Бифуркация, фигура бифуркации

Пуанкаре исследовал далее коэфициенты устойчивости рядов эллипсоидов Маклорена и Якоби при помощи функций Ламе, чтобы выяснить, какие члены представляют формы бифуркации. Он нашел, что существует бесконечно много форм такого рода, а следовательно, и бесконечно много других линейных серий фигур равновесия. В каждом случае оказывается возможным указать форму членов новой серии в окрестности точки бифуркации. Исследование этого вопроса было продолжено Дарвином ) и самим Пуанкаре в более поздней работе ). [c.902]

Вихри Тейлора (3.2) также существуют при любых ц,. Они ответвляются от неизотермического течения Куэтта при а = О, поэтому данную бифуркацию изобразить на фигуре, относящейся к случаю а = 10, невозможно. При ц, < 1.39 вихри Тейлора устойчивы, а при ц, > 1.39 неустойчивы. При ) , = 1.39 вихри Тейлора мягко теряют устойчивость, в результате чего от них ответвляются устойчивые смешанные азимутальные волны (3.7). При а,. = 18.24 от неустойчивых вихрей Тейлора ответвляются неустойчивые смешанные азимутальные волны (3.6). [c.106]

Задача Дирихле, 131 Бассет, 233 — Чебышева, 17, 234 Бейкер, X. Ф., 17, 234 Звездная эволюция, 18, 208 Бифуркация, фигура бифуркации, 16, 24, 145 Картан, Э., 19, 20, 162, 198, 233 Брайен, Г. X-, 233 Кельвин, 27 [c.237]

I) При условии, что линейный ряд расположен в направлении, указанном стрелкой, вогнутости постепенно меняют свою форму, и появляется уже выпуклость . Соответственно в критической точке С другой линейный ряд ВС В пересекает первоначальный линейный ряд А1СА2. Точка пересечения называется точкой бифуркации , и соответствующая ей равновесная конфигурация — фигурой бифуркации . Если поначалу ряд АхС был устойчивым, то изменение выпуклости на вогнутость означает, что за точкой С продолжение ряда СА2 должно быть неустойчивым, т. е. в точке С исходный ряд теряет свою устойчивость. С другой стороны, в описанном нами случае у нового ряда ВСЕ выпуклости такие же, как и у А С, следовательно, конфигурации этого ряда будут устойчивыми. Здесь произошла передача устойчивости членам нового ряда. Для каждого значения 1, соответствующего фрагмен- [c.24]

Из таблицы следует, что для данных а я Ь сугцествует только одно значение с, удовлетворяюгцее условию (20). Этот результат впервые был получен Мейером (Меуег). Также видно, что угловая скорость является наибольшей для сфероидального члена и после этого монотонно уменьшается вдоль последовательности в направлении возрастающего углового момента. Общую для рядов Маклорена и Якоби фигуру бифуркации можно легко найти, подставив а = Ъ в условие (20), и записать = а (1 — е ). Тогда этот интеграл сводится к простому уравнению [c.74]

Поскольку размерность Н совпадает с размерностью то для любой другой конфигурации при данных отношениях осей величина её сферического радиуса г должна быть обратно пропорциональна квадрату табулированного углового момента. Следовательно, п.потность до.пжна быть пропорциона.пьна шестой степени данной величины. Птак, чтобы рассматривать конкретные примеры, для фигуры бифуркации имеем [c.86]

Труднейший вопрос об устойчивости фигур равновесия был поднят Ж. Лиувиллем и Б. Риманом. Решительный прогресс был достигнут в этом вопросе в работах А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре предложивших достаточно обилие методы исследования фигур равновесия враш ающейся жидкости, в том числе и их вековой устойчивости. Первые исследования обоих ученых в этой области относятся к середине 80-х годов. Уже в своей магистерской диссертации Ляпунов установил устойчивость эллипсоидов Мак-лорена при значениях эксцентриситета меньше 0,813 в обш их предположениях о возмущениях и устойчивость эллипсоидов Якоби при эллипсоидальных возмущениях В последующем были тщательно исследованы эллипсоиды бифуркации- и, в частности, обнаружены так называемые грушевидные формы равновесия. Однако Ляпунов указал в 1905 г. на неустойчивость этих форм в противоречие утверждению Дж. Дарвина об их устойчивости По этому вопросу возникла дискуссия, победителем которой оказался Ляпу- [c.77]

Эта поверхность имеет две несвязанные части и довольно сложный вид. Па переднем плане, который соответствует течению с отсосом, нетрудно заметить неединственность решений, возникающую из-за бифуркащш вращения. Эта бифуркация образует глубокую складку на поверхности решений и приводит к появлению решений с большими отрицательными значениями подъемной силы. Из этой фигуры видно, что на заднем плане для другой, несвязанной части поверхности решений, отвечающей вдуву, также существует область значений чисел Re и К, где решение неединственно, а именно, можно найти такие Re и К, при которых реализуются решения с разными по величине подъемными силами. [c.246]

