Точка бифуркации устойчивая

Критическая точка бифуркации исходной формы равновесия идеально прямого стержня является точкой бифуркации первого типа (см. 3) и изгибная форма равновесия в окрестности критической точки бифуркации устойчива. В тех случаях, когда идеально правильная система имеет критическую точку бифуркации первого типа, влияние начальных неправильностей можно оценить с помощью линеаризованных неоднородных уравнений. [c.127]

Обратим теперь внимание на следующее. Если мы будем двигаться на бифуркационной диаграмме вдоль кривой /(х, Х) = 0, то характер состояния равновесия, т. е. его устойчивость или неустойчивость, будет сохраняться до тех пор, пока мы не дойдем до точки бифуркации. Нетрудно видеть, что если мы будем продолжать двигаться дальше по кривой, следуя направлению касательной (т. е. следя за тем, чтобы касательная вращалась непрерывно), то в точке бифуркации устойчивое состояние равновесия сменится неустойчивым [c.128]

При первой бифуркации устойчивое состояние равновесия сливается с седловым О и они оба исчезают, превращаясь в обыкновенную точку. [c.256]

При первой бифуркации устойчивая неподвижная точка вместе со своей областью притяжения непрерывно переходит в устойчивый цикл двукратных неподвижных точек и его область притяжения. Во втором — устойчивая неподвижная точка сливается с седловым циклом двукратных неподвижных точек и становится седловой. [c.259]

Если отображение Т — это отображение, порождаемое фазовыми траекториями, близкими к периодическому движению Г на секущей поверхности S, то первой из описанных бифуркаций устойчивой неподвижной точки соответствует мягкий режим удвоения периода колебаний. Поясняющие этот процесс фазовые картинки в трехмерном случае представлены на рис. 7.П. Как меняются при этом осциллограммы колебаний, изображено на рис. 7.12. При этом Г изображает родившееся движение удвоенного по отношению к периоду прежнего периодического движения Г Ч Периодическое движение переходит в На секущей поверхности S неподвижная точка переходит в О и при этом одновременно рождается цикл двукратных неподвижных точек (О, , 0.у ). На секущей поверхности S стрелками изображается отображение Т . Для отображения [c.259]

Особый интерес представляет бифуркация устойчивой неподвижной точки. Ее схема имеет один из видов [c.260]

Применяя статический метод Эйлера, мы рассматриваем лишь совокупность форм равновесия в малой окрестности точки бифуркации. Этим полностью исключаются из анализа устойчивости возможные формы движения. [c.318]

После бифуркации процесса деформирования совершенных пластин и оболочек начинается процесс их докритического выпучивания. Потеря устойчивости наступает в точке бифуркации Пуанкаре (предельной точке). Для несовершенных систем докритиче-ское выпучивание начинается с началом нагружения и потеря устойчивости наступает также в предельной точке. Нагрузку, соответствующую предельной точке на кривой зависимости нагрузка — характерное перемещение , называют пределом устойчивости или критической нагрузкой. [c.357]

Предельные значения i, определяющие интервал бифуркации в пределах упругости, равны г т= 121,7 для пластинки, сжатой в одном направлении, и 1 т = 86 —в двух направлениях. Хорошо видно снижение предела устойчивости по отношению к бифуркационной нагрузке по мере уменьшения и приближения ее значений к предельным. Для i = it точка бифуркации является сама предельной. После бифуркации при зависимость между q и f — падаю- [c.360]

В синергетике рассматривают неравновесные фазовые переходы, которые связывают с потерей устойчивости менее организованного (или неупорядоченного) состояния с переходам в более упорядоченное состояние, т.е. с критическим состоянием системы в точках бифуркаций. Понятие бифуркаций -это математический образ "перехода количественных изменений в качественные" [21]. [c.36]

Рисунок 1.8 - Потеря устойчивости балки при переходе через точку бифуркации

Использование особых свойств среды при переходах устойчивость - неустойчивость - устойчивость позволяет придать физический смысл Kth как параметру, отвечающему точкам бифуркаций при дискретных переходах от одной пороговой скорости к другой. [c.307]

Проведенный анализ показывает, что между параметрами разрушения и фрактальной размерностью существует корреляция. Дальнейшая задача связана с установлением универсальных связей между критическими параметрами, контролирующими устойчивость деформируемого твердого тела на основе свойств, отвечающих точкам бифуркаций. [c.340]

