Бифуркация становится положительны

В качестве примера рассмотрим бифуркацию из фокуса, при которой у двух комплексных собственных значений вещественные части становятся положительными. В этом случае мы имеем два уравнения для двух комплексных параметров порядка 1 и и -Для демонстрации основных идей эти уравнения удобно привести к виду [c.280]

В точках пересечения рассматриваемой полупрямой (16) с прямыми 1 = 0 и 2 = 0 происходят бифуркации состояний равновесия при уменьшении X сначала из фокуса х (рис. 160,10) и затем из фокуса Х2 рождаются неустойчивые предельные циклы (фокусы становятся устойчивыми) и возникает структура с тремя предельными циклами (рис. 160,9). Так как при Х = 0 предельных циклов нет (г/ = о — интегральная прямая, качественная структура эквивалентна структуре рис. 160,7), то рассуждениями, аналогичными проведенным в п. 3.4, находим, что при убывании X до нуля должны осуществиться следующие бифуркации сепаратрис возникновение петли сепаратрисы вокруг верхнего фокуса, вокруг нижнего фокуса, возникновение большой петли, содержащей внутри два состояния равновесия. Так как седловая величина положительна (Р + ( у = — ф xq) — 1 = a—1,гдеЯ — координата [c.301]

Для начала построим зависимость положения точек равновесия от а. С изменением а от положительных до отрицательных значений единственная точка равновесия распадается на три. На языке динамики единственный центр преобразуется в седловую точку в центре координат и два центра (рис. 1.15). Бифуркация такого типа называется бифуркацией типа вил. Физический смысл этого явления понятен из того, что силу — (адг + /Здс ) можно описать с помощью потенциальной энергии. Когда а становится отрицательным, потенциал с одной ямой заменяется потенциалом с двумя ямами. При этом происходит качественное изменение динамики системы, и поэтому а = О является критическим бифуркационным значением. [c.30]

Это условие является вариационной формулировкой статического критерия устойчивости, так как из него непосредственно следуют дифференциальные уравнения статического критерия. Таким образом, для исследования устойчивости можно использовать или условие (0.1), или условие (0.3). Эти условия свидетельствуют о том, что приращение энергии в точке бифуркации становится положительно полуопределенной функцией — функцией, принимающей или положительные, или нулевые значения. Можно также использовать условие минимума второй вариации [c.54]

Поведение бифуркационных кривых в зависимости от у. Другие возможные бифуркации. Проследим за изменениями в фазовом пространстве и неведением бифуркационных кривых прп переходе от малых положительных значений у к немалым в интервале 0= 7= . При возрастании у состояния равновесия О1 и О2 сближаются. Поле направлений на нижнем и верхнем полуцилиндрах монотонно поворачивается соответственно по и против часовой стрелки, и при этом устойчивые предельные циклы на верхнем и нижнем полуцилиндрах поднимаются. Если устойчивый предельный цикл на верхнем полуцилиндре существует для некоторого 70, то он будет существовать и для всех 7 > 70. Если для некоторого 70 существует петля на нижнем или верхнем полуцилиндрах, то при возрастании петля снизу разрушается без возникновения предельного цикла, а петля сверху—с возникновением устойчивого предельного цикла. Точкп -кривой, разделяющей области 1 и 2 на рпс. 180, нри возрастании 7 становятся внутренними точками области 2. При возрастании у точки -кривой становятся внутренними точками областей 3 ш 4, а точки -кривой — внутренними точками областей 4 и 7 (либо принадлежат их границе). Кривая начи-нающаяся в точке пересечения с прямой 1 + йУ 1 — = О, не существует выше прямой (иредноложение о существовании таких точек приводит к необходимости существования для двух значений 71 и уо точек пересечения кривых ( 1) и " ( уо), что невозможно из-за монотонности поворота поля на полуцилиндре при монотонном изменении у), и поэтому условие 1 + + йУ 1 — < О, может служить оценкой области существования структуры разбиения фазового цилиндра с двумя предельными циклами на верхнем полуцилиндре, представленной на рпс. 178, 7. Область 7 пространства параметров, соответствующая структуре на рис. 178, 7, с возрастанием у опускается. [c.354]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...