Смена устойчивостей

На рис. 7.34 и 7.35 изображены фазы двух различных типов бифуркаций взаимно однозначного отображения, для которого / (х) 0. На рис. 7.34 изображена бифуркация, при которой происходит рождение или исчезновение двух циклов из двукратных неподвижных точек. Рис. 7.35 изображает бифуркацию смены устойчивости однократной неподвижной точки, при которой одновременно происходит рождение или исчезновение цикла двукратных неподвижных точек. [c.287]

В таких случаях говорят о смене устойчивостей. Экспериментальные данные, а также числовые результаты для ряда частных случаев, дают основание считать, что это свойство имеет для рассматриваемого движения общий характер и не связано с малостью h. [c.145]

Смена устойчивости устойчивого предельного цикла на торе — удвоение периода, либо рождение тора. В этом случае существует значение ei8i Те не является гладким, неустойчивое многообразие седлового цикла накручивается на устойчивый цикл, а не гладко примыкает к нему. [c.161]

Еще одним фактором существенного изменения условий развития энергетики СССР является нестабильность мировых цен на нефть и нефтепродукты. При всей благоприятности для СССР конъюнктуры мирового энергетического рынка, сложившейся в середине 70-х гг., резко возросшие цены на нефть вызвали большие трудности для других стран-членов СЭВ, и это выдвинуло перед Советским Союзом сложные задачи защиты стран социалистического содружества от неблагоприятного влияния капиталистического рынка. Анализ показывает, что современное снижение мировых цен на нефть является временным и должно неизбежно смениться устойчивым ростом цен в 90-е гг. По-видимому, это потребует от СССР в дальнейшем существенного изменения сложившегося распределения высококачественного топлива, особенно нефти, между потребителями внутри страны и экспортом в социалистические и капиталистические страны. [c.26]

Теперь поведение неидеальной системы можно охарактеризовать следующим образом (см. рис. 18.66). Если нагрузка возрастает от нуля до уровня р, то равновесие описывается участком ОА диаграммы. При значении нагрузки р происходит перескок системы в новое устойчивое положение (скачок А - В ). Дальнейшему нагружению отвечает на диаграмме участок В С. При разгрузке система следует участку D и в момент, когда р = р , происходит смена устойчивых положений равновесия (скачок D - E ). После разгрузки E F ) и нагрузки Е О) система возвращается в начальное состояние. [c.403]

Бифуркации смены устойчивости периодич. д в и ж е н и й. Важной характеристикой Б. смены устойчивости периодич. движений (табл. 2) являются значения мультипликаторов в кри-тич. момент, к-рые представляют собой коэф. усиления (затухания) малых возмущений на фоне рассматривае- [c.211]

Рис. 58. Периодическая смена устойчивости и неустойчивости в процессе самоорганизации диссипативной структуры (а) [126] и фрактальная модель высокодисперсных дендритных частиц железа (б) [50]

Рис. 58. Периодическая смена устойчивости и неустойчивости в процессе <a href="/info/540619">самоорганизации диссипативной структуры</a> (а) [126] и фрактальная модель высокодисперсных дендритных частиц железа (б) [50]

Уравнение (5.68) описывает границу области устойчивости (неустойчивости) для решения, которое характеризуется соотношением (5.55). Смена устойчивых и неустойчивых ветвей решения по (5.68) происходит в предельных точках при условии [c.157]

При действии на оболочку внутреннего давления устойчивость силового поля в большей мере определяется физической нелинейностью. Смена устойчивой ветви на неустойчивую в таких [c.150]

Очень интересным является факт смены устойчивого режима колебаний, что связано с переменой знака Ф2(б). Функция Ф2(б) была подсчитана численно. Оказалось, что она монотонно убывает и проходит через нуль при б 0,682 (рис. 15). Таким образом, периодическое решение — стационарный режим вращения спутника с периодом вращения, равным периоду обращения,— [c.95]

А. Пуанкаре при разработке основ теории бифуркации равновесий механических систем, находящихся под действием сил, производных от силовой функции, зависящей от параметра. Теоремы Пуанкаре о числе реальных ветвей кривой равновесий, проходящих через точку бифуркации, и о законе смены устойчивости были обобщены Н. Г. Четаевым [c.34]

В. В. Белецкий, 1965). Ф. Л. Черноусько (1963) рассмотрел асимптотические решения уравнения (6.3) как при малых е, так и при любых е, но малых п . В последнем случае обнаружена, в частности, смена устойчивости 2я-периодического решения при е > 0,682, когда становится устойчивым решение, отвечающее < 0 при этом в перигее ось наи-(меньшего момента инерции направлена по касательной к орбите. Если же е < 0,682, то устойчиво периодическое решение, при котором в перигее ось наименьшего момента инерции направлена по радиусу-вектору (тг2>0). [c.290]

