Бифуркация из предельного цикла

Бифуркация из предельного цикла [c.65]

Бифуркация из предельного цикла частные случаи [c.288]

Приступим теперь к построению решений, которые возникают при бифуркации из старого тора, теряющего устойчивость. Воспользуемся обобщением той схемы, которую мы применяли в случае бифуркации из предельного цикла. Примем самосогласованное предположение о том, что новый тор или новые торы расположены вблизи от старого тора. Иначе говоря, векторы, начало которых лежит на старом, а конец на новом торе, невелики по длине. Вместе с тем необходимо иметь в виду, что когда происходит бифуркация, соответствующие точки на старой и на новой траекториях со временем могут разойтись сколь угодно далеко. [c.297]

С аналогичными свойствами мы встречались при рассмотрении бифуркации из предельного цикла. Но продолжим наше рассмотрение. Выберем область, расположенную несколько выше точки перехода, и предположим, что [c.300]

В приложениях 1-8 затрагиваются некоторые качественные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решения которых зависит исследование динамических систем. Обсуждению подлежат такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса (ср. с [196-198]) вопросы существования так называемых монотонных предельных циклов, наличия замкнутых траекторий, стягиваемых в точку по двумерным поверхностям, наличия замкнутых траекторий, не стягиваемых в точку по фазовому цилиндру качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения для динамических систем на плоскости проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно [c.6]

В приложениях 1-8 затрагиваются некоторые качественные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решения которых зависит исследование динамических систем. Обсуждению подлежат такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса (ср. с [196-198]) вопросы существования так называемых монотонных предельных циклов, наличия замкнутых траекторий, стягиваемых в точку по двумерным поверхностям, наличия замкнутых траекторий, не стягиваемых в точку по фазовому цилиндру качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения для динамических систем на плоскости проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования длиннопериодических и устойчивых по Пуассону траекторий. В заключение предлагается некоторая простая методика интегрирования некоторых классов неконсервативных систем через элементарные трансцендентные (в смысле теории функций комплексного переменного) функции. [c.174]

Данная глава является кратким, элементарным введением в теорию бифуркаций, которая изучает качественные изменения в поведении решений динамической системы при изменении ее параметров. Теория бифуркаций обязана своим рождением трудам А. Пуанкаре. Исключительно важные для приложений типы бифуркаций подробно изучены А.М. Ляпуновым. Громадное значение теории бифуркаций для приложений отчетливо понимал А.А. Андронов, который еше в 1931 г. на Всесоюзной конференции по колебаниям в связи с развитием теории нелинейных колебаний ставил вопрос о полной теории бифуркаций для неконсервативного случая [2]. Более того, им получены основополагающие результаты по бифуркациям в системах второго порядка. В частности, А.А. Андронову принадлежит заслуга открытия бифуркации рождения предельного цикла из положения равновесия в случае пары чисто мнимых корней характеристического уравнения и обнаружение связи этой бифуркации с ляпунов-скими величинами. [c.101]

Подведем некоторый итог. Ради определенности пусть для рассматриваемого нами седлового равновесия при Li = О и X = О седловая величина ст < 1. Тогда при возрастании X вдоль оси j, = О появится устойчивый предельный цикл с некоторой областью притяжения. Исходя из точки X > О, J, = О, будем увеличивать ц. При этом предельный цикл превратится сначала в устойчивый обычный синхронизм. Затем он трансформируется в стохастический синхронизм. При этом область притяжения предельного цикла последовательно будет переходить в область притяжения обычного и стохастического синхронизмов и затем по пересечению границы р = О в область притяжения какого-то нового установившегося движения. Структура разбиения плоскости параметров р, в окрестности точки Л = х = О очень сложная. Достаточно заметить, что при монотонном изменении Я в сторону возрастания вдоль оси j, = О число вращения 7 монотонно убывает от значения ) у = оо. Сказанное основывается на предположении об общем характере бифуркаций и полученных ранее сведениях о точечном отображении Гзя, согласно которым между [c.376]