Н. Г. Четаев (1926) исследовал вопрос о существовании непрерывной последовательности устойчивых фигур равновесия однородной в каждый момент времени вращающейся жидкой массы, находящейся под действием сил ньютоновского притяжения, сил лучистого сжатия к центру тяжести с постоянной скоростью и постоянного давления на свободной поверхности. Для выделения устойчивой последовательности фигур равновесия автор использовал теорему Лагранжа об устойчивости равновесия, которую доказал применительно к рассматриваемой системе. Несколько позднее Четаев (1931), пользуясь теоремой Ляпунова об устойчивости фигур равновесия, доказал, что если существует не бесконечно малый нижний предел для массы отдельных тел, на которые под влиянием сил ньютоновского притяжения и центробежной может распасться некоторая масса однородной несжимаемой жидкости, то для этой массы существует по крайней мере одна устойчивая фигура равновесия. Далее автор доказал две важные общие теоремы о числе реальных ветвей кривой ] авновесия механической системы, проходящих через точку бифуркации и о смене устойчивости. Частные случаи указанных теорем были установлены [c.32]

Данная задача принадлежит к тем разделам астрономии и гидродинамики, начало которым было положено открытием закона всемирного тяготения. Именно тогда стало возможным объяснять не только движение планет и спутников, но также и саму форму небесных тел. С той поры немало крупных ученых-математиков внесли свой вклад в развитие теории фигур равновесия. Имена Клеро, Маклорена, Якоби и Лиувилля говорят сами за себя. Но наиболее весомый вклад принадлежит А. Пуанкаре и нашему соотечественнику А. М. Ляпунову. В 1884-85 годы они независимо друг от друга установили, что в окрестности определенных сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби (их множество бесконечное, но все же счетное ) существуют неизвестные науке неэллипсоидальные фигуры равновесия. Научный мир с изумлением взирал на эти открытия. И если можно (а почему бы и нет ) сравнить новые фигуры с драгоценными кристаллами, то шахта для их добычи оказалась круто уходящей вниз, где на большой глубине могут работать лишь сильные разумом и духом исследователи. И именно отсюда, с этой глубины берут свое начало такие отрасли математики, как теория нелинейных интегральных уравнений, теория бифуркаций, здесь же возникло само понятие линейных рядов фигур равновесия. [c.9]

Важно подчеркнуть чтобы эти результаты оставались справедливыми, число координат, необходимых для описания данной системы, должно оставаться неизменным. Непрерывные системы, такие, например, как жидкие массы, для своего полного описания требуют бесконечного количества координат, но если ограничить эту массу какой-либо формой, то число необходимых координат станет конечным. Так, если рассматривать только эллипсоидальные формы, будет достаточно двух координат если а, 6, с обозначают полуоси, то они должны удовлетворять условию ab = onst. Если рассматривать только сфероидальные формы, ю а = Ь, т. е. будет вполне достаточно одной координаты. Если изобразить для ряда Маклорена график, подобный вышеописанному, то точка бифуркации не возникает, т. к. в данных пределах отсутствуют другие ряды фигур равновесия . С другой стороны, если изобразить график для эллипсоидального ряда, то точка бифуркации окажется в точке его пересечения с рядом Маклорена. [c.27]

На фигуре изображена схема переходов, связанных с бифуркациями равновесий моторной подсистемы (2.5) при изменении свободного параметра ц,, для случая Ra = 1, а = 4, I2 = -0.6688, а = 10 и ц,, > О (значения отношения угловых скоростей цилиндров Q и числа Рейнольдса X таковы, что точка (I2, X) расположена выше нейтральных кривых, соответствующих как монотонной, так и колебательной потере устойчивости неизотермического течения Куэтта). Одинарными линиями нарисованы. /-симметричные равновесия, двойными -. /-связанные пары равновесий. Устойчивые равновесия изображены сплошными линиями, неустойчивые - штриховыми. Лежащие на инвариантных плоскостях равновесия (3.1)-(3.7) отмечены соответственно цифрами 1-7, а. /-связанные пары равновесий общего положения - цифрами 8-9 (в рассматриваемом случае существует не более двух пар таких равновесий). Кружками отмечены точки, в которых от равновесий ответвляются предельные циклы - изолированные периодические решения моторной подсистемы (каждому такому решению соответствует, вообще говоря, трехчастотный квазипериодический режим движения жидкости). Бифуркационные значения параметра 0,,. представлены ниже [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...