Исследование свойств функционала потенциальной энергии можно заменить систематическим рассмотрением смены форм равновесия при изменении параметров системы. Соображения, близкие к известной теории бифуркаций А. Пуанкаре (1884 г.), приводят к статическому методу в теории устойчивости упругих систем. Этот метод позволяет свести исследование устойчивости к отысканию точек разветвления и предельных точек. В окрестности точки разветвления наряду с исследуемой формой равновесия сущ ествуют некоторые смежные формы. При переходе через эту точку может происходить потеря устойчивости по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной формы равновесия к другой. Анализ типов предельных точек и смен равновесных состояний упругих систем можно найти в работах Г. Ю. Джанелидзе (1955), И. И. Гольденблата (1965) и др. Основную трудность в применении метода бифуркаций упругих систем составляет выбор параметров, характеризуюш их состояние системы. Строго говоря, наличие точек бифуркации не является ни необходимым, ни достаточным условием смены устойчивости. Достоверность выводов, основанных на бифуркационных соображениях, можно повысить, если увеличить число параметров. Но при этом утрачивается главное преимущество бифуркационного метода — геометрическая наглядность. [c.336]

Замечание 1. Из проведенного рассмотрения очевидно следует, что сведений о смене устойчивости фокуса (т. е. знания [c.186]

Эти случаи — смены устойчивости фокуса — представляют особенный интерес для приложений. [c.186]

Эти случаи совершенно различны с точки зрения приложений в случае а) при смене устойчивости фокуса появляются автоколебания с малой амплитудой, а в случае б) имеет место срыв изображающей точки. [c.187]

V. Рассмотрим случай смены устойчивости фокуса без рождения предельного цикла, когда бифуркационному значению параметра Я = Яо соответствует консервативная система. [c.189]

Тогда при переходе от значений Я < ц) к значениям X > Хо смена устойчивости фокуса может осуществляться без рождения предельного цикла. Простейший пример такой бифуркации дает линейная система вида [c.190]

Доказанная единственность предельного цикла позволяет утверждать, что при смене устойчивости особой точки в начале координат предельный цикл стягивается в особую точку. [c.248]

Структуры разбиения фазового пространства и бифуркации при изменении параметров вдоль прямой смены устойчивости фокуса х. Проследим за бифуркациями и изменением качественной структуры разбиения фазов.эго пространства при из-менении параметров вдоль прямой Ь = 0. [c.296]

При дальнейшем убывании Я на интервале 0<Яо<Яо смены устойчивости состояний равновесия не происходит, но при Я = О циклов уже нет (при Я = О существует интегральная прямая г/ = 0, проходящая через все состояния равновесия). Предельные циклы могут исчезнуть, только превратившись в петли сепаратрис или слившись с циклами, вновь возникшими из петель сепаратрис. Существенно, что циклы вокруг фокусов и цикл, охватывающий все три состояния равновесия, имеют разную устойчивость. В соответствии со знаком седловой величины (гл. 11) только неустойчивые циклы, охватывающие состояния равновесия, могут превратиться (и обязательно превратятся при некотором Я = Я ) в петли сепаратрис. Эти две петли (возникающие одновременно, так как Ь = 0 — линия симметричных структур) можно рассматривать как одну вырожденную большую петлю, от которой при ее разрушении с убыванием Я возникает неустойчивый же предельный цикл, охватывающий три состояния равновесия. При некотором Я = Я <Я+ предельные циклы, охватывающие три состояния равновесия, сливаются и при убывании Я исчезают. [c.298]

Для того чтобы получить на плоскости ( оь ог) кривую, соответствующую о == О (смене устойчивости), нужно исключить т и д из уравнений [c.307]

Слияние особых точек — простейшая бифуркация системы (1). Другие возможные бифуркации связаны со сменой устойчивости состояния равновесия О3, с бифуркациями сепаратрис (сепаратрисы, идущие из седла в седло) и появлением предельных циклов из бесконечности, из петли сепаратрисы, из сгущения траекторий и из сепаратрисы особой точки седло-узел. Все эти бифуркации могут быть прослежены для системы (1). [c.314]

Н. Н. Баутин показал, что уравнения (5.128) предельных циклов не имеют и при смене устойчивости точка Pi будет центром. Для достаточно больших и vi v. [c.204]

