. Локальная бифуркация здесь — слияние устойчивого и неустойчивого циклов в полуустойчивый при е=Ео и его исчезновение при е>ео. Она сопровождается счетным множеством полулокальных бифуркаций — замыкания сепаратрис при e=Ei. [c.88]

Рис. 35. Бифуркация петли сепаратрисы, предельной для еёПаратриСЫ дрУ гого седла. При е<0 показан момент возникновения седловой связки

Следствие. Бифуркации систем первой степени негрубо сти на указанных в теореме поверхностях полулокальны (Всегда можно указать конечное множество траекторий, i окрестности которого только и происходит рождение или исчез новение неблуждающих траекторий или слияние сепаратрис) Фактически, это бифуркации полуустойчивых циклов, седловых связок и петель сепаратрисы (рис. 34). [c.103]

Бифуркации могут быть не связаны с изменением характера особых точек. Например, бифуркациями являются рождение предельного цикла КЗ петли сепаратрисы (т. с. сепаратрисы выходящей и входящей в одно и то же седло) или распад цолуустойчивого Предельного цикла на устойчивый и неустойчивый. [c.40]

Бифуркации рождения периодич. движения. В табл. 1 приведены основные Б. рождения (если фазовые портреты просматривать слова направо) или исчезновения (если справа налево) периодич. движений. Они разбиты на 3 группы. Если говорить об исчезновении периодич. движений, то к 1-й группе (первые 2 строки) относятся такие Б., при к-рых период периодич. движения Т- ж (или частота оу- О) при ц, - 0, а амплитуда колебаний около ср. значения к нулю не стремится. В автоколебат. системах примером такой Б. является возникновение модуляции при действии периодич. силы на автогенератор. Предельный цикл — образ модулир. колебаний — при этом рождается из петли сепаратрисы седло — узел при слиянии и исчезновении двух состояний равновесия седла и узла (табл. 1, строка 1). Знание подобной Б. позволяет оиределить свойства нового режима, возникшего после перехода через критич. точку,— возникшая модуляция будет характеризоваться конечной амплитудой и близкой к нулю частотой модуляции. [c.211]

Если динамич. система зависит от параметра, то (даже я в неконсервативном случае) при его изменении НеЯу может обратиться в нуль, и тогда Р. с. может претерпевать бифуркации, связанные с потерей (приобретением) устойчивости или с изменением размерности его сепаратрис (см. также Устойчивость движения). [c.196]

Выше было рассказано о результатах численного исследования уравнения (4.10) при М = 0,1 /г = 1. Однако, как показали аналогичные численные исследования, такие же результаты получаются и при других значениях параметров М ш Ъ, если только Н> М. При несоблюдении этого условия ж к< М возможность сведения к точечному отображению окружности в себя исчезает, и необходимо исследовать точечное отображение двумерного цилиндра в себя. Общая схема изменений фазового портрета оказывается следующей. При малых ц- возникают устойчивые вращательные синхронизмы, области притяжения которых разделяются сепаратрисами 3 и 3 седловых ненрдвижных точек. С ростом параметра ц, число их возрастает, и вместе с этим возникают пересечения сепаратрисных кривых седловых неподвижных точек, отвечающих разным синхронизмам. Это приводит к усложнению вида областей притяжения устойчивых синхронизмов. Дальнейшее увеличение параметра ц- сопровождается появлением новых пересечений сепаратрис и возникновением гомоклинических структур, содержащих циклы. При этом характер приближения фазовых точек к устойчивым синхронизмам носит весьма сложный немонотонный характер фазовая точка то приближается к нему, то удаляется и, лишь попав в достаточно малую его окрестность, стремится к нему. В соответствии с этим области притяжения устойчивых синхронизмов имеют сложный и тонкий характер. При дальнейшем росте параметра [х начинаются бифуркации удвоения периодов устойчивых синхронизмов с одновременным образованием новых седдовых синхронизмов которые ведут к еще большей хаотизации движений и утопьше-нию областей притяжения устойчивых синхронизмов. При ничтожно малых возмущениях фазовая точка блуждает по поверхности секущего цилиндра, не попадая в малые окрестности устойчивых синхронизмов. [c.206]

Исчезновение устойчивого синхронизма У происходит при перехлесте сепаратрис У" " и 8" седла В . Эта бифуркация имеет место при ц, = 1,205. После нее фазовый портрет приобретает вид, показанный на рис. 7.45. Обе бифуркации синхронизмов Л" " и Л типа 7У+1 происходят при изменении параметра от 1,39 до [c.208]

Обращение в нуль декремента невырожденной монотонной моды в случае, когда основное движение и возмущение не обладают различными свойствами симметрии, означает исчезновение устойчивого стационарного решения вследствие его слияния с неустойчивым (рис. 174, л) при этом в системе могут возникать колебания конечной амплитуды с большим периодом (бифуркация рождения цикла из сепаратрисы седлоузла), либо происходит переход на какой-либо иной устойчивый режим. В задачах конвекции распространена ситуация, когда в результате монотонной неустойчивости развивается новое стационарное движение, не обладающее симметрией исходного. Прежнее движение при этом продолжает существовать как неустойчивое. В частности, эта ситуация имеет место при потере устойчивости равновесия в полости, подогреваемой снизу. Если параметры жидкости являются постоянными, то амплитуда в припороговой области описывается вещественным аналогом уравнения (38.1) при этом имеет место бифуркация типа вилки (рис. 174, б). При нарушении [c.281]

Далее изложим результаты Афраймовича, Быкова и Шильникова (1977) (рис. 2.32). При г = г1 13,92 они обнаружили бифуркацию, при которой сепаратрисы возвращаются в седло. При г > Г из петель сепаратрис рождаются седловые периодические движения +, вокруг фокусов С+, С (и одновременно появляется не являющееся аттрактором инвариантное множество линий канторовской структуры, включающее счетное множество седло-вых периодических движений сепаратрисы Г+, Г пересекаются и стремятся [c.151]

Для систем с одной степенью свободы, имеющих двухмерное фазовое пространство, задача о зависимости структуры фазового пространства от параметров полностью решена в работах А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера и Л. С. Понтрягина. При этом оказалось, что если ограничиться так называемыми грубыми системами, то качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории полностью определяется конечным числом ее особых траекторий состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис седловых состояний равновесия. В силу этого вопрос о зависимости качественной картины разбиения фазовой плоскости свелся к изучению бифуркаций перечисленных особых траекторий. [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...