Точка бифуркации первая

В дальнейшем нам будут встречаться критические точки бифуркации двух рассмотренных выше основных типов. В критической точке бифуркации первого типа исходная устойчивая форма равновесия сменяется другой устойчивой формой равновесия, причем точка бифуркации первого типа соответствует устойчивому равновесию (например, точка на рис. 1.10, а). В критической точке бифуркации второго типа исходная устойчивая форма равновесия сменяется другой неустойчивой формой равновесия, причем и точка бифуркации второго типа соответствует неустойчивому равновесию (например, точка В на рис. 1.10, б). [c.17]

Критические точки бифуркации первого типа характерны для задач устойчивости упругих стержней и пластин, критические точки бифуркации второго типа — для задач устойчивости тонких упругих оболочек. Критические предельные точки характерны для задач устойчивости пологих оболочек и тонких упругих оболочек с начальными геометрическими несовершенствами. [c.18]

На рис. 1.12, в показан вид правых ветвей в окрестности точки бифуркации для нескольких различных значений начального угла отклонения фо. Вид кривых позволяет сделать два важных вывода о поведении рассматриваемой системы с начальными геометрическими несовершенствами. Во-первых, точка бифуркации первого типа существует только в случае предельно идеализированной системы, когда фо = 0. При любых не равных нулю значениях фо точка бифуркации исчезает и с ростом нагрузки угол ф монотонно увеличивается без качественных изменений форм равновесия. Во-вторых, если фо 1, то быстрый рост фп происходит только с приближением нагрузки к ее критическому значению, соответствующему точке бифуркации идеализированной системы при фо = 0. При малых нагрузках [c.19]

Поведение значительно более сложных упругих систем аналогично поведению рассмотренных простейших систем с начальными несовершенствами. Так, если предельно идеализированная система без начальных несовершенств имеет критическую точку бифуркации первого типа, то поведение реальной системы с начальными несовершенствами вблизи этой точки бифуркации аналогично поведению первой из рассмотренных простейших систем (см. рис. 1.12). Если предельно идеализированная система без начальных несовершенств имеет критическую точку бифуркации второго типа, то поведение реальной системы вблизи этой точки бифуркации аналогично поведению второй из рассмотренных простейших систем (рис. 1.13), [c.21]

Однородные линеаризованные уравнения теории упругой устойчивости — основной рабочий инструмент этой теории — относятся к разделу математики, называемому задачи на собственные значения (см. приложение I). Кроме однородных линеаризованных уравнений, служащих для определения точек бифуркации, в теории упругой устойчивости широко применяют неоднородные линеаризованные уравнения для приближенного описания поведения систем с начальными неправильностями при малых, но конечных значениях отклонений. Такие уравнения достаточно полно характеризуют поведение систем вблизи точек бифуркаций первого типа (см., например, 18). [c.26]

Критическая точка бифуркации исходной формы равновесия идеально прямого стержня является точкой бифуркации первого типа (см. 3) и изгибная форма равновесия в окрестности критической точки бифуркации устойчива. В тех случаях, когда идеально правильная система имеет критическую точку бифуркации первого типа, влияние начальных неправильностей можно оценить с помощью линеаризованных неоднородных уравнений. [c.127]

Величина является положительно определенной, т. е. П 4 > О при любых способах закрепления и нагружения пластины. Поэтому критическая точка будет точкой[бифуркации первого типа (рис. 5.9, а). [c.217]

Тонкие упругие пластины имеют критические точки бифуркации. первого типа, и начальные геометрические неправильности влияют на их поведение подобно тому, как это изображено на рис. 1.12,6. [c.219]

Рассмотрим закритическое поведение кругового кольца. Выше определены критические точки бифуркации исходной формы равновесия кругового кольца при нескольких случаях его нагружения. Более детальное изучение закритического поведения кольца в окрестности критической точки бифуркации показывает, что при потере устойчивости кольцо ведет себя подобно сжатому стержню, продольные перемещения которого не стеснены (см. 17). Следовательно, критическая точка бифуркации кольца Ах оказывается точкой бифуркации первого типа, а малейшее превышение критической нагрузки приводит к резкому нарастанию прогибов кольца (рис. 6.8). Если имеется несколько дополнительных жестких опор, препятствующих перемещениям кольца, то его поведение после потери устойчивости будет иным. В том случае, когда число опор четное и они равномерно распределены по окружности кольца, критическое значение гидростатической внешней нагрузки определяется по следующей формуле (в случае нечетного числа опор нельзя пользоваться полученным выше решением для незакрепленного кольца) [c.235]

