Бифуркационное значение

О С Я, < 1/4 система обладает двумя со- Рис. 2.14. стояниями равновесия устойчивым и не-, устойчивым, а при Я, < О (знак X изменяется при изменении направления одного из токов) — одним устойчивым состоянием равновесия. В точке Q-U, /4) производная ( , Я) == О, поэтому X == V4 есть бифуркационное значение параметра. Для построения фазового портрета рассматриваемой системы напишем интеграл энергии. В безразмерных величинах интеграл энергии имеет вид [c.35]

При значениях параметра Л в области А, > V4 система не имеет состояний равновесия. Фазовый портрет для этого случая изображен на рис. 2.16. При любых начальных условиях провод АВ в конце концов приближается с возрастающей скоростью к бесконечному проводу. При бифуркационном значении X = фазовый портрет системы имеет вид, изображенный на рис. 2.17. На фазовой полуплоскости [c.37]

Для системы (3.4), содержащей лишь один параметр X, пространство параметров представляет собою прямую, а бифуркационные значения i = Xi — точки, разбивающие эту прямую на области, в каждой из которых изменение параметра X не приводит к изменению фазового портрета. Если система (3.4) содержит два параметра X и [i, тогда пространством параметров будет плоскость, разделенная на области одинакового поведения системы при помощи бифуркационных кривых. Зная структуру разбиения фазового пространства для какой-нибудь точки плоскости параметров Хц можно, непрерывно перемещаясь в этой плоскости, найти структуру фазового пространства для любой другой точки плоскости параметров. При этом нужно знать лишь характер бифуркации, которая происходит в фазовом пространстве при переходе той или другой бифуркационной границы. В этом заключается эвристическая ценность теории бифуркаций [7J. [c.52]

Из рассмотрения этой табл. 3 легко получить как бифуркационные значения параметров, так и характер изменения стационарных движений генератора при увеличении амплитуды внешнего воздействия. [c.184]

То, что этими случаями исчерпываются все возможности, можно убедиться путем следующего рассуждения. Пусть не имеет место ни один на иих, тогда при бифуркационном значении параметра кривая Г — не точка, расположена в ограниченной области, в ее достаточно малой окрестности net особых точек и поэтому для нее существует секущая S и 1 очечное отображение Т [le только при бифуркационном значении параметра, но и в его малой окрестности. Чего не должно быть. [c.262]

Для решения системы уравнений (15.10), (15.11) можно воспользоваться методом Бубнова — Галеркина, который приводит задачу к решению системы однородных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов Атп, бтп- Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов этой системы, находим условие для определения бифуркационных значений параметра нагрузки N. Иногда это условие можно получить непосредственной подстановкой выражений (15.13), (15.14) в уравнения бифуркации (15.10), (15.11). [c.326]

Подставляя значение г согласно (15.50) в соотношение (15.48), получаем бифуркационное значение [c.334]

При меньших углах 0, если отношение сторон панели alb есть целое число, бифуркационное значение р следует из формулы [c.334]

Рис. 15.11 относится к случаю плоской панели (fe = 0), т. е. к пластине. Кривые упругого выпучивания пластины показывают, что выпучины развиваются в процессе роста нагрузки весьма медленно и на практике их трудно заметить. Они становятся явно заметными, когда достигнуто бифуркационное значение нагрузки (р ж 3,61), и продолжают увеличиваться с ростом нагрузки при р >р . [c.335]

Последовательность бифуркационных значений параметра, соответствующих выходу в комплексную область мультипликаторов цикла периода 2", возникающего в каскаде удвоений, имеет вид e = 6 +0(6 a ), где б — константа Фейгенбаума, а — максимальное сжимающее собственное значение линеаризации оператора удвоения в неподвижной точке G, с — константа, зависящая от семейства. [c.85]

Определение. Значения е, для которых о(е)б5 (Л1), называются бифуркационными, а изменение топологической структуры разбиения фазового пространства на траектории динамической системы, порожденной векторным полем w(e), при переходе через бифуркационное значение г, называется бифуркацией. [c.87]

