Серии бифуркаций

Вместе с тем, несмотря на все эти усложнения, основную роль по-прежнему играют бифуркации состояний равновесия, периодических движений и их интегральных многообразий 5 и >5 . В дополнение к четким законам бифуркаций состояний равповесия и периодических движений обнаружились новые законы серий бифуркаций и их связи с так называемыми вложенными структурами, с касаниями инвариантных многообразий и 8 , с особым характером зависимости числа вращения Пуанкаре от параметров. [c.163]

Как уже отмечалось, представление о множестве точек бифуркации как о некоторых поверхностях в пространстве параметров оправдалось далеко пе полностью. Следующим естественным усложнением этой примитивной картины является представление о сериях бифуркаций, о бесконечных множествах поверхностей, накапливающихся к некоторой предельной поверхности, или поверхностям, которые, в свою очередь, также образуют бесконечные множества. Настоящий параграф посвящен рассмотрению некоторых из таких серий. [c.168]

Серии бифуркаций и вложенные структуры. Рассмотрение взаимно однозначного отображения окружности на себя привело к понятию числа вращения Пуанкаре и сериям бифуркаций, вызываемым особым характером зависимости числа вращения от параметра. Аналогично исследование гладкого однозначного, но не взаимно однозначного отображения прямой в прямую [c.172]

Таково возможное объяснение возникновения серий бифуркаций удвоения. Ни для одномерного, ни тем более для многомерного отображения описанная картина те получила полного доказательства, хотя она хорошо подтверждается численными вычислениями неподвижной точки отображения 2", возможностью приближенного определения числа а и собственного значения, большего единицы, и нескольких других, меньших единицы. Наличие и характер пересечения кривой и поверхности не выяснялся. [c.177]

Выще были рассмотрены только серии бифуркаций неподвижных точек отображения Т Ь при всевозможных т > т. [c.181]

Теперь можно подвести итог. При уменьшении е происходит счетное множество бифуркаций рождения пар неподвижных точек отображений вида (2.31) и континуальное множество пар последовательностей вида (2.38). Кроме того, с одной из неподвижных точек каждой родившейся пары происходит бесконечная серия бифуркаций удвоения кратности. Нечто подобное происходит и с последовательностями вида (2.38). После завершения [c.183]

В некоторых экспериментах может происходить взаимная синхронизация осцилляторов, и в результате взаимного затягивания двух частот возникает одна общая частота. Соответствующий предельный цикл может затем претерпевать серию бифуркаций удвоения, приводящую в конечном счете к хаосу. Согласно интерпретации, предложенной автором этой книги, поведение системы в таких случаях определяется небольшим числом параметров порядка, и последовательные удвоения периода происходят в пространстве небольшой размерности соответствующих параметров порядка, число которых не меньше трех. Во введении уже говорилось о том, что такие удвоения периода удобно описывать дискретными отображениями. Но существует и другое описание — с помощью дифференциальных уравнений, например уравнения Дуффинга [c.309]

Заметим, что последнее выражение не дает конкретных значений п р и Шкр, а только устанавливает некоторую связь между ними. Таким образом, критической точке бифуркации соответствует целая серия различных комбинаций чисел полуволн, по которым может происходить потеря устойчивости оболочки, включая п р = О, т. е. осесимметричную форму потери устойчивости. [c.261]

При изменении Я различные линейные серии остаются отличными друг от друга, пока дискриминант А квадратичной формы (2) не исчезает, т. е. пока не исчезает ни один из главных коэфициентов устойчивости. Если же в то время, когда пробегается некоторая линейная серия, дискриминант А при некотором частном значении А исчезает и меняет знак, то соответствующая конфигурация оказывается формою бифуркации , т. е. эта конфигурация представляет точку пересечения рассматриваемой линейной серии с другой. Может даже случиться, что при некотором значении А две линейные серии совпадают, а после этого становятся мнимыми. Если рассматриваемая конфигурация не принадлежит ни к какой другой линейной серии, то мы имеем так называемую предельную форму равновесия, и можно показать, что А в обеих сериях вблизи от точки соединения имеет различные знаки. Особенно важным оказывается тот случай, когда две серии соединяются и после этого делаются мнимыми, в то время как третья серия непрерывно переходит через эту общую точку. [c.897]