Заметим, что область притяжения аттрактора может как менять, так и не менять свой топологический тип при его внутренней бифуркации. Например, для потока на диске при рождении устойчивого предельного цикла из фокуса она из односвязной становится двухсвязной, а при возникновении точки типа седло-узел на устойчивом предельном цикле она двухсвязна и до, и после бифуркации. [c.160]

При любых значениях В, больших критического В .), в системе возникает так называемый предельный цикл . Это означает, что из любой исходной точки пространства X, Y система перейдет на одну и ту же замкнутую траекторию. Поэтому важным обстоятельством является тот факт, что в противоположность идущим в колебательном режиме химическим реакциям типа Лотки - Вольтерры, частота колебания этих реакций является однозначной функцией макроскопических переменных, таких, как концентрация компонентов системы и ее температуры. Течение химической реакции становится когерентным во времени. Таким образом, химическая реакция становится химическими часами. Это явление в литературе часто называют бифуркацией Хопфа. [c.136]

Чтобы понять физический смысл коллективных мод структурообразования, вернемся снова к анализу системы уравнений (3.59). Если сравнить уравнения (3.49), эквивалентные (3.59), с системой (3.38) для предельного цикла, видно, что последние отличаются от (3.49) отсутствием членов, содержащих коэффициенты диффузии Ох и Оу. Из этого следует, что пространственно-анизотропная система дефектов в деформируемом кристалле может возникнуть лишь с участием процессов диффузии, скорости которых различны в окрестности дефектов разного класса. В отсутствие диффузии после точки бифуркации В > В в системе возникает стационарный периодический во времени процесс (предельный цикл). К этому режиму система приближается при любых начальных условиях. Если координатам X, У в системе (3.38) придать тот же смысл, что и в системе (3.59), получается, что нри некотором критическом количестве элементов структуры без участия диффузии в деформируемом кристалле при небольших отклонениях п от е возникают незатухающие во времени колебания р и п, при этом в конце концов устанавливается предельный цикл (замкнутая траектория в пространстве р, п) с определенной частотой колебаний. Иными словами, и в отсутствие диффузии есть предпосылки для самоорганизации системы дефектов (имеются носители коллективных [c.88]

На базе нелинейных уравнений исследуется устойчивость прямолинейного поступательного торможения при наличии линейного демпфирующего момента. Показано, чю в рамках рассматриваемой модели в принципе могуг возникнуть автоколебания, соответствующие предельным циклам, коюрые рождаются из слабого фокуса (известная бифуркация Андронова-Хопфа). [c.282]

V. Бифуркации сепаратрис седло-узла. Рождение предельного цикла из сепаратрисы седло-узла. Пусть у системы (А), являющейся системой первой степени негрубости, негрубой особой траекторией является седло-узел 0(хо, уо). Тогда в силу условий Г (см. гл. 9) ни одна из сепаратрис седло-узла не может идти в седло или являться и со- и а-сепаратрисой седло-узла. [c.169]

Иногда удается доказать наличие петли сепаратрисы и, используя седловую величину, доказать рождение при ее разделении предельного цикла, устойчивого или неустойчивого (в зависимости от знака седловой величины). При использовании методов теории бифуркаций наибольшие трудности возникают при доказательстве отсутствия или наличия предельных циклов, появляющихся при разделении двукратного предельного цикла, возникающего из уплотнения траекторий. [c.243]

Бифуркации, связанные с поведением функции Ч з(и). Перейдем теперь к рассмотрению предельных циклов, рождающихся на кривых центра. Из (15) непосредственно обнаруживается, что при <0 функция з(и) обращаться в нуль не может, так как выражение в квадратных скобках в (15) положительно (приложения I и IV). По критерию Бендиксона при О < й < 1 циклов нет K + Qy =o), поэтому з(>с) при 0<й<1 корней также не имеет. Проследим поведение Ч з(>с) при 1. [c.270]

