Бифуркации и бифуркационное значение параметра

Понятие бифуркации и бифуркационного значения параметра будет дано в гл. 10. [c.124]

Бифуркации и бифуркационное значение параметра [c.101]

Простейший пример нелокальной бифуркации на двумерной поверхности — появление седловой связки , когда выходящая сепаратриса одного седла пересекается при изменении параметра в некоторый момент с входящей сепаратрисой другого (и, следовательно, сливается с ней при этом значении параметра). При прохождении бифуркационного значения параметра сепаратрисы обеих седел меняются местами . Эта бифуркация встречается неустранимым образом в однопараметрических семействах векторных полей, т. е. является типичной. [c.97]

Две деформации векторных полей с носителями бифуркации 2i и Ег называются эквивалентными или слабо эквивалентными на носителях, если существуют такие сколь угодно малые окрестности носителей и (зависящие от них) окрестности бифуркационных значений параметров, что ограничения семейств на эти окрестности носителей топологически эквивалентны или слабо эквивалентны над этими окрестностями бифуркационных значений. [c.107]

Основным элементом такого исследования является прослеживание фазового портрета и его изменений при непрерывном изменении параметра р. вдоль некоторой кривой в пространстве параметров. Оказывается, что при прохождении некоторых точек на этой кривой происходит качественная перестройка фазового портрета. Такие точки получили название точек бифуркации фазового портрета, а отвечающие им значения параметров — бифуркационных значений параметров. Через одну и ту же точку пространства параметров может проходить много различных кривых и заранее ниоткуда не следует, что изменение фазового портрета не зависит от кривой, по которой меняются параметры. Значит, понятие бифуркации зависит еще и от пространства параметров, т. е. можно обнаружить, расширяя его, новые бифуркации, сужая — какие-то бифуркации потерять. Выяснение того, с каким именно случаем мы имеем дело при исследовании той или иной динамической системы, требует уточнений. [c.99]

Мы уже говорили, что (см. 8 гл. 8) Пуанкаре фактически пользовался понятием грубости двумерных консервативных систем (в классе консервативных систем) и рассматривал изменение качественной структуры таких систем при изменении параметра ). Им же введены термины бифуркация , бифуркационное значение параметра , которые использовались впоследствии в [2, 3] (и в настоящей книге) в более широком смысле. [c.164]

Однако для задач из приложений при рассмотрении бифуркаций основной интерес представляет следующий вопрос какова последовательная смена качественных структур при изменении параметров вдоль кривой в пространстве параметров, проходящей через бифуркационное значение параметров и переходящей из одной грубой области в другую [c.184]

Если известно множество всех бифуркационных значений параметров (или доказано их отсутствие), известен характер всех бифуркаций нри прохождении через различные бифуркационные значения и, кроме того, известна качественная структура динамической системы при каких-либо частных значениях параметров, то, используя соображения непрерывности, можно на основании этих сведений определить качественную структуру для любой точки во всем пространстве параметров. [c.240]

В семействе х - х + тх + вблизи значения т = 0. Для т < О имеются три неподвижные точки устойчивая в ж = 0 и две неустойчивые, по одной с каждой стороны от устойчивой точки. При т = 0 они сливаются, и для т > О начало координат является изолированной отталкивающей точкой. Чтобы показать, что эта бифуркация не структурно устойчива, возмутим данное семейство следующим образом х>- х + тх + ез + х . Чтобы найти бифуркационные значения параметра, заметим, что график функции 1/ = = х + тх + ех + х касателен к диагонали у = ж в точности в тех значениях (ж, г), для которых график функции у=ех +х касателен к прямой у——тх. Как следует из рассмотрения графика у = ех + х , это имеет место для двух значений т, и в каждом из них происходит структурно устойчивая бифуркация описанного выше вида. [c.308]

Рассуждая, как в доказательстве предложения 7.3.3, можно показать, что это структурно устойчивая бифуркация и она является единственной такой структурно устойчивой бифуркацией, что —1 есть собственное значение отображения при бифуркационном значении параметра (см. упражнение 7.3.3) [ ]. [c.309]