Пуанкаре исследовал далее коэфициенты устойчивости рядов эллипсоидов Маклорена и Якоби при помощи функций Ламе, чтобы выяснить, какие члены представляют формы бифуркации. Он нашел, что существует бесконечно много форм такого рода, а следовательно, и бесконечно много других линейных серий фигур равновесия. В каждом случае оказывается возможным указать форму членов новой серии в окрестности точки бифуркации. Исследование этого вопроса было продолжено Дарвином ) и самим Пуанкаре в более поздней работе ). [c.902]

Наибольший интерес привлек к себе случай первой бифуркации, которая имеет место в серии эллипсоидов Якоби. По Дарвину критическим эллипсоидом оказывается [c.902]

Рис. 32. Фазовый портрет (сечение плоскостью g = тг/2) для случая Ковалевской при нулевой постоянной площадей с = 0. Показаны три качественно различных типа фазового портрета. Из рисунков хорошо видно, какие перестройки портретов и бифуркации периодических решений происходят при пересечении критических уровней энергии h = О и h = 1. (Серым цветом закрашена нефизическая область значений I, L/G при заданных значениях интегралов h, с.)

Хотя приложения к теории динамических систем далеко не исчерпывают всех потенциальных возможностей теории особенностей дифференцируемых отображений (эти приложения включают также геометрическую и физическую оптику, гидродинамику, квантовую механику, кристаллографию, химию, акустику, синергетику, теорию распространения радиоволн, космологию, алгебраическую геометрию, дифференциальную топологию и т. д.), фундаментальная роль теории особенностей в исследовании бифуркаций стационарных и периодических режимов оправдывает включение этого двухтомника в серию Динамические системы . [c.9]

Области устойчивости. Рассмотрим семейство дифференциальных уравнений x=v x,k), гле х — точка п-мерного фазового пространства, Я, — точка /-мерного пространства параметров. Мы будем предполагать, что семейство имеет, прв всех значениях параметров, одно и то же положение равновесия х=0. (Случай, когда семейство имеет гладко зависящее от параметров положение равновесия, сводится к рассматриваемому случаю, но предположение гладкости здесь — существенное ограничение, см. статью Теория бифуркаций в т. 5 данной серии.) [c.133]

Заключение. Задача об исследовании движений вязкой теплопроводной жидкости вблизи пересечения бифуркаций возникновения неизотермических вихрей Тейлора и азимутальных волн между двумя нагретыми вращающимися цилиндрами сводится к изучению автономной динамической системы четвертого порядка, коэффициенты которой находятся численно, путем решения серии линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.108]

Если в работе А. С. Алексеева исследовалась конкретная система автоматического регулирования, для которой были обнаружены серии бифуркаций удвоения и явления, получившие позднее название перемежаемости, то в работах [234, 235] Н. Н. Леонова рассмотрения носят общий характер. В работе [235] (1960 г.) исследуется невзаимнооднозначное точечное отображение прямой в прямую вида [c.25]

В лекциях Р. Фейнмана [353] есть очень образное описание возникновения турбулентности с ростом числа Рейнольдса. Нарисованная там картина и ее возросшая сложность по сравнению с более ранними описаниями как нельзя лучше соответствует параллельно и независимо идущему процессу усложнения представлений теории бифуркаций. Последующее изложение имеет целью прояснить все возможные метаморфозы фазового портрета, которые могли бы отвечать переходу ламинарного течения в турбулентное и вообще устойчивого равновесного состояпия в хаос. Ото изложение не носит исчерпывающего характера, оно лишь в общих чертах описывает картину. После описания дерева возможных бифуркаций более подробно рассматриваются серии бифуркаций. Затем описываются бифуркации в двух конкретных и достаточно детально изученных динамических системах — системе Лоренца и нелинейном параметрически возбуждаемом осцилляторе и ротаторе. Эти примеры позволяют достаточно подробно проследить пути возникновения порядка и хаоса. [c.163]

Серии бифуркаций, связанные с числом вращения Пуанкаре. По-видимому, первым объектом, разрушившим прежние представления о бифуркационном множестве, было взаимооднозначное точечное преобразование окружности в себя вида [c.168]

Рассмотренный случай интересен еще и тем, что предельное множество бифуркационных поверхностей содержит многообразие коразмерности единица, и это делает достаточно естественным и частым пересечение с ней одномерных кривых, отвечающих изменению какого-нибудь одного скалярного нараметра динамической системы, т. е. в пространстве параметров динамической системы рассматриваемой серии бифуркаций отвечает поверхность коразмерности 1. Теперь уже довольно очевидно, что для последовательности бифуркационных значений параметра, отвечающих пересечениям с поверхностями (2.18), [c.177]

