Стохастический синхронизм

Бифуркации неподвижной точки О при непрерывном изменении параметра, ведущего к проходу через поверхность Л/+1, совершенно такие же, как и для состояний равновесия. Именно при пересечении поверхности происходит слияние неподвижной точки 0 с неподвижной точкой одного из типов или с последующим их исчезновением. Однако вместе с этим исчезновением обеих неподвижных точек возможно появление простого или стохастического синхронизма (см. 5). Обсуждение такой возможности выходит за рамки этого параграфа и будет проведено в дальнейшем в 5. При пересечении границы Л 1 возникает бифуркация, при которой происходит смена типа неподвижной точки и одновременно из нее рождается или в ней исчезает цикл двухкратных неподвижных точек. Условно эту бифуркацию можно изобразить в виде [c.258]

Стохастический синхронизм [42]. Рассмотрим теперь систему уравнений вида [c.352]

Выбранный выше специальный способ возмущений показывает возможность перехода от тороидального интегрального многообразия с каким-то синхронизмом на нем к движению, названному стохастическим синхронизмом. [c.356]

Бифуркации синхронизмов. Выбранный выше специальный путь был удобен тем, что он позволил увидеть структуру возникающего нового установившегося движения, но поскольку множество стохастических синхронизмов образует в пространстве параметров область, то переход от обычного синхронизма к стохастическому возможен и общим образом. [c.357]

Можно думать, что характер бифуркаций стохастического синхронизма при изменении параметров такой же. [c.366]

Подведем некоторый итог. Ради определенности пусть для рассматриваемого нами седлового равновесия при Li = О и X = О седловая величина ст < 1. Тогда при возрастании X вдоль оси j, = О появится устойчивый предельный цикл с некоторой областью притяжения. Исходя из точки X > О, J, = О, будем увеличивать ц. При этом предельный цикл превратится сначала в устойчивый обычный синхронизм. Затем он трансформируется в стохастический синхронизм. При этом область притяжения предельного цикла последовательно будет переходить в область притяжения обычного и стохастического синхронизмов и затем по пересечению границы р = О в область притяжения какого-то нового установившегося движения. Структура разбиения плоскости параметров р, в окрестности точки Л = х = О очень сложная. Достаточно заметить, что при монотонном изменении Я в сторону возрастания вдоль оси j, = О число вращения 7 монотонно убывает от значения ) у = оо. Сказанное основывается на предположении об общем характере бифуркаций и полученных ранее сведениях о точечном отображении Гзя, согласно которым между [c.376]

Проведенное рассмотрение малых неавтономных периодических возмущений автономной системы второго порядка обнаружило естественность появления с переходом от двумерных к многомерным динамическим системам притягивающих гомоклинических структур и, в частности, стохастических синхронизмов. [c.377]

Случайный процесс — Виды 132 — 133 — Определение 131 — Характеристики 132 Стробоскопическая точка 101 Стохастический синхронизм 96 Субгармонические колебания 31, 160, 163 Супергармонические колебания 31, 163 [c.350]

Ситуация 10. Стохастический синхронизм. Синхронизмом назван фазовый портрет точечного отображения, представленный на рис. 6.39. Точки 0 , 0 ,. .., Ор жО[, О. , разовании Т циклически переходят друг в друга, так что точка с номером г переходит в точку с номером / по формуле [c.155]

При наличии сложного инвариантного множества, если бы фазовая точка могла оставаться в его малой окрестности, или, еще лучше, к нему асимптотически приближаться, появляется новая возможность хаотического изменения разности фаз и, в соответствии с этим, амплитуды колебаний. Такой синхронизм естественно назвать стохастическим синхронизмом. Стохастичность его проявляется на фазовом портрете отображения в медленном хаотическом блуждании фазовой точки в окрестности точек О1, О2,. .., Ор и кривых 8 и (рис. 6.41). [c.157]

Вернемся к вопросу о переходе обычного синхронизма в стохастический при общем непрерывном изменении параметров. Прежде всего заметим, что для обоих синхронизмов существенной характеристикой является число вращения со. [c.364]

На рис. 7. ПО изображены последовательные стадии перехода через общие бифуркации от обычного синхронизма к стохастическому. При переходе от рис. а к б происходит смена узла на фокус. Затем (рис. 7. ПО, в) фокус меняет устойчивость, и от него рождается устойчивый предельный цикл. Одновременно происходит сближение сепаратрис седла 5Г и 5i и соответственно 52 и So. После этого (рис. 7. ПО, г) сепаратрисы пересекаются, причем вместе с пересечением сепаратрис 5а и 52 происходит исчезновение устойчивого предельного цикла. [c.364]

Как следует из всего сказанного, общий переход от обычного синхронизма к стохастическому может происходить двумя способами. Первый происходит в результате изменения хода сепаратрисных кривых седловых неподвижных точек и происходит через нх касание (см. рис. 7.110). Второй в результате нарушения гладкости тороидального интегрального многообразия синхронизма и последующего слияния седел и узлов (рис. 7.111 и 7.114). [c.368]

Пусть со не меняется и не происходит бифуркаций слияния неподвижных точек. Тогда возможные изменения будут состоять только в изменениях неподвижных точек и расположениях сепаратрисных кривых. При этом седло-вые точки должны оставаться седловыми. А узлы могут переходить в фокусы и обратно. Фокус может сменить устойчивость, и при этом от него отделится либо обычный, либо стохастический синхронизм. При смене взаимного расположения сепаратрис может произойти возникновение стохастического синхронизма. Эта бифуркация в суженном виде будет в дальнеЙ1ием рассмотрена отдельно. Сейчас же ограничимся ее изображением на рис. 7. ПО. [c.364]