Обсудим эти бифуркации подробнее. Пусть изменение состояния системы происходит в результате изменения некоторого параметра а. Бифуркационное значение параметра обозначим через о. Бифуркация первого типа изображена на рис. 15.5 а. При значении параметра а < о в системе существовало два состояния равновесия-седло и узел. При а = ао они слились, образовав сложную особую точку седло — узел. При последующем увеличении параметра а состояние равновесия исчезает. [c.313]

На рис. 3.18, 3.19 даны бифуркационные диаграммы автоколебательных систем — зависимости размеров А предельного цикла от параметра а (крестиками и кружочками отмечаются неустойчивые и устойчивые циклы А = 0 - нулевое положение равновесия). Укажите бифуркационные значения параметров. В чем заключаются бифуркации [c.111]

Для системы (3.4), содержащей лишь один параметр X, пространство параметров представляет собою прямую, а бифуркационные значения i = Xi — точки, разбивающие эту прямую на области, в каждой из которых изменение параметра X не приводит к изменению фазового портрета. Если система (3.4) содержит два параметра X и [i, тогда пространством параметров будет плоскость, разделенная на области одинакового поведения системы при помощи бифуркационных кривых. Зная структуру разбиения фазового пространства для какой-нибудь точки плоскости параметров Хц можно, непрерывно перемещаясь в этой плоскости, найти структуру фазового пространства для любой другой точки плоскости параметров. При этом нужно знать лишь характер бифуркации, которая происходит в фазовом пространстве при переходе той или другой бифуркационной границы. В этом заключается эвристическая ценность теории бифуркаций [7J. [c.52]

Параметры механической системы практически никогда не бывают точно известными, а иногда могут случайным образом меняться с течением времени. Если общие свойства системы мало изменяются при малом изменении параметров и эги изменения носят лишь количественный характер, то такую систему называют структурно устойчивой (по терминологии, введенной А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным, грубой). Если малое изменение какого-либо параметра приводит к качественному изменению характера состояния системы, то ее называют структурно неустойчивой (негрубой). Таким изменениям соответствуют принципиальные изменения (бифуркация) структуры фазового пространства — появление новых положений равновесия (особых точек), предельных циклов и т. д. Значение параметра р = называют бифуркационным, если существуют сколь угодно близкие к нему значения параметра, при которых структура фазового пространства качественно отличается от структуры при р = Ро. [c.33]

Переход от периодических колебаний к хаотическим при изменении параметров в случае а может происходить как путем бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода, так и жестким образом [54, 222, 392]. Первый тип перехода наблюдался, например, при 26 = 1,1 А = 1,73 а = соо = = 1 7 = = 0,27 и увеличении параметра g. Получилась следующая последовательность бифуркационных значений g = 15,66 24,07 25,50 25,80 25,86), которая приводит к следующей последова- [c.296]

Рассмотрим структуры разбиения фазового пространства и последовательность бифуркаций, переводящих одну структуру в другую для значений параметров вдоль бифуркационной прямой о — Яа 1 — г/1 = О хх, г/i — координаты верхней угловой точки характеристики). [c.414]

По мере изменения параметров динамической системы может меняться число точек равновесия и их устойчивость. Такие изменения нелинейных систем, связанные с изменением параметров системы, являются предметом теории бифуркаций. Те значения параметров, при которых изменяются качественные или топологические свойства движения, называются критическими или бифуркационными значениями. [c.30]

Заметим, что при (Сг - С,) < О обычным для системы (6.2) является рождение предельного цикла в результате бифуркации Андронова-Хопфа, так как с ростом параметра С фокус теряет устойчивость. Очевидно, что бифуркационное значение Скр есть корень уравнения R (С р) = О, и, как показано выше, хотя бы один такой корень всегда существует. [c.260]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Каскад п-кратных увеличений периода. В двупараметрических системах встречаются столь же неустранимым образом каскады утроений, учетверений, упятерений и т. д. В этих случаях знаменатель геометрической прогрессии, определяющей последовательность бифуркационных значений параметров, — комплексное число, так что бифуркационные значения ложатся асимптотически на логарифмическую спираль (в подходящей евклидовой структуре плоскости параметров). Для утроений это число равно (4,600. ..+i8,981 Вычисления показывают, что для каскада бифуркаций с прохождением пары мультипликаторов через резонанс exp(d=2nip/q) универсальный знаменатель приблизительно равен С р, q) q . Тем самым, с ростом кратности увеличения периода события разворачиваются быстрее [57 56, 57, 58]. [c.81]