Структуры разбиения фазового пространства и бифуркации при изменении параметров вдоль дискриминантной кривой. Проследим за бифуркациями и изменением структуры фазового пространства вдоль нижней ветви дискриминантной кривой, начиная от точки возврата (Я = Яг). На интервале Я1 < Я < Яг будет существовать структура с неустойчивым фокусом и седло-узлом с неустойчивой узловой областью внутри устойчивого предельного цикла (рис. 159,70). При убывании Я от значения Я = Я1 фокус х меняет устойчивость и, так как аз > О, из него рождается неустойчивый предельный цикл (рис. 159,5). Чтобы проследить за дальнейшими бифуркациями при убывании Я до нуля, следует прежде всего выяснить структуру при Я == 0. Она легко определяется, так как при Я = О существует интегральная пря- [c.298]

Для прослеживания бифуркаций вдоль дискриминантной кривой существенным является установление качественной структуры при Я = 1. Как будет видно из дальнейшего, при возрастании Я от нуля необходимо возникает из сгущения траекторий двойной предельный цикл, охватывающий состояния равновесия, однако не существует способов обнаружить точные значения параметров, при которых он возникает. В дальнейшем будем предполагать, что при Я = 1 предельных циклов еще нет и осуществляется структура рис. 159, 2 (изменения в результатах, отвечающие предположению о существовании предельных циклов уже при Я = 1, будут в дальнейшем указаны) ). [c.300]

В точках пересечения рассматриваемой полупрямой (16) с прямыми 1 = 0 и 2 = 0 происходят бифуркации состояний равновесия при уменьшении X сначала из фокуса х (рис. 160,10) и затем из фокуса Х2 рождаются неустойчивые предельные циклы (фокусы становятся устойчивыми) и возникает структура с тремя предельными циклами (рис. 160,9). Так как при Х = 0 предельных циклов нет (г/ = о — интегральная прямая, качественная структура эквивалентна структуре рис. 160,7), то рассуждениями, аналогичными проведенным в п. 3.4, находим, что при убывании X до нуля должны осуществиться следующие бифуркации сепаратрис возникновение петли сепаратрисы вокруг верхнего фокуса, вокруг нижнего фокуса, возникновение большой петли, содержащей внутри два состояния равновесия. Так как седловая величина положительна (Р + ( у = — ф xq) — 1 = a—1,гдеЯ — координата [c.301]

Бифуркации двумерного тора. Предположим, что поток /с , скажем, при 0 8<е, является системой Морса—Смейла и имеет притягивающий инвариантный двумерный тор Те. Предположим, что при 0 8<е на торе существует глобальная секущая. В этом случае число вращения рационально, на Те имеется четное число предельных циклов, половина из которых устойчивы, половина — неустойчивы (седловые по отношению ко всему фазовому пространству), и Т образован замыканием неустойчивых многообразий этих седловых циклов. Предположим также, что е -бифуркационное значение параметра, и при 8 = 8 осуществляется бифуркация коразмерности 1—одна из рассмотренных выше. Следовательно, это либо бифуркация одного из предельных циклов, лежащих при е<е на Т , либо бифуркация, связанная с образованием гомо- и гетероклиниче-ской траектории на неустойчивом многообразии одного из седловых циклов. [c.161]

Рассмотрим вначале режимы мягкого возникновения стохастич. автоколебаний. Осн. бифуркации в этом случае представлены на рис. 4. Это — рождение тора из предельного цикла при потере им устойчивости, бифуркация удвоения периода, слияние устойчивого и седлового циклов и их исчезновение, сопровождающееся возникновением странного аттрактора, сложные деформации ( гофрирование ) тора и его разру- [c.695]

Во второй главе затрагиваются некоторые вопросы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решений которых зависит исследование как (чисто) диссипативных динамических систем, так и систем с переменной диссипацией, рассматриваемых ниже и возникающих в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой. Рассматриваются такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса наличия замкнутых траекторий, в том числе, таких, которые охватывают фазовый цилиндр качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования семейств дпинноперио-дических и устойчивых по Пуассону траекторий. Исследуются также возможности перенесения теории двумерных топографических систем Пуанкаре и систем сравнения на многомер-ныйслучай(см. также[168,250, 251, 266, 291, 300]). [c.69]

