Бифуркация структурно устойчивая

Согласно нашему определению (использующему орбитальную эквивалентность) эта бифуркация структурно устойчива (см. упражнение 7.3.4). [c.310]

Локальные и нелокальные бифуркации. Обозначим через Х (М) банахово пространство С -гладких векторных полей с -топологией, r l, на С -гладком многообразии М, через 2 (Af)—множество векторных полей, порождающих структурно устойчивые (или грубые ) динамические системы. [c.87]

Бифуркации, названные в заглавии, приводят к возникновению инвариантных торов и бутылок Клейна, к рождению сложных инвариантных множеств со счетным числом циклов и странных аттракторов. Некоторые случаи изучены не полностью в п. 4.11 формулируются открытые вопросы. В конце параграфа рассматривается структурная устойчивость однопараметрических семейств диффеоморфизмов. [c.115]

Параметры механической системы практически никогда не бывают точно известными, а иногда могут случайным образом меняться с течением времени. Если общие свойства системы мало изменяются при малом изменении параметров и эги изменения носят лишь количественный характер, то такую систему называют структурно устойчивой (по терминологии, введенной А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным, грубой). Если малое изменение какого-либо параметра приводит к качественному изменению характера состояния системы, то ее называют структурно неустойчивой (негрубой). Таким изменениям соответствуют принципиальные изменения (бифуркация) структуры фазового пространства — появление новых положений равновесия (особых точек), предельных циклов и т. д. Значение параметра р = называют бифуркационным, если существуют сколь угодно близкие к нему значения параметра, при которых структура фазового пространства качественно отличается от структуры при р = Ро. [c.33]

Вопрос о характере зависимости движений с кратными ударами от параметров остается открытым. Данная проблема относится к так называемым С-бифуркациям [44]. В [41-44] рассмотрены некоторые случаи поведения неподвижной точки отображения (16) при изменении параметра /i в предположении, что для значений /i < О такая точка существует в области С , а при /i = О она попадает на поверхность 0(х) = 0. Полученные результаты вывести ряд необходимых условий структурной устойчивости, т. е. сохранения локальной топологической структуры фазового портрета при достаточно малых /i > 0. [c.250]

Определение 7.3.2. Семейство Д локально определенных С -диффеоморфизмов обладает структурно устойчивой бифуркацией при значении параметра т , если диффеоморфизм локально структурно [c.305]

Структурно устойчивые бифуркации в одномерных ситуациях могут быть описаны без больших затруднений. В этом случае единственное собственное значение дифференциала в неподвижной точке вещественно и, следовательно, единственно возможные собственные значения на единичной окружности равны 1. Таким образом, локальный диффеоморфизм должен иметь собственное значение 1 или —1. [c.306]

Предыдущее доказательство показывает, в частности, что не существует структурно устойчивых бифуркаций с производной единица, сохраняющих неподвижную точку. Самая простая бифуркация такого типа происходит [c.307]

В семействе х - х + тх + вблизи значения т = 0. Для т < О имеются три неподвижные точки устойчивая в ж = 0 и две неустойчивые, по одной с каждой стороны от устойчивой точки. При т = 0 они сливаются, и для т > О начало координат является изолированной отталкивающей точкой. Чтобы показать, что эта бифуркация не структурно устойчива, возмутим данное семейство следующим образом х>- х + тх + ез + х . Чтобы найти бифуркационные значения параметра, заметим, что график функции 1/ = = х + тх + ех + х касателен к диагонали у = ж в точности в тех значениях (ж, г), для которых график функции у=ех +х касателен к прямой у——тх. Как следует из рассмотрения графика у = ех + х , это имеет место для двух значений т, и в каждом из них происходит структурно устойчивая бифуркация описанного выше вида. [c.308]

Теперь рассмотрим структурно устойчивые бифуркации, когда производная обладает собственным значением —1. В этом случае неподвижная точка трансверсальна и, следовательно, сохраняется при возмущении. Естественно ожидать, что для структурно устойчивой бифуркации собственное значение меняется с меньшего чем -1 на большее чем -1 или наоборот, в то время как неподвижная точка остается изолированной. Это связано с возникновением орбиты периода два с одной стороны от бифуркационного значения. Поэтому такой тип бифуркаций называется бифуркацией удвоения периода. [c.308]