Если закрепления краев упругой оболочки таковы, что допускают чисто изгибную деформацию оболочки без удлинений и сдвигов ее срединной поверхности, то оболочка тоже имеет критическую точку бифуркации первого типа и при потере устойчивости ведет себя аналогично сжатому стержню или круговому кольцу. В этом случае существует тоже только одно критическое значение нагрузки, при превышении которого оболочка плавно, без хлопков переходит в новое возмущенное состояние равновесия. [c.269]

Проведенный выше анализ показывает, что на отрезке значений 0 от Ok до ап наряду с продолжением основного процесса монотонного сжатия, который оказывается за точкой а неустойчивым, имеется продолжение, описываемое формулой (7.7) (рис.4). Каждая точка интервала [la, ап] отвечает неединственности решения для приращений и является точкой разветвления или бифуркации процесса деформирования. В дальнейшем такие точки будем называть точками бифуркации первого порядка, или, сокращенно, точками Б1. Здесь индекс 1 отмечает, что в деле замешаны. первые приращения внутренних параметров. Соответственно этому точка, определяемая критерием Эйлера, может быть названа точкой бифуркации нулевого порядка (БО), или точкой бифуркации состояния. Последнее наименование широко распространено, хотя буквальная расшифровка его при учете непрерывности процессов затруднительна. Пользуясь данной терминологией, можно сказать, что если критерий Эйлера — это критерий бифуркации состояния (БО), то использованное в предыдущем параграфе предложение составляет критерий бифуркации процесса (Б1). [c.20]

Наличие такого очертания у новых ветвей на диаграмме Р — возникающих в (первой) точке бифуркации, при котором выполняются следующие условия [c.304]

Если имеется не одна точка бифуркации, то критическая точка совпадает с той точкой бифуркации, которая встречается первой при возрастании нагрузки. [c.304]

Полученный здесь вывод справедлив и для систем с любым числом степеней свободы, в том числе и для систем с бесконечным числом степеней свободы, а именно критическая точка совпадает с первой точкой бифуркации. При значениях нагрузки ниже соответствующей этой точке первоначальная форма равновесия системы устойчива. [c.325]

Эта форма равновесия становится безразличной в критической точке (в первой точке бифуркации) и неустойчивой на всем протяжении оси параметра нагрузки выше первой точки бифуркации. Возникающие в первой точке бифуркации новые формы равновесия устойчивы. Формы же равновесия, возникающие во всех остальных точках бифуркации, неустойчивы. Точки бифуркации могут быть найдены как из нелинейных уравнений, так и из линеаризованных уравнений равновесия системы в отклоненном от первоначальной формы положении. [c.325]

Метод Эйлера применим к анализу таких типов потери устойчивости, т. е. таких явлений, которые характеризуются наличием возможности перехода от одной формы равновесия к другой, бесконечно близкой к ней, при фиксированной нагрузке (т. е. равенство нулю производной Р/й/ при некотором значении Р, где Р — сила, а [ — характерный параметр деформации системы). В то же время этот метод не может быть применен в тех случаях, когда потеря устойчивости формы равновесия состоит в переходе не к другой форме равновесия, а к колебательному движению. Остановимся на вопросе о применимости метода Эйлера в случае, если потеря устойчивости принадлежит типу перехода к новой устойчивой форме равновесия, но посредством скачка. Можно отметить два характерных варианта. Водном из них этот переход происходит в точке бифуркации, до которой (Р < Р ) зависимость Р — / линейна. В другом — переход происходит в предельной точке, до которой (Р < Р,) зависимость Р—[ нелинейна. В первом случае метод Эйлера позволяет найти Р, во втором же — этот метод неприменим. [c.372]

Таким образом, в интервале изменения нагрузки —1 < р < 1 система может иметь четыре положения равновесия два вертикальных ф = о, ф = я и два наклонных, характеризуемых условием (18.123) при этом вертикальные положения устойчивы, а наклонные неустойчивы. Вне указанного интервала возможны только два вертикальных положения ф = 0 и ф = я, из них первое устойчиво при р < 1, а второе при р > —1. Пусть нагрузка р увеличивается от нулевого значения. Тогда точка бифуркации Лб (см. рис. 18.61, а) имеет смысл границы устойчивости вертикального положения ф = 0. Исходящие из этой точки три положения равновесия — первоначальное вертикальное и два новых наклонных, а также равновесие, соответствующее самой точке бифуркации, — все неустойчивы. Такой же смысл имеет точка бифуркации С1 для вертикального положения ф = я, если нагрузка р убывает от нуля. [c.397]