При дальнейшем увеличении параметра .i векторное поле на каждом из предельных циклов поворачивается по часовой стрелке при этом устойчивый предельный цикл опускается, неустойчивый — поднимается. При любом фиксированном Я в рассматриваемом интервале существует единственное бифуркационное значение р., при котором устойчивый и неустойчивый предельные циклы сливаются, образуя двойной нолуустойчивый цикл. Это — последняя бифуркация, возможная при возрастании параметра ц. [c.320]

Цель этого параграфа - предложить достаточно простое, хотя и не исчерпывающее, изложение того, что обычно называют бифуркацией рождения предельного цикла из слабого фокуса, а также ее приложений к задачам динамики твердого тела, взаимодействующего с сопротивляющейся средой. Исторически это восходит к работам Пуанкаре [196, 197] (1892 г.). Эта тема также обсуждалась A.A. Андроновым [3-13], начиная с 1930 г. Основные же работы Хопфа по данному вопросу появились в 1942 г. Хотя термин бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа (сюда иногда даже включают Фрид-рихса) бьш бы более точным, в западной литературе более распространен термин бифуркация Хопфа . Причиной этого является то, что самый существенный вклад Хопфа - обобщение результата с двумерного случая на высшие размерности. [c.175]

Расчеты периодических колебаний в существенно нелинейных неконсервативных системах можно проводить 1) методом гармонической линеаризации (гл. 12), если есть основание полагать, что искомые колебания близки к синусоидальным х(/) у4р+у48тш/ 2) на основе теории бифуркации рождения предельного цикла, если в пространстве параметров системы рабочие значения параметров располагаются вблизи границы области устойчивости (гл. 11) >. В остальных случаях приходится прибегать либо к обобщению метода гармонической линеаризации, представляя искомое решение отрезком ряда Фурье из П слагаемых, либо к непосредственному использованию численных методов. [c.147]

Наконец, последний тип бифуркации проиллюстрирован на рис. 3.5, где показан случай рождения устойчивого предельного цикла из петли сепаратрисы седла. Пусть сепаратрисы седла при некотором значении X имеют расположение, представленное на рис. 3.5, а. Предположим, что при увеличении параметра X ветви сепаратрисы сближаются и при некотором значении Х == Яц сливаются, образуя петлю (рис. 3.5, б). Если при дальнейшем увеличе-1И1И X сепаратрисы седла вновь разделяются так, как показано на рис. 3.5, б, то из петли рождается предельный цикл. Значение А. = в этом случае является бифуркационным. [c.52]

Полное описание бифуркаций получено только для первого из этих классов. Для ростков двух других классов аналогичное описание, по-видимому, невозможно. Теория нормальных форм дает в качестве упрощенной модели для исследования деформаций рЬстков этих классов вспомогательные локальные семейства эквивариантных векторных полей на плоскости. Переход от вспомогательных семейств к исходным также небезобиден. Исследование вспомогательных семейств — трудная задача из-за бифуркаций предельных циклов. [c.26]

Бифуркации рождения периодич. движения. В табл. 1 приведены основные Б. рождения (если фазовые портреты просматривать слова направо) или исчезновения (если справа налево) периодич. движений. Они разбиты на 3 группы. Если говорить об исчезновении периодич. движений, то к 1-й группе (первые 2 строки) относятся такие Б., при к-рых период периодич. движения Т- ж (или частота оу- О) при ц, - 0, а амплитуда колебаний около ср. значения к нулю не стремится. В автоколебат. системах примером такой Б. является возникновение модуляции при действии периодич. силы на автогенератор. Предельный цикл — образ модулир. колебаний — при этом рождается из петли сепаратрисы седло — узел при слиянии и исчезновении двух состояний равновесия седла и узла (табл. 1, строка 1). Знание подобной Б. позволяет оиределить свойства нового режима, возникшего после перехода через критич. точку,— возникшая модуляция будет характеризоваться конечной амплитудой и близкой к нулю частотой модуляции. [c.211]