Рассуждая, как в доказательстве предложения 7.3.3, можно показать, что это структурно устойчивая бифуркация и она является единственной такой структурно устойчивой бифуркацией, что —1 есть собственное значение отображения при бифуркационном значении параметра (см. упражнение 7.3.3) [ ]. [c.309]

В случае более высоких размерностей структурно устойчивые локальные бифуркации возникают, когда одно из собственных значений дифференциала диффеоморфизма равно 1 или -1, а остальные лежат вне единичной окружности. В качестве простого примера мы опишем семейство, получающееся как прямое произведение отображений (7.3.2) с линейным сжимающим отображением. Возникающие в результате бифуркации называются бифуркациями типа седло — узел. Притягивающие и отталкивающие неподвижные точки, которые возникали в одномерном примере (7.3.2), теперь являются седлом и фокусом соответственно (см. 1.2). При приближении параметра к нулю они сливаются, и для значений параметра т > О неподвижные точки отсутствуют. Таким образом, мы получаем следующую картину (см. рис. 7.3.4). [c.309]

Самая простая нетривиальная структурно устойчивая бифуркация для потоков вблизи неподвижной точки появляется в случае размерности два, [c.309]

Покажите, что бифуркация удвоения периода — единственная структурно устойчивая бифуркация, возникающая при собственном значении — 1. [c.311]

Покажите, что бифуркация семейства (7.3.5) структурно устойчива. [c.311]

Структурная интерпретация потери устойчивости пластической деформации. Вероятностный критерий разрушения металлов. Теория самоорганизации в неравновесных термодинамических системах отводит важнейшее место моменту перехода в неустойчивое состояние. Именно в момент неустойчивости начинается переход к новому структурному состоянию, причем в этом новом состоянии свойства системы изменяются, на что мы указывали неоднократно. Но если система приобретает другие свойства, то и её развитие во времени происходит по законам, отличным от прежних. В неравновесной термодинамике момент потери системой устойчивости называют моментом бифуркации, поскольку, начиная с данного времени, система может развиваться по одному из двух возможных путей. Именно в этот момент огромное значение имеют случайные процессы, решающую роль в выборе пути развития играют флуктуации. [c.218]

Адаптация системы, реализуемая в точках бифуркаций, как будет показано в следующем разделе, обеспечивается информационным полем, возникшим в результате информационной связи между кодом устойчивости симметрии системы, в роли которого выступает одно из чисел Л() спектра обобщенной золотой пропорции, с кодом (т) хранения и переработки информации о предыдущей структурной перестройке. В роли этого кода выступает код обратной связи (т), связанный с показателем р двоичным кодом m = 2 в случае физических систем. [c.29]

Таким образом, данные зависимости энергии связи с числом атомов углерода, представленные на рис. 3.4, позволяют выделить точку бифуркаций с координатами эВ/атом и Параметры этой точки характеризуют достижение неустойчивости кластера с трансляционной симметрией и структурный неравновесный фазовый переход, при достижении которого спонтанно изменяется устойчивость структуры при достижении одной и той же прочности межатомной связи эВ/атом. Максимальной энергии связи К к. в случае п=21 отвечает минимальное критическое значение энергии связи для фуллеренов при п>21. [c.94]

Ранний период исследования нелокальных бифуркаций векторных полей на плоскости и сфере подытожен в [9], [36]. Структурная устойчивость и бифуркации векторных полей на диумерных поверхностях, отличных от плоскости и сферы, исследованы сравнительно недавно [185], [199] — [201]. С гипотезой о глобальных бифуркациях в однопараметрических семействах векторных полей на сфере (п. 2.2, гл. 3) тесно связана работа [169]. [c.209]