Сначала рассмотрим вертикальное положение маятника (ф=0). Условие устойчивости выполняется при Р<с//. При силе, большей Il, вертикальное положение маятника оказывается неустойчивым. Таким образом, все точки оси ординат, расположенные ниже точки бифуркации Д, отражают устойчивое положение равновесия, а выше — неустойчивое. [c.420]

При растяжении элемента конструкции вся расходуемая энергия затрачивается на упругое деформирование материала и формирование поверхности разрушения. Момент страгивания отвечает точке бифуркации, когда качественно меняется поведение элемента конструкции — он теряет устойчивость. В области хрупкого разрушения материала с усталостной трещиной уровень энергии, необходимый на страгивание трещины, не зависит от того, каким образом было реализовано внешнее воздействие, если при этом условие нормального раскрытия берегов трещины сохраняется. Такую ситуацию принято называть автомодельным поведением материала. [c.104]

Открытая система эволюционирует путем чередования устойчивых и неустойчивых ее положений при переходе через критические точки, названные точками бифуркации [46]. Неизбежность возникновения неустойчивости перед переходом через точку бифуркации связана с возникновением флуктуаций в системе. В момент перехода через критическую точку система осуществ.пяет выбор того типа диссипативной структуры, который обеспечивает наиболее энергоемкий способ ее дальнейшей эволюции. [c.119]

Влияние возрастания частоты нагружения при неизменной влажности на процесс разрушения приводит к снижению скорости роста усталостных трещин. Оно сопровождается одновременным снижением шага усталостных бороздок в различных конструкционных материалах на основе железа, алюминия, титана и никеля и др. [14-20]. Количественная оценка этого влияния может быть проведена путем выявления границ, внутри которых сохраняется неизменным ведущий механизм разрушения независимо от того, какие именно взаимодействующие процессы приводят к этому механизму. При таком подходе к анализу влияния частоты нагружения на процесс роста трещин, устанавливаемые соотношения будут устойчивыми, и они будут отвечать условиям подобия в пределах между двумя соседними точками бифуркации. Между этими точками изменения кинетических парамет- [c.347]

Условие (18.11)з свидетельствует о том, что при />0 Р > Р т. е. для развития новой формы равновесия требуется увеличение нагрузки (рис. 18.17,6) этим и определяется то, что новая форма закритического равновесия устойчива. Иными словами, в критической точке, совпадающей с точкой бифуркации. [c.304]

Возможные упрощения аппарата, используемого при анализе устойчивости системы. В разделе 2 для установления формы равновесия, возникающей в точке бифуркации, использовалось нелинейное уравнение (18.4), позволившее находить равновесные положения нагрузки и при больших перемещениях. Однако не это составляет основную цель расчета на устойчивость классического типа, вследствие чего допустимо и целесообразно внести упрощения. [c.305]

Заметим, однако, что наряду с классическим типом потери устойчивости существует и такой тип (разумеется, у других систем), при котором, как и в классическом типе 1) критическая точка совпадает с точкой бифуркации 2) соблюдается условие Р/й/ =о = 0. [c.305]

Рис. 18,18. Различные виды кривых Р —f а) случай с устойчивыми формами равновесия, возникающими в точке бифуркации б) картина, линеаризованная по отношению к изображенным на рис. а и а а) случай с неустойчивыми смежными формами равновесия, возникающими в точке бифуркации.

Возможные формы равновесия системы. Точки бифуркации. Воспользуемся приведенной в предыдущем разделе схемой анализа устойчивости применительно к системе с двумя степенями свободы (рис. 18.20). Это позволит нам продолжить исследование классического типа потери устойчивости как явления. [c.308]

Полученный здесь вывод справедлив и для систем с любым числом степеней свободы, в том числе и для систем с бесконечным числом степеней свободы, а именно критическая точка совпадает с первой точкой бифуркации. При значениях нагрузки ниже соответствующей этой точке первоначальная форма равновесия системы устойчива. [c.325]

Эта форма равновесия становится безразличной в критической точке (в первой точке бифуркации) и неустойчивой на всем протяжении оси параметра нагрузки выше первой точки бифуркации. Возникающие в первой точке бифуркации новые формы равновесия устойчивы. Формы же равновесия, возникающие во всех остальных точках бифуркации, неустойчивы. Точки бифуркации могут быть найдены как из нелинейных уравнений, так и из линеаризованных уравнений равновесия системы в отклоненном от первоначальной формы положении. [c.325]