Ограничимся изложением результатов исследования семимерной модели (7.7), выполненного в работе [461]. При R = Ro 227,1 четыре симметрично расположенных в фазовом пространстве предельных цикла становятся неустойчивыми и превращаются в четыре двумерных тора с частотами Д (частота цикла) и /г = 1/Гт, где Гт — квазипериод тора. Проекция на плоскость Же, X, инвариантной кривой на секущей гиперплоскости Xi = О, соответствующей одному из таких торов, а также спектральные плотности отображения Пуанкаре для х, и потока для xi x) при R = 269 показаны на рис. 9.80, а. При R = Ri, где 275 бифуркация удвоения квазипериода тора (рис. 9.80, б), а при R = Лг, где 294 бифуркация удвоения тора в [461] обнаружена не была. При увеличении R от значения Лг инвариантная кривая становится все более нерегулярной (рис. 9.81). Хаос на- [c.337]

В главе 8 обсуждаются некоторые следствия введения слагаемых, х актеризующих вращательную производную момента аэрогидродинамических сил по угловой скорости. В задаче о плоскопараллельном свободном торможении тела в среде на базе нелинейных уравнений исследуется устойчивость прямолинейного поступательного торможения при наличии линейного демпфирующего момента. Показано, что в рамках рассматриваемой модели в принципе могут возникнуть автоколебания, соответствующие предельным циклам, которые рождаются из слабого фокуса (известная бифуркация Андронова-Хопфа). Последний аспект является возможным положительным ответом на главный вопрос нелинейного анализа— может ли начало координат на плоскости (или Л а,со ) стать устойчивым (что [c.37]

Однако вопрос об установлении факта появления двукратного предельного цикла (он появляется из уплотнения траекторий) ), об установлении отсутствия такого появления является одной из напбодее сложных задач теории бифуркаций, для решения которой в настоящее время нет сколько-нибудь общих методов (пли приемов). Если не доказано (методом Дюлака, использованием топографической системы или еще каким-либо частным приемом) отсутствия предельных циклов, то мы, вообще говоря, не имеем никаких оснований для того, чтобы утверждать отсутствие любого числа двукратных предельных циклов, а следовательно, и любого четного числа предельных циклов. Мы не можем также (без дополнительных специальных сведений о правых частях) ни утверждать, что при изменении параметра X не появляются двукратные предельные циклы, ни утверждать их появление. Правда, иногда косвенным рассуждением появление двукратных циклов удается показать (см. гл. 16). [c.188]

Сопоставим теперь расположение а- и со-сепаратрис для структур на 1>пс. 159, 9 и 159, 3. Отметим точки пересечения с а- и со-сепаратрисами на отрезке прямой х = Ж1 выше фокуса (ближайшие но ходу сепаратрис от седло-узла). Для структуры на рис. 159,9 след со-сепаратрисы на прямой х = Х1 расположен ниже следов а-сенаратрис. Для структуры на рис. 159,5, наоборо-рот — выше. При убывании Я последовательно должны осуществиться бифуркации, соответствующие совпадению на прямой X = XI следа со-сепаратрисы со следом ссгсепаратрисы (выходящей из седло-узла вверх) и со следом аз-сенаратрисы (выходящей вниз). Так как седловая величина (Рж + у)2 = Я—1 при Я > 1 положительна, то при образовании первой петли (при Я = Я ) к ней стягивается неустойчивый предельный цикл (см. гл. И) (рпс. 159, 8). При расположении следа со-сепаратрисы между следами аг и аг-сепаратрис будет существовать замкнутый контур, образованный со-сепаратрисой седло-узла (рис. 159,7). При совпадении следов со- и аг-сепаратрис при Я == Я < Я возникает петля сепаратрисы (рис. 159,6), от которой при ее разрушении с уменьшением Я рождается неустойчивый предельный цикл, охватывающий оба состояния равновесия, и возникает [c.300]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...