Бифуркации двумерного тора. Предположим, что поток /с , скажем, при 0 8<е, является системой Морса—Смейла и имеет притягивающий инвариантный двумерный тор Те. Предположим, что при 0 8<е на торе существует глобальная секущая. В этом случае число вращения рационально, на Те имеется четное число предельных циклов, половина из которых устойчивы, половина — неустойчивы (седловые по отношению ко всему фазовому пространству), и Т образован замыканием неустойчивых многообразий этих седловых циклов. Предположим также, что е -бифуркационное значение параметра, и при 8 = 8 осуществляется бифуркация коразмерности 1—одна из рассмотренных выше. Следовательно, это либо бифуркация одного из предельных циклов, лежащих при е<е на Т , либо бифуркация, связанная с образованием гомо- и гетероклиниче-ской траектории на неустойчивом многообразии одного из седловых циклов. [c.161]

Пусть /—установившееся движение, т. е. состояние равповесия, периодическое или стохастическое движение, точнее, пе само движение, а его геометрический образ в фазовом пространстве. Установившееся движение / имеет область притяжения П(/), внутри которой находится /. При непрерывном изменении параметра (х динамической системы меняется как установившееся движение, так и его область притяжения П(7). Возможны два различных случая первый — когда при бифуркационном значении параметра [х = ц существуют сколь угодно малые е-ок-рестности /, которые со временем преобразуются строга внутрь себя, и второй — когда таких окрестностей нет, и любая достаточно малая е-окрестпость / преобразуется в область, у которой есть точки, лежащие вне этой е-окрестности. При этом отброшена возможность граничного случая, когда существуют сколь угодно малые окрестности /, преобразующиеся в себя. Первый случай соответствует мягкому режиму смены установившегося движения, второй — жесткому. В первом случае вновь возникающее установившееся движение отделяется от прежнего установившегося движения /, а его область притяжения непрерывно возникает из области притяжения прежнего установившегося движения /. Во втором случае, напротив, прежнее установившееся движение / теряет устойчивость или исчезает, и фазовые точки из его окрестности с ростом времени переходят к новому установившемуся движению, которое, как правило, существовало и до рассматриваемой бифуркации установившегося [c.166]

Рассмотренный случай интересен еще и тем, что предельное множество бифуркационных поверхностей содержит многообразие коразмерности единица, и это делает достаточно естественным и частым пересечение с ней одномерных кривых, отвечающих изменению какого-нибудь одного скалярного нараметра динамической системы, т. е. в пространстве параметров динамической системы рассматриваемой серии бифуркаций отвечает поверхность коразмерности 1. Теперь уже довольно очевидно, что для последовательности бифуркационных значений параметра, отвечающих пересечениям с поверхностями (2.18), [c.177]

Чтобы убедиться, что это единственно возможная структурно устойчивая бифуркация с собственным значением единица, допустим без потери общности, что бифуркация происходит в точке нуль и что бифуркационное значение параметра равно нулю. Сначала покажем, что касание в точке бифуркации невырождено, т. е. наличествует нетривиальный квадратный член. Если касание имеет более высокий порядок, то /о(ж) = а 4- о(ж ). Тогда мы можем рассмотреть возмущение = Л 4- ех . Но для любого е > О и достаточно малых т, и Тг отображения и не сопряжены посредством близкого к тождественному гомеоморфизма. [c.307]