Рис. 32. Фазовые кривые векторного поля на плоскости, однопараметрическая деформация которого имеет счетное множество бифуркационных значений

Простейший пример нелокальной бифуркации на двумерной поверхности — появление седловой связки , когда выходящая сепаратриса одного седла пересекается при изменении параметра в некоторый момент с входящей сепаратрисой другого (и, следовательно, сливается с ней при этом значении параметра). При прохождении бифуркационного значения параметра сепаратрисы обеих седел меняются местами . Эта бифуркация встречается неустранимым образом в однопараметрических семействах векторных полей, т. е. является типичной. [c.97]

Теорема . 1. В типичном однопараметрическом семействе векторных полей на S , г 2, k l, встречается не более счетного множества бифуркационных значений параметра (в окрестности которых семейство топологически перестраивается). При остальных значениях параметра поле грубое. [c.99]

Однопараметрическая деформация соответствующей бифуркационному значению параметра системы, определенная типичным семейством, при значениях параметра, близких к бифуркационному, топологически нереальна и структурно устойчива любая другая деформация топологически эквивалентна индуцированной из данной, любая близкая однопараметрическая деформация топологически эквивалентна данной. [c.100]

Две деформации векторных полей с носителями бифуркации 2i и Ег называются эквивалентными или слабо эквивалентными на носителях, если существуют такие сколь угодно малые окрестности носителей и (зависящие от них) окрестности бифуркационных значений параметров, что ограничения семейств на эти окрестности носителей топологически эквивалентны или слабо эквивалентны над этими окрестностями бифуркационных значений. [c.107]

Определение топологической и слабой топологической эквивалентности семейств и их структурной устойчивости и слабой структурной устойчивости аналогично приведенному в п. 2.2, лишь отрезок I нужно заменить окрестностью бифуркационного значения. [c.107]

Теорема 2. Пусть фс , еб[0, 1], — дуга диффеоморфизмов такая, что предельное множество каждого диффеоморфизма фе состоит лишь ИЗ конечного множества траекторий. Тогда Фе устойчива в том и только том случае, если на [О, 1] существует лишь конечное множество бифуркационных значений, скажем, Ьи. .., Ъ , и для каждого k) справедливы [c.126]

Для простоты, дальнейшее изложение будем вести на языке однопараметрических семейств динамических систем. Итак, пусть / —поток, зависящий от скалярного параметра. Предположим, что 1) при 0 е<Ё существует аттрактор Ле, для которого существует поглощающая область Be, такая что для любого е < е, int( и Ве)=Ве , 2) е — бифуркационное значение параметра, [c.159]

Для обоих вариантов бифуркационное значение / = / , рис. 3.7, 3.8, соответствует экстремуму кривой F (/ ). Состояния равновесия по обе стороны точки бифуркации седло и устойчивый узел. При слиянии этих двух простых особых точек получаем сложное состояние равновесия особую точку седло-узел. [c.103]

Бифуркационное значение параметра 5ц = Sg отвечает точке экстремума зависимости s,, = S(,(6 ) 6 = i9 , <9 = /2Е . Бифуркационная ситуация отсутствует, если Ej и одного знака если 2 < О, т. е. < О и , < О, то тепловое поле всюду устойчивое при (9 > 0 при > О и 2 > О неустойчивое при всех в>0. Эти результаты аналогичны линейному случаю [c.110]

Поскольку качественная картина траекторий на фазовой плоскости определяется особыми элементами (особыми траекториями), только те значения параметра Я оказываются бифуркционными, при котор(з1х появляются особые элементы, имеющие негрубую природу. В том случае, когда при бифуркационном значении параметра Я на фазовой плоскости появляется только один особый элемент. [c.49]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Комбинация усилий Nij, при которой впервые возможно выпученное состояние равновесия оболочки либо пластинки, отвечает ее бифуркационному состоянию. Сами усилия Иц носят название бифуркационных. Обычно усилия выражены через один параметр нагрузки N, так, что Nii = —pijN. Тогда задача сводится к отысканию одного бифуркационного значения параметра N. [c.325]