Метод Эйлера применим к анализу таких типов потери устойчивости, т. е. таких явлений, которые характеризуются наличием возможности перехода от одной формы равновесия к другой, бесконечно близкой к ней, при фиксированной нагрузке (т. е. равенство нулю производной Р/й/ при некотором значении Р, где Р — сила, а [ — характерный параметр деформации системы). В то же время этот метод не может быть применен в тех случаях, когда потеря устойчивости формы равновесия состоит в переходе не к другой форме равновесия, а к колебательному движению. Остановимся на вопросе о применимости метода Эйлера в случае, если потеря устойчивости принадлежит типу перехода к новой устойчивой форме равновесия, но посредством скачка. Можно отметить два характерных варианта. Водном из них этот переход происходит в точке бифуркации, до которой (Р < Р ) зависимость Р — / линейна. В другом — переход происходит в предельной точке, до которой (Р < Р,) зависимость Р—[ нелинейна. В первом случае метод Эйлера позволяет найти Р, во втором же — этот метод неприменим. [c.372]

Таким образом, в интервале изменения нагрузки —1 < р < 1 система может иметь четыре положения равновесия два вертикальных ф = о, ф = я и два наклонных, характеризуемых условием (18.123) при этом вертикальные положения устойчивы, а наклонные неустойчивы. Вне указанного интервала возможны только два вертикальных положения ф = 0 и ф = я, из них первое устойчиво при р < 1, а второе при р > —1. Пусть нагрузка р увеличивается от нулевого значения. Тогда точка бифуркации Лб (см. рис. 18.61, а) имеет смысл границы устойчивости вертикального положения ф = 0. Исходящие из этой точки три положения равновесия — первоначальное вертикальное и два новых наклонных, а также равновесие, соответствующее самой точке бифуркации, — все неустойчивы. Такой же смысл имеет точка бифуркации С1 для вертикального положения ф = я, если нагрузка р убывает от нуля. [c.397]

При разгрузке две рассматриваемые системы ведут себя также по-разному. При уменьшении нагрузки первая система в обратном порядке проходит все этапы нагружения в точке бифуркации устойчивое отклоненное положение равновесия сменяется устойчивым неотклоненным положением (рис. 1.10, а). Вторая система проходит через новую точку бифуркации В2, где становится неустойчивым отклоненное положение равновесия. При достижении точки бифуркации система возвращается в исходное положение путем перескока (рис. 1.10, б). В таких случаях точку Bi иногда называют верхней критической точкой, соответствующее ей значение нагрузки — верхним критическим значением. Точку 5а называют нижней критической точкой, соответствующее ее значение нагрузки — нижним критическим значением нагрузки. Эти значения нагрузок будем соответственно обозначать (или Р р) и f 2кр- Так, в рассмотренном примере = = с1 и Ракр = —с/. [c.17]

Из приведенных выше определений устойчивости вытекает по существу одинаковый метод исследования элементов конструкций— метод проб на устойчивость путем возмущения исходного состояния при достигнутом уровне нагружения. Этот метод обладает существенным недостатком. Он не рассматривает процесс нагружения, с помощью которого достигнут данный уровень внешних сил, и ограничивает анализ устойчивости системы малой окрестностью точки бифуркации. Такой анализ почти никакой информации о после-бифуркационном процессе деформирования конструкции и ее элементов дать не может, а потому он не определяет их индивидуль-ного поведения. Судить об устойчивости или неустойчивости конструкции без исследования послебифуркационного поведения невозможно. Отмеченное еще в большей мере относится к неупругим системам, поскольку их деформация существенно зависит от истории наг жения. [c.319]

На рис. 15.4 (6 = 0) эти же зависимости приведены для упругопластических систем. Из рис. 15.4 видно, что послебифуркационное поведение упругопластических систем в корне отличается от поведения упругих. Во-первых, имеется целый спектр нагрузок бифуркации р <р <рэ с устойчивым (pt p pk) либо неустойчивым (Рк Р <Рз) послебифуркационным поведением у одного и того же элемента. Поэтому среди точек бифуркации различают устой- [c.321]