На фигуре изображена схема переходов, связанных с бифуркациями равновесий моторной подсистемы (2.5) при изменении свободного параметра ц,, для случая Ra = 1, а = 4, I2 = -0.6688, а = 10 и ц,, > О (значения отношения угловых скоростей цилиндров Q и числа Рейнольдса X таковы, что точка (I2, X) расположена выше нейтральных кривых, соответствующих как монотонной, так и колебательной потере устойчивости неизотермического течения Куэтта). Одинарными линиями нарисованы. /-симметричные равновесия, двойными -. /-связанные пары равновесий. Устойчивые равновесия изображены сплошными линиями, неустойчивые - штриховыми. Лежащие на инвариантных плоскостях равновесия (3.1)-(3.7) отмечены соответственно цифрами 1-7, а. /-связанные пары равновесий общего положения - цифрами 8-9 (в рассматриваемом случае существует не более двух пар таких равновесий). Кружками отмечены точки, в которых от равновесий ответвляются предельные циклы - изолированные периодические решения моторной подсистемы (каждому такому решению соответствует, вообще говоря, трехчастотный квазипериодический режим движения жидкости). Бифуркационные значения параметра 0,,. представлены ниже [c.105]

В прикладном отношении наиб, важны нелинейные эффекты в активных Н. с., в к-рых энергия колебаний может пополняться вследствие неустойчивостей, обусловленных неравновесностью системы. К таким Н. с, относятся прежде всего генераторы колебаний — от лампового до квантовых (мазеров и лазеров), часы — от ходиков до кварцевых и т. п., в к-рых устанавливаются устойчивые незатухающие колебания с периодом и амплитудой, в широких пределах не зависящими от нач. условий,— автоколебания. Простейший генератор автоколебаний — автогенератор на ламповом триоде, в к-ром потери энергии в колебат. контуре компенсируются пополнением её за счёт непериодич. источника (батареи). Поступление энергии в контур в нужной фазе колебаний осуществляется при помощи обратной связи на управляющий электрод лампы. При перестройке параметров Н. с. могут происходить качественные изменения её поведения — бифуркации. Например, колебания в ламповом генераторе возникают при величине обратной связи, большей нек-рого бифуркационного значения. [c.314]

Задание Aq, Л, удовлетворяющих бифуркационным условиям, означает, согласно (3.24), выбор F, Re. Тогда бифуркационное значение 5,( (,) подсчитывается по формуле (3,25). Бифуркационные изменения в системе могут происходить как при положительных, так и при отрицательных значениях q q > О, Л, > О либо С() 4- 2 < О, Л, < 0 каждому из этих двух случаев соответствует одно положительное и одно отрицательное значение Лд. Oi-сюда следуют выводы 1) -q > О, т. е. бифуркационные значения плотностей жидкости в областях G,, G.. превышают соответствующие плотности основного течення 2) взаимная ориентация поперечных (вдоль OY) скоростей основного потока, т. е, знаки и, и и , не влияет на возникновение бифуркационной ситуации 3) согласно оценкам величин Лц, существует нижняя граница значений числа Re > О, при которых может наступить бифуркащ1я 4) бифуркационное значение массовой силы может быть как положительным, так и отрицательным 5) если наряду с и q параметры основного течения в области G, заданы, то после подсчета 5,( о) получим из формулы S, = 1-с,-ь 2аг(П ,-П )р бифуркационное значение комплекса а(П , -П ), входящего в условие (3,17), (3.18) функционирования у-области, В особой точке при е = s >Q возможны бифуркации двух типов 1) сложное состояние равновесия седло-узел , получающееся при [c.92]

Очевидно, что для определения точек бифуркации приращение энергии АЭ следует подсчитьшать с точностью до квадратов бифуркационных перемещений W, переводящих пластину из начального состояния в новое смежное изгибное состояние равновесия. Энергетический критерий дает возможность найти все точки бифуркации начального состояния равновесия и соответствующие им собственные значения параметра нагрузки Р наименьшее из них будет критическим, т.е. [c.209]