Помимо серий удвоения, можпо ожидать серии бифуркаций утроения [197] и учетверепия, а также другие серии бифуркаций, отвечающие другим вложенным структурам. [c.177]

Серии бифуркаций при касании инвариантных многообразий 5+ и 8 . Описываемые в этом разделе серии бифуркаций были обнаружены в работах [117—119, 137, 262]. Они возникают в нроцессо сближения и касания интегральных многообразий седловых равновесий или седловых периодических движений. Касания инвариантных многообразий и 8 приводят к возникновению гомоклинических структур или их изменениям как на уровне исходных инвариантных многообразий, так и новых, возникающих в гомоклинической структуре. Эти серии бифуркаций состоят в попарном рождении периодических движений разных типов, например и Г , и последующем трансформировании периодического движения Г по типу серии бифуркаций удвоения периода. В результате возникает как бы двойная серия бифуркаций рождения пар и последующих удвоений одного из движений в каждой паре. Рождение из ничего пар периодических движений, по существу, уже было описано в главе 6 в ситуациях 2, 3 и 6. Проводимое там рассмотрение следует лишь несколько нрод(1Л-жить с точки зрения происходящих в этих ситуациях бифуркаций. [c.178]

Аналогичнь1м образом могут быть рассмотрены и серии бифуркаций отображений более общего вида [c.181]

Периодическое движение теряет устойчивость, но одно-времепно появляется устойчивое периодическое движение удвоенного периода. Эта последняя трансформация может повторяться много раз, образуя бесконечную серию бифуркаций удвоения периода. [c.215]

Рождение автоструктур. Иерархия неустойчивостей и бифуркации.. Изв. АН СССР. Сер. физическая, 51, № 6, 1133—1143. [c.618]

Как обсуждалось в гл. 2, одним из признаков приближения динамической системы к хаотическому режиму является серия измерений характера периодического движения по мере изменения некоторого параметра. В типичном случае осциллятора с одной степенью свободы, при приближении управляющего параметра к значению, критическому для хаотического движения, возникают субгармонические колебания. В логистическом уравнении , ставшем теперь классическим примером, возникают ряды колебаний с периодом 2 (см. (1.3.6)). Явление внезапной перестройки движения при изменении параметра называется бифуркацией. На рис. 4.5 приведен пример экспериментальной бифуркационной диаграммы. Такие диа-фаммы получаются в эксперименте с помощью временной выборки измерений движения, как при построении отображения Пуанкаре, и отображения этой выборки на осциллографе, как показано на рис. 4.5. Здесь по горизонтальной оси откладывается величина управляющего параметра, например амплитуда или частота возбуждения, а по вертикальной — значения координаты из временной выборки. По сути дела эта диаграмма описывает целую серию экспериментов, каждый из которых проводится при определенном значении управляющего параметра. Такую диаграмму можно получить довольно быстро, если есть возможность автоматического изменения управляющего параметра, например с помощью компьютера и преобразователя цифрового сигнала в аналоговый. Необхо- [c.135]

Аналогичное явление наблюдается для многих дискретных преобразований, в частности для одномерных. Более того, для любого семейства дифференцируемых унимодальных отображений [О, 1]-)-[0, 1], /б[0, 1], непрерывно зависящих от параметра, такого, что / о(л )=0, тахр1(л ) = 1 (см. рис. 18), серии из последовательных бифуркаций удвоения встречаются бесконечное число раз. [c.216]

Эта книга вышла в серии Итоги науки и техники и содержит три обзорные статьи Змитренко Н.В., М и ха й л о в А.П. Теория режимов с обострением в сжимаемых средах Галактионов В. А., Дородницын В. А., Еленин Г.Г., К у р д ю-м о в С.П., Самарский А.А. Квазилинейное уравнение теплопроводности с источником обострение, локализация, симметрия, точные решения, асимптотики, структуры А х р о м е-ева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г,, С а-м а р с к и й А.А. 0 классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркаций . Более того, я бы рекомендовал эту книгу всем читателям, интересующимся математикой нелинейных диффузионных уравнений нелинейными волнами, диссипативными структурами, разрывными решениями, устойчивостью решений. [c.142]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...