Эйлерова точка бифуркации для упругих систем может быть устойчивой (стержни, пластины) и неустойчивой (оболочки, панели) (см. рис. 15.1—15.3). Послебифуркацнонное поведение упругопластической системы в процессе ее нагружения из устойчивых точек бифуркации может обнаружить резервы послебифуркационной устойчивости и прочности при выпучивании. В силу этого различают докритический и послекритический процессы выпучивания. Критическое состояние имеет место в предельных точках точках бифуркации Пуанкаре), в которых имеет место условие dp/d/=0 или [c.322]

Анализ выпучивания и устойчивости идеальных упругих и неупругих систем не является общим при решении вопроса об устойчивости конструкций и их элементов, поскольку последние обладают различного рода несовершенствами. Неустойчивость реальных конструкций и их элементов с несовершенствами наступает в предельных точках или точках бифуркации Пуанкаре точно так же, как и для идеальных систем с устойчивым послебифуркационным поведением, В связи с этим все начальные несовершенства формы и приложения нагрузок принимаются за возмущающие факторы с наложенными на них ограничениями, и об устойчивости исходного процесса нагружения идеальной системы судят по пребыванию системы с возмущенной формой в окрестности основного процесса. Следовательно, на процесс выпучивания системы с начальными несовершенствами, так же как на послебифуркационный процесс выпучивания идеальной системы, следует смотреть как на возмущенный процесс, с помощью которого исследуются устойчивость конструкции, которую стремятся всегда создавать как совершенную. Этот докритический процесс завершается потерей устойчивости в предельной точке (точке бифуркации Пуанкаре) и послекритиче-ским выпучиванием. [c.322]

Процесс разрушения, как показано в [10], является неравновесным фазовым переходом. Поэтому можно считать, что процесс самоорганизации диссипативных структур носит циклический характер, подчиняющийся закономерности удвоения периода, а система в виде деформируемого твердого тела является сис емой с обратной связью. Это означает, что циклический характер процесса разрушения, связанный с неравновесными фазовыми переходами в точках бифуркации, самовоспроизводится. При переходах устойчивость-пеустойчивость-устойчивость значение предыдущей итерации является начальным значением для следующей. [c.72]

Одной из последних попыток интеграции научного знания является развитие синергетики - науки о процессах самоорганизации, устойчивости и распада структур различной природы, формирующихся в системах, далеких от равновесия [10]. Термин "синергетика" происходит от греческого "синер-гос", что означает "вместе действующий". Интегрирующая роль синергетики заключается в признании н использовании того факта, что перечисленные выше процессы признаются общими как для живой, так и неживой природы. Общность заключается в том, что и биологическим, и химическим, и физическим, и другим неравновесным процессам свойственны неравновесные фазовые переходы, отвечающие особым точкам - точкам бифуркации, по достижении которых спонтанно изменяются свойства среды за счет самоорганизации диссипативных структур [10], [c.30]

Результаты, полученные в предыдущем параграфе, еще не дают ответа на вопрос об устойчивости в строгом смысле слова, как это было сформулировано в 4.1. Вместо этого мы по существу ввели бифуркационный критерий устойчивости. Вели представить себе процесс нагружения стержня продольной силой как процесс, описываемый кривой (Зависимости некоторого прогиба от сжимающей силы, то на этой кривой получаются разветвления в некоторых точках, называемых иритичесними или точками бифуркации. Так, на рис. 4.4.1 схематически изображен график saBiH HMO TH прогиба, например прогиба б в середине стержня, от сжимающей силы Р пока Р < Р это отрезок оси ординат, 6 = 0. При Р> Р стержень может либо оставаться прямым, либо иоириниться в соответствии с двумя возможными формами равновесия возникает бифуркация, одному и тому же значению силы Р соответствуют два возможных прогиба (точии А -а В). Вопрос о том, какая форма равновесия, прямолинейная [c.121]

Любина А. Д., Применение теории Пуанкаре о точках бифуркации и смене устойчивости к простейшим автоколебательным системам. ЖЭТФ, 1935, вып. 5, 3- , 296—309 [c.210]

Принцип однозначного соответствия является характеристикой устойчивости и неизменчивостн действия ведущего механизма эволюции открытой системы между двумя соседними точками бифуркации. Процесс эволюции и последствия его д( й-ствия в системе могут быть охарактеризованы однозначными признаками. С точки зрения разрушения металла неизменному механизму роста трещины однозначно соответствует неизменный вид или тип морфологии рельефа разрушения. При одном и том же механизме разрушения или процессе эволюции не могут быть разные параметры рельефа излома. [c.121]