Выше говорилось о бифуркациях обмотки двумерного интегрального тора, порождаемых изменением числа вращения Пуанкаре. В частности, эти бифуркации могли происходить на торе, который рождается от иериодического движепия при изменении параметров, приводящем к переходу через бифуркационную поверхность коразмерности единицы. В момент рождения тора число вращения фазовых траекторий на нем равно ф/2я и в дальнейшем может меняться. При этом рождение тора носит изолированный характер, т. е. оно происходит при некотором значении параметра [х = (х и при [х, близких к ц, по отличных от (X, отделений или слияний торов с периодическим движением нет. Однако в особых случаях и, в частности, для гамильтоновых систем, рождение интегральных торов от периодических движений может носить совсем другой, непрерывный характер [61]. Это связано с особенностями гамильтоновых систем и в первую очередь с тем, что при наличии у нее периодического движепия только с двумя ко мплексными корнями последние обязательно имеют вид и при изменении параметров возможны только следующие случаи [c.170]

Если, не пересекая кривую мы вернемся в область вблизи прямой (7), где нет предельных циклов, то мы непременно должны пройти через значения параметров, при которых эти предельные циклы исчезают. Следовательно, должна быть бифуркация, при которой устойчивый и неустойчивый циклы сливаются, образуя четнократный цикл, который затем исчезает. Непременно существует, следовательно, в области параметров, где а > О, бифуркационная кривая 1 1, упираюш аяся в точку Мз, соответствуюш ая четнократному цижлу (см. рис. 162). [c.310]

Единственно возможная последовательность бифуркаций при возрастании ц такая, при которой слияние точек Р и Рз предшествует слиянию Р, Рг и Р, Ра. Очевидно также, что если последняя из перечисленпых бифуркаций осуш ествляется, то осуш еств-ляются и остальные. Осуществимость последней бифуркации следует из того, что при достаточно больших х (когда максимум изоклины горизонтальных наклонов, равный (Я,+ 1)/ я, будет меньше максимума изоклины вертикальных наклонов, равного единице) со-сепаратриса седла будет иметь всюду отрицательный наклон, и, следовательно, точка Р будет лежать заведомо выше точки Pi. Очевидно, что в этом случае и предельные циклы, охватывающие фазовый цилиндр, не могут существовать. Осуществляется структура разбиения фазового цилиндра на траек-торип, представленная на рис. 169,8. Слиянию точек Р, Р% и Р, Pi соответствуют расположения сепаратрис, представленные на рис. 169, 5—6 и 169, 6—7. Поведение сепаратрис с точностью до четного числа предельных циклов определяет здесь качественную структуру. Значения параметра х, соответствующие разбиениям рис. 169,5—6 и рис. 169,6—7, будут бифуркационными. При изменении ц от этих бифуркационных значений в направлении возрастания или убывания векторное поле на сепаратрисах поворачивается соответственно по или против часовой стрелки, и сепаратрисы, идущие из седла в седло, разрушаются. Соответствующие грубые структуры изображены на рис. 169,5—169,7. [c.320]

При дальнейшем увеличении параметра .i векторное поле на каждом из предельных циклов поворачивается по часовой стрелке при этом устойчивый предельный цикл опускается, неустойчивый — поднимается. При любом фиксированном Я в рассматриваемом интервале существует единственное бифуркационное значение р., при котором устойчивый и неустойчивый предельные циклы сливаются, образуя двойной нолуустойчивый цикл. Это — последняя бифуркация, возможная при возрастании параметра ц. [c.320]

Наконец, последний тип бифуркации проиллюстрирован на рис. 3.5, где показан случай рождения устойчивого предельного цикла из петли сепаратрисы седла. Пусть сепаратрисы седла при некотором значении X имеют расположение, представленное на рис. 3.5, а. Предположим, что при увеличении параметра X ветви сепаратрисы сближаются и при некотором значении Х == Яц сливаются, образуя петлю (рис. 3.5, б). Если при дальнейшем увеличе-1И1И X сепаратрисы седла вновь разделяются так, как показано на рис. 3.5, б, то из петли рождается предельный цикл. Значение А. = в этом случае является бифуркационным. [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...