Каскад п-кратных увеличений периода. В двупараметрических системах встречаются столь же неустранимым образом каскады утроений, учетверений, упятерений и т. д. В этих случаях знаменатель геометрической прогрессии, определяющей последовательность бифуркационных значений параметров, — комплексное число, так что бифуркационные значения ложатся асимптотически на логарифмическую спираль (в подходящей евклидовой структуре плоскости параметров). Для утроений это число равно (4,600. ..+i8,981 Вычисления показывают, что для каскада бифуркаций с прохождением пары мультипликаторов через резонанс exp(d=2nip/q) универсальный знаменатель приблизительно равен С р, q) q . Тем самым, с ростом кратности увеличения периода события разворачиваются быстрее [57 56, 57, 58]. [c.81]

Когда параметр семейства пробегает отрезок между соседними бифуркационными значениями, отвечающими удвоению периода, один из мультипликаторов соответствующего цикла меняется от значения 1 до значения —1, выходя по дороге в комплексную область. Интересно исследовать асимптотику кривой, пробегаемой этим мультипликатором на плоскости С. В настоящее время оценен сверху радиус круга с центром О, в котором лежит дуга невещественных значений мультипликатора этот радиус убывает, как повторная геометрическая прогрессия ехр(—а2 ). [c.85]

При изолированных бифуркационных значениях параметра возможны лишь те нелокальные бифуракции, которые перечислены в теореме пункта 2.1. [c.99]

Точки накопления бифуркационных значений параметра являются их односторонними пределами и могут быть лишь следующих двух типов а) в бифуркационный момент, соответствующий точке накопления бифуракционных значений параметра, векторное поле имеет петлю сепаратрисы седла, являющуюся предельной для устойчивой или неустойчивой сепаратрисы другого седла (рис. 35) б) поле имеет цикл с мультипликатором -[-1. предельный для устойчивой и неустойчивой сепаратрис двух разных седел (рис. 32). К этим точкам накапливаются бифуркационные значения, отвечающие векторным полям, имеющим седловые связки. [c.99]

Точки накопления бифуркационных значений в семействе из ф - -(Л ) и бифуркации в окрестностях этих точек могут быть рассмотрены аналогично соответствующим бифуркациям в семействе Ф (5 ), по крайней мере, если поверхность ориентируема [169]. Однако для поверхностей, на которых система может иметь нетривиальные (т. е. отличные от положения равновесия и цикла) устойчивые по Пуассону траектории, т. е. для всех поверхностей, кроме сферы S , проективной плоскости и бутылки Клейна К , в типичном однопараметрическом семействе могут неустранимым образом встречаться векторные поля с бесконечным неблужающим множеством. Бифуркации в таких семействах совершенно не описаны, кроме бифуракций систем с глобальной секущей на двумерном торе (см. следующий пункт). Однако известно, что существуют типичные однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от S , Р , К , которые содержат негрубые векторные поля бесконечной степени негрубости (С. X. Арансон, Функц. анализ и его прил., 1986, 20, № 1, 62—63). Для систем на справедлив следующий результат. [c.103]

Определение. Значениее = Е называется внутренним бифуркационным значением, если Л е —аттрактор. В противном случае оно называется кризисным бифуркационным значением. Соответствующие бифуркации называются внутренней бифуркацией и кризисом семейства аттракторов. [c.160]

