Мультипликатор —1 и бифуркация удвоения периода

Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движением при переходе мультипликатора через —1. Равенство л = —1 означает, что начальное возмущение через интер)зал времени То меняет знак, не меняясь по абсолютной величине еще через период То возмущение перейдет само в себя. Таким образом, при переходе ц через значение —1 в окрестности предельного цикла с периодом То возникает новый предельный цикл с периодом 2То — бифуркация удвоения периода ). На рис. 20 условно изображены две последовательные такие бифуркации на рисунках а, б сплошными линиями показаны устойчивые циклы периодов 2То, 47 о, а штриховыми — ставшие неустойчивыми предыдущие циклы. [c.170]

Мультипликатор —1 и бифуркация удвоения периода. [c.45]

Каскад удвоений. Последовательность бифуркаций удвоения- в однопараметрических семействах происходит следующим образом. Устойчивый первоначально цикл — аттрактор теряет устойчивость с прохождением мультипликатора через —1. В этот момент от него ответвляется, в типичном семействе систем, устойчивый цикл вдвое большего, в момент бифуркации, периода он замыкается после двух обходов теряющего устойчивость цикла (п. 1.2). При дальнейшем изменении параметра новый цикл испытывает ту же бифуркацию удвоения, затем родившийся аттрактор, с примерно четырехкратным, периодом, удваивается еще раз и т. д. Оказывается, весь этот каскад удвоений, в бесконечном количестве, происходит в типичном семействе на конечном отрезке изменения параметра. Более того, промежутки между последовательными удвоениями убывают асимптотически в геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии универсален — не зависит от рассматриваемого [c.79]

Если один из мультипликаторов устойчивого периодического движения при изменении параметра проходит через —1 (малое возмущение за один оборот по траектории просто меняет знак), то через следующий оборот возмущенная траектория, очевидно, уже замыкается (рис. 15.13) — из периодического движения рождается устойчивое периодическое движение удвоенного периода, а исходное становится неустойчивым. Родившееся периодическое движение при изменении параметра (и снова может потерять устойчивость через бифуркацию [c.320]

Перестройки неподвижных точек. Аналогичные каскады удвоений наблюдаются в типичных семействах диффеоморфизмов неподвижная точка, устойчивая при значениях параметра, меньших первого критического, теряет устойчивость при прохождении мультипликатора через —1 с образованием устойчивого цикла периода 2, затем этот цикл теряет устойчивость с -образованием устойчивого цикла периода 4 и т. д. Промежутки между последовательными бифуркациями убывают, как и для систем с непрерывным временем. [c.80]

Преобразование (32,5) имеет неподвил<ную точку — корень уравнения х, = 1 —Хх . Эта точка становится неустойчивой при X > Л[, где Ai — значение параметра Х, для которого мультипликатор (х = —2Я,л , = —1 из двух написанных уравнений находим Л = 3/4. Это — первое критическое значение параметра Х, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант затем будут сформулированы точные утверждения. [c.173]

Если при Re—Re2 r один из мультипликаторов переходит через единичную окружность в точке р=—1, то i/(ti)(o ( ) =—о) ( ), т. е. малое возмущение за один оборот по траектории Uo(x)-f -f-Ui(x, t) просто меняет знак. Тогда через следующий оборот получится 0) (/-f-2Ti) =—i/(ti)(o (/) =(о (/), т. е. возмущенная траектория замкнется. Таким образом, в этом случае при Re = Re2 r происходит бифуркация удвоения периода — из периодического движения с периодом ti рождается устойчивое периодическое движение с удвоенным периодом 2ti, а исходное движение становится неустойчивым (рис. 2.10в). Таким же образом затем может произойти следующая бифуркация удвоения периода и т. д. [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...