Согласно этой формуле, П > О при р > р и П < О при р < р, что и означает устойчивость в первом случае и неустойчивость во втором. Самой точке бифуркации, как видно из выражения [c.416]

Если потеря устойчивости принадлежит типу, которому отвечает диаграмма Р — /с точкой бифуркации, то в системах с числом степеней свободы более одной число точек бифуркации на оси Р равно числу степеней свободы, но критической из них является одна — первая (В]), ближайшая к началу координат. Кроме того, все формы равновесия, возникающие в точках бифуркации Вг, Вз,. .., неустойчивы. О том, устойчивы или неустойчивы формы равновесия, возникающие в точке Вь сказано выще. [c.467]

В первой, вводной главе, важнейшие понятия теории упругой устойчивости — точка бифуркации, критическая нагрузка, линеаризованное уравнение, граница области устойчивости и энергетический критерий устойчивости — введены и проиллюстрированы на примерах упругих систем с одной-двумя степенями свободы, подобно тому, как это обычно делается в теории механических колебаний. Кроме того, в первой главе рассмотрены ограничения и допуш.ения, используемые обычно при формулировке и решении задач устойчивости тонкостенных элементов силовых конструкций. [c.7]

По результатам анализа влияния начальных отклонений на поведение этой системы можно сделать следуюш,ие выводы. Во-первых, критическая точка бифуркации второго типа В , существующая только для предельно идеализированной системы, [c.20]

Как видим, снова получена система уравнений (1.29), определяющая точки бифуркации исходного состояния равновесия. Но теперь можно утверждать, что значение Р , соответствуюш,ее первой точке бифуркации, является критическим, т. е. в рассмотренной задаче [c.29]

На рис. 1.17 схематично поясняются два варианта вывода уравнений (1.29). В первом варианте (рис. 1.17, а) использовали условие стационарности полной потенциальной энергии системы в состоянии равновесия, смежном с исходным. Во-втором варианте (рис. 1.17, б) исследовали знак изменения полной потенциальной энергии кЭ при отклонениях системы от исходного состояния равновесия. Оба варианта решения приводят к одной и той же критической точке бифуркации Ai- [c.29]

На этом примере показана интересная и важная особенность задач устойчивости. Задачи устойчивости в принципе нелинейны. Классическую постановку задачи о точках бифуркации упругого равновесия можно рассматривать как первое приближение полной нелинейной задачи. Для дальнейшего уточнения классической постановки необходимо тщательно и всесторонне изучать все нелинейные факторы, которые могут оказать влияние на окончательный результат решения. Поэтому достоверные уточнения классической постановки задач устойчивости удается сделать только для некоторых частных задач [11, 26]. [c.37]

Вариационная формулировка условий устойчивости упругого тела может быть получена двумя различными способами (см. 5). Первый способ основан на определении условий, при которых в окрестности начального невозмущенного состояния равновесия может существовать новое возмущенное состояние равновесия, т. е. на определении вариационным методом точек бифуркации начального состояния равновесия. Второй способ связан с непосредственным исследованием устойчивости начального состояния равновесия с помощью теоремы Лагранжа. [c.47]

Это уравнение степени N дает N собственных значений которые приближенно соответствуют N первым точкам бифуркации исходной задачи устойчивости стержня. Наименьшее из найденных собственных значений приближенно равно критической нагрузке, т. е. Кр (Рп) mln- [c.66]

Из условия стационарности ДЭ (или из условия АЭ = О при дополнительном требовании минимума критической нагрузки) можно найти (точно или приближенно) точки бифуркаций прямолинейной исходной формы равновесия стержня. В частности, из условия стационарности следует основное линеаризованное уравнение (3.4) и возможные для этого уравнения граничные условия. Действительно, приравняв нулю первую вариацию изменения ЛОЛ ной потенциальной энергии АЭ, получим (см. приложение 11) [c.92]