Бифуркации двумерного тора. Предположим, что поток /с , скажем, при 0 8<е, является системой Морса—Смейла и имеет притягивающий инвариантный двумерный тор Те. Предположим, что при 0 8<е на торе существует глобальная секущая. В этом случае число вращения рационально, на Те имеется четное число предельных циклов, половина из которых устойчивы, половина — неустойчивы (седловые по отношению ко всему фазовому пространству), и Т образован замыканием неустойчивых многообразий этих седловых циклов. Предположим также, что е -бифуркационное значение параметра, и при 8 = 8 осуществляется бифуркация коразмерности 1—одна из рассмотренных выше. Следовательно, это либо бифуркация одного из предельных циклов, лежащих при е<е на Т , либо бифуркация, связанная с образованием гомо- и гетероклиниче-ской траектории на неустойчивом многообразии одного из седловых циклов. [c.161]

В прикладном отношении наиб, важны нелинейные эффекты в активных Н. с., в к-рых энергия колебаний может пополняться вследствие неустойчивостей, обусловленных неравновесностью системы. К таким Н. с, относятся прежде всего генераторы колебаний — от лампового до квантовых (мазеров и лазеров), часы — от ходиков до кварцевых и т. п., в к-рых устанавливаются устойчивые незатухающие колебания с периодом и амплитудой, в широких пределах не зависящими от нач. условий,— автоколебания. Простейший генератор автоколебаний — автогенератор на ламповом триоде, в к-ром потери энергии в колебат. контуре компенсируются пополнением её за счёт непериодич. источника (батареи). Поступление энергии в контур в нужной фазе колебаний осуществляется при помощи обратной связи на управляющий электрод лампы. При перестройке параметров Н. с. могут происходить качественные изменения её поведения — бифуркации. Например, колебания в ламповом генераторе возникают при величине обратной связи, большей нек-рого бифуркационного значения. [c.314]

Задание Aq, Л, удовлетворяющих бифуркационным условиям, означает, согласно (3.24), выбор F, Re. Тогда бифуркационное значение 5,( (,) подсчитывается по формуле (3,25). Бифуркационные изменения в системе могут происходить как при положительных, так и при отрицательных значениях q q > О, Л, > О либо С() 4- 2 < О, Л, < 0 каждому из этих двух случаев соответствует одно положительное и одно отрицательное значение Лд. Oi-сюда следуют выводы 1) -q > О, т. е. бифуркационные значения плотностей жидкости в областях G,, G.. превышают соответствующие плотности основного течення 2) взаимная ориентация поперечных (вдоль OY) скоростей основного потока, т. е, знаки и, и и , не влияет на возникновение бифуркационной ситуации 3) согласно оценкам величин Лц, существует нижняя граница значений числа Re > О, при которых может наступить бифуркащ1я 4) бифуркационное значение массовой силы может быть как положительным, так и отрицательным 5) если наряду с и q параметры основного течения в области G, заданы, то после подсчета 5,( о) получим из формулы S, = 1-с,-ь 2аг(П ,-П )р бифуркационное значение комплекса а(П , -П ), входящего в условие (3,17), (3.18) функционирования у-области, В особой точке при е = s >Q возможны бифуркации двух типов 1) сложное состояние равновесия седло-узел , получающееся при [c.92]

В других случаях при бифуркационном значении параметра сразу возникает предельный цикл с конечной амплитудой — окесткое зарождение предельного цикла. [c.32]

На рис. 8, б при бифуркационном значении параметра р — Pi появляется полуустойчивый предельный цикл, а при больших значениях параметра существуют два предельных цикла — неустойчивый и устойчивый. При другом бифуркационном значении параметра р = рз неустойчивый предельный цикл стягивается в особую точку, которая становится неустойчивой. Если р > Pi, то амплитуда, соответствующая устойчивому предельному циклу, тем больше, чем больше значение р. [c.32]

Значения Ф при Q = onst определяются точками пересечения линий Li(Q) и Si (Ф, Q, а (Ф, Q)), Q = onst (см. п. б таблицы). Кривая соответствует функции Si (Ф, Q, а (Ф, Q)) при Q = со, где со = V dm — собственная частота колебательной системы без учета трения. Кривая Si, 1 соответствует бифуркационному значению частоты Q = 1, при котором происходит скачкообразный переход из точки 3 в точку [c.202]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...