Поэтому к одному и тому же критическому состоянию в точке бифуркации можно прийти при различных способах внешнего воздействия, а меняя условия этого воздействия, поддерживать ведущий механизм накопления повреждений между соседними точками бифуркации. Следовательно, меняя внешние условия нагружения, можно длительное время поддерживать устойчивость системы при неизменном ведущем механизме эволюции и не переходить через точку бифуркации. Применительно к металлу это означает, например, что в процессе его подготовки к возникновению трещины возможно не переходить к моменту ее ноявления. [c.124]

Уравнения (2.32) и (2.33) свидетельствуют об отсутствии критической ситуации, если первая производная в рассматриваемый интервал времени отлична от нуля. При равенстве ее нулю могут быть определены значения параметров уравнения эволюции, при которых достигается критическая точка бифуркации. Второе эволюционное уравнение показывает, какой является точка бифуркации. Возможны три сл ая вторая производная равна нулю, больше и меньше н ля. Равенство второй производной нулю означает нейтральное положение системы, когда из неустойчивого она может стать устойчивой и наоборот. При положительной второй производной система находится в явно устойчивом положении. При отрицательной второй производной система находится в устойчивом положении, из которого ее можно вывести только за счет очень сильных возмущений. Примером последней ситуации может служить длительная задержка усталостной трепда- [c.124]

Первое уравнение синергетики выполняется в интервале (К 2 в интервале - К23) реализуется второе уравнение синергетики. Это позволяет рассматривать каскад процессов роста трещины при изменении механизма роста треши-ны с помошью последовательности кинетических уравнений (4.47) с учетом граничных условий, определяемых физикой процесса роста трещин. Именно поэтому представило интерес рассмотреть имеющиеся экспериментальные данные по определению показателей степени в уравнении Париса, в которых предпринимались попытки выделения особых точек на кинетических кривых при исследовании сплавов на различной основе (табл. 4.3). В отобранных для анализа работах не ставилась задача построения единой кинетической кривой в виде последовательности дискретных переходов в связи со сменой механизмов разрушения. Поэтому критические точки СРТ или шага усталостных бороздок не были строго поставлены в соответствии со сменой механизма роста трещины. Вместе с тем проведенное обобщение свидетельствует о том, что последовательность в переходах через точки бифуркации в процессе роста усталостных трещин является устойчивой и в полной мере соответствует последовательности показателей степени тр. 4 2 4 — для последовательности развития трещин на микроуровне, мезо I и мезо П соответственно. [c.220]

С другой стороны, как было подчеркнуто выше, снижение частоты (скорости деформации) нагружения материала приводит к тому, что трещина может распространяться довольно устойчиво и при переходе на макроскопический масштабный уровень. Можно предположить, что переход этот будет сопровождаться устойчивым, но быстрым нарастанием скорости роста трещины. Предельную величину скорости роста трещины или шага усталостных бороздок, которые могут характеризовать точку бифуркации — переход к окончательному разрушению материала можно определить по аналогии с тем, как это было сделано в соответствии с соотношениями (4.47). На первом этапе стабильного роста трещины (мезоуровень I) плотность энергии разрушения остается постоянной, и это соответствует постоянной величине ускорения роста трещины. На втором этапе стабильного роста трещины (мезоуровень II) происходит линейное нарастание ускорения, что определяется вторым основным уравнением синергетики. Вполне естественно предположить, что этап нестабильного роста трещины (макроуровень) описывается параболической зависимостью ускорения роста трещины от ее длины. В этом случае следует иметь в виду ускорение процесса разрушения, которое [c.223]

Рио. 18.17. К установлению знака производной (1Р1йЬ а) в точке бифуркации кривой Р— б) в соседних с точкой бифуркации точках (случай потери устойчивости в смысле Эллера). [c.304]

Однако имеется отличие, состоящее в гом, что новая форма равновесия, возникающая в точке бифуркации, не является смежной с первоначальной формой и от первоначальной формы равновесия к новой форме система приходит посредством скачка. Это так называемая потеря устойчивости с прощел-киванием. О ней кратко говорилось выше и говорится подробно в 18.4. Здесь, однако, отметим, что зависимость между р и ф в закритическом состоянии характеризуется графиком, показанным на рис. 18.18, в. [c.305]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...