Пусть со не меняется и не происходит бифуркаций слияния неподвижных точек. Тогда возможные изменения будут состоять только в изменениях неподвижных точек и расположениях сепаратрисных кривых. При этом седло-вые точки должны оставаться седловыми. А узлы могут переходить в фокусы и обратно. Фокус может сменить устойчивость, и при этом от него отделится либо обычный, либо стохастический синхронизм. При смене взаимного расположения сепаратрис может произойти возникновение стохастического синхронизма. Эта бифуркация в суженном виде будет в дальнеЙ1ием рассмотрена отдельно. Сейчас же ограничимся ее изображением на рис. 7. ПО. [c.364]

Смена устойчивостей 145 Соотношение Эйнштейна 332 Сопло Лаваля 504 Спиновая дето1ьчция 684 Струя вязкой жидкости, затопленная 118 [c.732]

Любина А. Д., Применение теории Пуанкаре о точках бифуркации и смене устойчивости к простейшим автоколебательным системам. ЖЭТФ, 1935, вып. 5, 3- , 296—309 [c.210]

Возникновение безразличного состояния равновесия рассматриваем как потерю устойчивости первоначальной формы равновесия. Если увеличивать силу Р (Р > Р,), то постепенно возрастает искривленность стержня. Попытка отклонить стержень от искривленной формы, соответствующей уровню нагрузки Р (Р > Р ), приводит к тому, что стержень, после затухающих колебаний около этой искривленной формы, или монотонно, возвращается к ней — эта искривленная форма при Р > Р является устойчивой, т. е. при Р = Р произощла смена устойчивых форм равновесия при Р < Р устойчивой была прямолинейная форма, при Р > Р,— искривленная. [c.289]

При разгрузке две рассматриваемые системы ведут себя также по-разному. При уменьшении нагрузки первая система в обратном порядке проходит все этапы нагружения в точке бифуркации устойчивое отклоненное положение равновесия сменяется устойчивым неотклоненным положением (рис. 1.10, а). Вторая система проходит через новую точку бифуркации В2, где становится неустойчивым отклоненное положение равновесия. При достижении точки бифуркации система возвращается в исходное положение путем перескока (рис. 1.10, б). В таких случаях точку Bi иногда называют верхней критической точкой, соответствующее ей значение нагрузки — верхним критическим значением. Точку 5а называют нижней критической точкой, соответствующее ее значение нагрузки — нижним критическим значением нагрузки. Эти значения нагрузок будем соответственно обозначать (или Р р) и f 2кр- Так, в рассмотренном примере = = с1 и Ракр = —с/. [c.17]

Табл. 2 —Бифуркации смены устойчивости периодических дхп хсппй

Переход через е) иничное значение абс. величин одного или неск. мультипликаторов при Нзмененнн параметров динамич. системы свидетельствует о бнфтркацви смены устойчивости или исчезновения П. ц. [c.100]

При непрерывном возрастании определяющего параметра происходит (при р = рз) смена устойчивого стационарного режима, когда система из состояния равновесия переходит в установившийся режим, соответствующий движению по усгойчивому предельному циклу. Если после достижения значения р > Рз начинается постепенное уменьшение определяющего параметра, то автоколебания исчезают при р = Pi (а не при р = Рз), после чего стационарным режимом является состояние равновесия. Это явление называется затягиванием автоколебаний. [c.32]

Условие (4.18) соответствует также точке перегиба, не прелставляющей интереса с точки зрения качественной смены устойчивых и неустойчивых равновесных конфигураций. [c.134]

Нагрузка собственного состояния eig-, отвечающая за смену устойчивых и неустойчивых равновесных конфигураций для нелинейных тел из упругопластических материалов, называется приведенно-модулъной нагрузкой или нагрузкой Энгессера — Кармана. Принимая критерий равноактивной бифуркации, неравенство в условии теоремы 5 можно заменить более простым Ас < Аегр. [c.145]

Смена устойчивости состояний равновесия О, и Ог происходит при переходе через границу Л и и поэтому сопровождается либо влипанием в них неустойчивых седловых периодических движений, либо рождением устойчивых периодических движений. Что именно произойдет, зависит от знака ляпуновской величины. Ее подсчет дает, что имеет место влипание неустойчивого периодического движения. При Ъ = 8/3 и о = 10 потеря устойчивости состояниями равповесия и одновременное влипание в них неустойчивых седловых периодических движений и согласно (3.6) происходит при г = 24,74. [c.186]

Дальнейший рост параметра ц приводит к исчезновению сначала устойчивого синхронизма /, а затем через бифуркации типа Л +1 происходит смена устойчивости синхропизмов А и А . [c.208]