Виды динамических систем. По характеру ур-ний и методам исследования Д. с. делят на классы. Конечномерные и бесконечномерные (распределённые) Д. с.—системы с конечномерным и бесконечномерным фазовым пространством. В конечно-мерно.м случае консервативные и диссипативные Д. с. — системы с сохраняющимся и несохраняющимся фазовым объёмом. Г амильтоновы системы с ф-цией Гамильтона, не зависящей от времени, образуют подкласс консервативных систем. У диссипативных систе.м с неогранич. фазовым нространством часто существует ограниченная область в нём, куда попадает навсегда любая траектория. Д. с. с н е п р е-рывным временем (потоки) и Д. С. с дискретным временем (каскады) дискретность времени иногда отражает существо реального процесса (дискретность моментов прохождения импульса через усилитель п оптическом квантовом генераторе, сезонность в экологии, смена поколений в генетике н т. д.). Грубые и пегрубые Д. с. понятие грубости (структурной устойчивости) характеризует качественную неизменность типа движения Д. с. при малом изменении её параметров. Значения параметров, при к-рых система перестаёт быть грубой, наз. б и ф у р-к а ц и о н н ы м II (см. Бифуркация). При размерности фазового пространства больше 2 могут существовать целые области в пространстве пара.метров, где Д. с. оказывается негрубой. [c.626]

Сценарий Рюэлля и Такенса (1971) появление странного аттрактора после трех нормальных бифуркаций. Этот сценарий обладает структурной устойчивостью в каждой достаточно малой окрестности фазового потока с п-мерным инвариантным тором при м 3 имеется открытое множество фазовых потоков со странным аттрактором, удовлетворяющим аксиоме А (причем малость окрестности понимается в смысле С -нормы Р =тах Д Рк [c.131]

Трансверсальность сохраняется для большинства индивидуальных динамических систем. Однако нередко возникают существенные изменения структуры орбит, когда система изменяется, скажем, как гладкая функция одного или нескольких параметров. Отсутствие трансверсальности вызывает два вида неустойчивого поведения орбит неустойчивость внутри данной динамической системы и изменение качественной структуры орбит в результате малых возмущений системы. Второй аспект особенно важен потому, что обычно динамические системы, возникающие в приложениях, содержат параметры и очень важно понимать, как качественное поведение изменяется при изменении параметров. Таким образом, даже если для типичных значений параметров система не проявляет нетрансверсального поведения, например является структурно устойчивой или системой Купки — Смейла, могут существовать такие значения параметров, при которых происходит переход от одного вида структуры орбит к другому. Такие изменения обычно называют бифуркациями. Бифуркации существенны для понимания свойств типичных систем, потому что они показывают, как рождаются различные типы трансверсального или типичного поведения. Теория бифуркаций — отдельное направление теории динамических систем. Она исследует семейства динамических систем с конечным числом [c.304]

Предложение 7.3.3. Бифуркация семейства (7.3.2) структурно устойчива, и в случае размерности один любая локальная структурно устойчивая бифуркация, происходяи1,ая в неподвижной точке, в которой производная отображения равна единице, топологически эквивалентна (с точностью до изменения параметра) этой бифуркации. [c.306]

Чтобы убедиться, что это единственно возможная структурно устойчивая бифуркация с собственным значением единица, допустим без потери общности, что бифуркация происходит в точке нуль и что бифуркационное значение параметра равно нулю. Сначала покажем, что касание в точке бифуркации невырождено, т. е. наличествует нетривиальный квадратный член. Если касание имеет более высокий порядок, то /о(ж) = а 4- о(ж ). Тогда мы можем рассмотреть возмущение = Л 4- ех . Но для любого е > О и достаточно малых т, и Тг отображения и не сопряжены посредством близкого к тождественному гомеоморфизма. [c.307]

С предельными линиями тока на поверхности, представляющими векторное поле, можно связать фазовый портрет вектора вязких напряжений. Если отображение одного фазового портрета на другой сохраняет траектории, то фазовые портреты имеют одну и ту же топологическую структуру. Топологические свойства не меняются при отображениях, которые сохраняют траектории. Под топологическими свойствами понимают число и тип особенностей, траектории, соединяющие особые точки. Топологические свойства образуют структуру. Фазовый портрет является структурно устойчивым, если при изменении некоторого параметра (например, числа Рейнольдса) топологическая картина не меняется. Если небольшие возмущения при изменении параметра стремятся к нулю при /- оо, то течение асимптотически устойчиво. Асимптотическая не-З стойчивость приводит к бифуркации топологической картины, нарушению симметрии, диссипативным структурам. [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...