Линеаризованные уравнения, использованные выше при решении задач устойчивости стержней, дают возможность находить собственные функции задачи и собственные значения параметра нагрузки. Наименьшее собственное значение равно критическому значению нагрузки, а соответствующая ему собственная функция описывает форму изогнутой оси стержня в окрестностях первой точки бифуркации. Но однородное линеаризованное уравнение не может дать никакой информации о характере критической точки бифуркации и о поведении стержня при конечных прогибах после потери устойчивости. [c.118]

При малых, но конечных прогибах стержня естественно предположить, что в окрестности первой критической точки бифуркации форму изогнутой оси стержня можно аппроксимировать первой собственной функцией. Поэтому решение нелинейной задачи в первом приближении будем искать в виде [c.120]

В случае жестких опор критическая точка бифуркации является критической точкой первого типа, но при дальнейшем увеличении внешней нагрузки кольцо ведет себя подобно стержню с закрепленными относительно продольных смещений концами (см. 17). Поведение кольца усложняется тем, что в процессе нагружения происходит перестройка формы равновесия кольца от бифуркационной формы, изображенной штриховой линией на рис. 6.9, а, к форме равновесия, при которой кольцо зависает на жестких опорах (рис. 6.9, б), продолжая воспринимать возрастающую внешнюю нагрузку. [c.236]

Во-первых, у оболочки в окрестности критической точки бифуркации В нет новых устойчивых статических состояний равновесия. Новые устойчивые состояния равновесия удалены (участок В ,В) от начального устойчивого состояния (участок OZ i) на конечные расстояния. Поэтому переход оболочки в новое состояние равновесия не может произойти плавно такой переход неизбежно должен носить скачкообразный характер, происходить в виде хлопка. [c.246]

В методе интегральных спектральных представлений детерминистические операции на первом этапе, по существу, отсутствуют. После подстановки в исходные уравнения стохастических интегралов Фурье, представляющих случайные функции, необходимо выполнить операцию осреднения, в результате которой происходит переход к вероятностным характеристикам изучаемых полей. Нагрузка на оболочку выступает здесь как детерминированный параметр критическое значение этого параметра определяет точку бифуркации решения нелинейной задачи относительно статистических характеристик поля перемещений. [c.220]

В предыдущих главах показано, что критические точки бифуркации начальной формы равновесия идеально правильных стержней, пластйн и круговых колец относятся к точкам бифуркации первого типа (см. 3). [c.268]

На рис. 15.4 (6 = 0) эти же зависимости приведены для упругопластических систем. Из рис. 15.4 видно, что послебифуркационное поведение упругопластических систем в корне отличается от поведения упругих. Во-первых, имеется целый спектр нагрузок бифуркации р <р <рэ с устойчивым (pt p pk) либо неустойчивым (Рк Р <Рз) послебифуркационным поведением у одного и того же элемента. Поэтому среди точек бифуркации различают устой- [c.321]

Уравнения (2.32) и (2.33) свидетельствуют об отсутствии критической ситуации, если первая производная в рассматриваемый интервал времени отлична от нуля. При равенстве ее нулю могут быть определены значения параметров уравнения эволюции, при которых достигается критическая точка бифуркации. Второе эволюционное уравнение показывает, какой является точка бифуркации. Возможны три сл ая вторая производная равна нулю, больше и меньше н ля. Равенство второй производной нулю означает нейтральное положение системы, когда из неустойчивого она может стать устойчивой и наоборот. При положительной второй производной система находится в явно устойчивом положении. При отрицательной второй производной система находится в устойчивом положении, из которого ее можно вывести только за счет очень сильных возмущений. Примером последней ситуации может служить длительная задержка усталостной трепда- [c.124]

Первое уравнение синергетики выполняется в интервале (К 2 в интервале - К23) реализуется второе уравнение синергетики. Это позволяет рассматривать каскад процессов роста трещины при изменении механизма роста треши-ны с помошью последовательности кинетических уравнений (4.47) с учетом граничных условий, определяемых физикой процесса роста трещин. Именно поэтому представило интерес рассмотреть имеющиеся экспериментальные данные по определению показателей степени в уравнении Париса, в которых предпринимались попытки выделения особых точек на кинетических кривых при исследовании сплавов на различной основе (табл. 4.3). В отобранных для анализа работах не ставилась задача построения единой кинетической кривой в виде последовательности дискретных переходов в связи со сменой механизмов разрушения. Поэтому критические точки СРТ или шага усталостных бороздок не были строго поставлены в соответствии со сменой механизма роста трещины. Вместе с тем проведенное обобщение свидетельствует о том, что последовательность в переходах через точки бифуркации в процессе роста усталостных трещин является устойчивой и в полной мере соответствует последовательности показателей степени тр. 4 2 4 — для последовательности развития трещин на микроуровне, мезо I и мезо П соответственно. [c.220]