Рассмотрим теперь бифуркации, происходящие при изменении со. О сложном характере зависимости со от параметров говорилось выше. Каждому рациональному значению со соответствует некоторая область значений параметров. При переходе от одного рационального значения со к другому происходит бесчисленное множество бифуркаций. Границы области постоянного рационального значения со определяются слияниями седел и узлов синхронизма. При слиянии седла с узлом возникает сложная неподвижная точка типа седло-узел. Фрагмент изменений, происходящих со стохастическим синхронизмом при слиянии седел м узлов и образовании сложных седлоузловых точек, представлены на рис. 7.112. [c.366]

Основные отличия многомерных систем проявляются уже при переходе от двумерной системы к трехмерной, от двумерной фазовой плоскости к трехмерному фазовому пространству. Поведение фазовых траекторий в трехмерном фазовом пространстве может быть запутанным и не поддающимся непосредственному восприятию. Поэтому рассмотрение трехмерного фазового пространства во многих случаях следует сводить к двумерному точечному отображению, геометрическое изображение которого с помощью инвариантных кривых столь же наглядно, как и разбиение на траектории фазовой плоскости. Эти геометрические каргинки могут быть такими же, как и в случае дифференциальных уравнений без предельных циклов, либо с существенными отличиями, которые вызываются пересечениями сепаратрисиых кривых седловых равновесий, образующими голюоинцческце структуры 4, 45]. Эти отличия существенны, так как соответствуют совершенно разным типам поведения системы. При наличии гомоклинической структуры установившиеся движения системы могут иметь стохастический характер. В частности, как некоторые аналогии периодического движения появляются так называемые стохастические синхронизмы. Стохастический синхронизм —- это автоколебание со стохастически меняющейся фазой. Соответствующая ему фазовая картина изображена на рис, 18. [c.96]

Петля седлофокусного равновесия рассматривалась в работах [262, 288, 370]. Петля особой седлоузловой неподвижной точки имеет длинную историю, восходящую к работам А. А. Андронова и А. А. Витта [14], А. А. Андронова и Е. А. Леонтович [16], где возник и был впервые рассмотрен ее аналог для дифференциальных уравнений. Затем этот случай исследовался в работах [49, 50, 236, 271]. О восьмерке уже говорилось в 2 гл. 1. Стохастический синхронизм как своеобразный аналог обычного синхронизма, но со случайно буждающей фазой, впервые отмечен в работе [273]. [c.159]

От случая м- = О, непрерывно меняя параметр л, переходим к слу 1аю = 0. Проследим за тем, что происходит с синхронизмами Гр,. С непрерывным изменепие.м параметра [л от нуля в окрестности каждой кривой на секущем цилиндре 0 = 0, отвечающей синхронизмам Гр возникает г синхронизмов Г , отвечаю-пщх 2г циклам р-кратных неподвижных точек, г из которых — типа центр и г — типа седло. Каждая из седловых неподвижных точек имеет свои инвариантные кривые 5+ и Все это вместе образует фазовый портрет вида, представленного на рис. 7.33 (г= 1 и р = 4). Он несколько упрощен, поскольку на самом деле, как правило, кривые и пересекаются, образуя гомоклиническую структуру, рапее названную стохастическим синхронизмом. На рис. 7.33 упрощенно представлены и окрестности неподвижных точек типа центр, о чем ниже будет сказано. [c.200]

В Н. с. даже в отсутствие случайных воздействий возможны чрезвычайно сложные, нерегулярные коле-бат. и волновые режимы, требуюнще для своего описания привлечения вероятностных методов, — т. н. стохастические колебания. Такие колебания может совершать, напр., частица в двумерном погенц. поле при нек-рых формах потенц. рельефа. Стохастическим является также взаимодействие квазимонохроматич. волн в нелинейной среде, когда возбуждено лгаого волн и каждая из них участвует во мн. элементарных взаимодействиях, удовлетворяющих условиям синхронизма,— т. н. слабая турбулентность (см. Турбулентность плазмы). [c.313]

Здесь X = ( аз /7з)со8 , Y = ( аз /7з) os , Z = а1,2р/7з, ф = argfl3 — 2argai 2 — S, u = / 1,2/73, S = /73. При точном синхронизме (5 = 0) и и > 1/2 все траектории в фазовом пространстве системы (22.18) при t оо стремятся к плоскости Z = О или Y = 0. Это следует из того, что функция Р = ZY удовлетворяет уравнению dP/dt = = (1 — 2р)Р, т. е. Р о при i оо. На плоскостях Z = О и Y = 0 отсутствуют устойчивые состояния равновесия или предельные циклы, и все траектории по ним уходят в бесконечность. Стабилизация неустойчивой моды за счет передачи энергии равноправным низкочастотным модам в этом случае, следовательно, невозможна. Однако стабилизация возможна при ненулевой, хотя и очень малой расстройке. Поток энергии при этом в зависимости от параметров оказывается либо постоянным во времени (в фазовом пространстве — устойчивое состояние равновесия), либо периодическим (предельный цикл), либо случайным образом пульсирует (стохастический аттрактор). [c.481]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...