Может оказаться, что при этом одновременно будет а (Rei r) = ==0, так что и в целом X (Rei r)=0, значит, A t) = и и(х, t) = = fo(x), т. е. возмущенное поле скорости Uo(x)+u(x, /)=uo(x)-b + fo(x) описывает новое стационарное течение тогда говорят, что при Re = Rei r происходит бифуркация смены устойчивости. Такая бифуркация наблюдается, например, при развитии термической конвекции в слое жидкости, подогреваемом снизу (где из состояния покоя uo(x)=0 сначала образуется стационарная конвекция в виде роликов или ячеек Бенара), а также в течении Тэйлора,, т. е. круговом течении Куэтта между двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами (где из стационарного ламинарного течения образуются стационарные тороидальные роликовые вихри Тэйлора). Эти течения мы подробно рассмотрим ниже. [c.97]

В заключение этого параграфа в качестве примера сложного поведения течения при росте числа Рейнольдса перечислим бифуркации следа за перпендикулярным набегающему потоку цилиндром кругового сечения (ср. Морковин (1964)). При Re lO происходит смена устойчивости и вместо монотонного плавного обтекания за цилиндром образуется пара стационарных вихрей. При Re > 40 эти вихри начинают поочередно отрываться от цилиндра,, замещаясь новыми вихрями, и уплывать вниз по течению, образуя вихревую дорожку Кармана, При Re > 100 вихри заменяются быстро турбулизирующимися областями поочередно отрывающихся пограничных слоев. При Re > 10 пограничные слои турбулизируются еще до отрыва, точка отрыва продвигается вниз по течению,, турбулентный след сужается и сопротивление уменьшается кризис сопротивления). При Re lO турбулентный след расширяется и сопротивление растет. Наконец, при Re lO след начинает колебаться, как целое. При наличии у жидкости свободной поверхности все эти явления могут видоизменяться, и на них еще наложатся так называемые корабельные волны. В стратифицированной жидкости все они будут сопровождаться генерацией различных видов внутренних волн. [c.123]

Дальнейшее упрощение задачи при п = 0 связано с тем, что, как было установлено эмпирически, а затем и доказано Ии (1972), системе (2.104а) (в отличие от (2.104)) отвечают лишь чисто мнимые собственные значения о). Таким образом, здесь выполняется принцип смены устойчивости, все волновые возмущения с п = 0 стационарны и, значит, при расчете нейтральной кривой можно с самого начала считать, что о) = 0. [c.140]

Н. Г. Четаев (1926) исследовал вопрос о существовании непрерывной последовательности устойчивых фигур равновесия однородной в каждый момент времени вращающейся жидкой массы, находящейся под действием сил ньютоновского притяжения, сил лучистого сжатия к центру тяжести с постоянной скоростью и постоянного давления на свободной поверхности. Для выделения устойчивой последовательности фигур равновесия автор использовал теорему Лагранжа об устойчивости равновесия, которую доказал применительно к рассматриваемой системе. Несколько позднее Четаев (1931), пользуясь теоремой Ляпунова об устойчивости фигур равновесия, доказал, что если существует не бесконечно малый нижний предел для массы отдельных тел, на которые под влиянием сил ньютоновского притяжения и центробежной может распасться некоторая масса однородной несжимаемой жидкости, то для этой массы существует по крайней мере одна устойчивая фигура равновесия. Далее автор доказал две важные общие теоремы о числе реальных ветвей кривой ] авновесия механической системы, проходящих через точку бифуркации и о смене устойчивости. Частные случаи указанных теорем были установлены [c.32]

На рис. 158 жирной линией изображена дпскрими-нантная крпвая, прямые смены устойчивости 1 = 0 и 2 = 0 (соответственно для фокусов Xi и Х2) и линия симметричных структур L = =0, проходящая через точку пересечения 1 = 0 я 2 = 0 (штриховая кривая соответствует наличию двукратного предельного цикла, что будет доказано ниже). [c.296]

Слияние и исчезновение особых точек — простейшая бифуркация, возможная в системе (1). Другие возможные бифуркации связаны со сменой устойчивости состояния равновесия Oi, с бифуркациями сепаратрис, идущих из седла в седло (при этом появляются илн исчезают предельные циклы) и появлением предельных циклов из сгущения траекторий, из сепаратрисы особой точкп седло-узел и из бесконечности. Все эти бифуркации могут быть прослежены для системы (1). Знание всех бифуркаций позволяет дать разбиение пространства параметров у > О, Я > О, d на области с различной структурой разбиения фазового пространства на траектории. [c.346]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...