С другой стороны, как было подчеркнуто выше, снижение частоты (скорости деформации) нагружения материала приводит к тому, что трещина может распространяться довольно устойчиво и при переходе на макроскопический масштабный уровень. Можно предположить, что переход этот будет сопровождаться устойчивым, но быстрым нарастанием скорости роста трещины. Предельную величину скорости роста трещины или шага усталостных бороздок, которые могут характеризовать точку бифуркации — переход к окончательному разрушению материала можно определить по аналогии с тем, как это было сделано в соответствии с соотношениями (4.47). На первом этапе стабильного роста трещины (мезоуровень I) плотность энергии разрушения остается постоянной, и это соответствует постоянной величине ускорения роста трещины. На втором этапе стабильного роста трещины (мезоуровень II) происходит линейное нарастание ускорения, что определяется вторым основным уравнением синергетики. Вполне естественно предположить, что этап нестабильного роста трещины (макроуровень) описывается параболической зависимостью ускорения роста трещины от ее длины. В этом случае следует иметь в виду ускорение процесса разрушения, которое [c.223]

В последнем случае критической является нагрузка Я = Р/, соответствующая касательному модулю упругости < (концепция Шенли). Критическая точка совпадает с первой точкой бифуркации В. Отличие от упругой системы состоит в том, что даже при наличии двух степеней свободы график Р— f характеризуется бесконечным числом точек бифуркации, которые непрерывно заполняют отрезок 8180 на оси Р. Значение силы Р = Р, соответствует приведенному модулю упругости, а значение силы Р = Ре — модулю упругости В начальный момент нагружения. [c.468]

Вторая система качественно иначе ведет себя под нагрузкой. Исходное вертикальное положение стержня остается устойчивым до тех пор, пока Р < 1. В точке бифуркации ось ординат, соответствующая на рис. 1.10, б исходному положению равновесия, пересекается с кривой Р = os ф, которая описывает новое неустойчивое положение равновесия. Точка критическая, поскольку при переходе через нее устойчивое исходное положение равновесия становится неустойчивым. Для второй системы критическая нагрузка == < 1- При достижении критической нагрузки рассматриваемая система не сможет оставаться в исходном вертикальном положении, поскольку оно становится неустойчивым и любые сколь угодно малые возмущения выведут ее из него. Но в отличие от первой системы у второй нет никаких новых устойчивых положений статического равновесия в окрестности критической точки бифуркации 5 . Поэтому потеря устойчивости исходного вертикального положения равновесия неиз- [c.16]

При разгрузке две рассматриваемые системы ведут себя также по-разному. При уменьшении нагрузки первая система в обратном порядке проходит все этапы нагружения в точке бифуркации устойчивое отклоненное положение равновесия сменяется устойчивым неотклоненным положением (рис. 1.10, а). Вторая система проходит через новую точку бифуркации В2, где становится неустойчивым отклоненное положение равновесия. При достижении точки бифуркации система возвращается в исходное положение путем перескока (рис. 1.10, б). В таких случаях точку Bi иногда называют верхней критической точкой, соответствующее ей значение нагрузки — верхним критическим значением. Точку 5а называют нижней критической точкой, соответствующее ее значение нагрузки — нижним критическим значением нагрузки. Эти значения нагрузок будем соответственно обозначать (или Р р) и f 2кр- Так, в рассмотренном примере = = с1 и Ракр = —с/. [c.17]

Таким образом, при F F yi F F y рассматриваемой стержневой системы кроме вертикального положения равновесия оказываются возможными смежные с ним другие формы равновесия. Такие точки расщепления решений называют точками ветвления или точками бифуркации. Линеаризованные уравнения позволяют с точностью до масштаба определять формы равновесных конфигураций системы в окрестностях тбчек бифуркации. Так, из уравнений (1.71) следует, что при F =- Fi углы ф1 и фа связаны соотношением ф = 2фз, а при F = F соотношением ф1 = —фа- Соответствующие равновесные конфигурации изображены на рис. 1.14, б, причем первая из них описывает ту форму, по которой система теряет устойчивость. [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...