Бифуркация удвоения

Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движением при переходе мультипликатора через —1. Равенство л = —1 означает, что начальное возмущение через интер)зал времени То меняет знак, не меняясь по абсолютной величине еще через период То возмущение перейдет само в себя. Таким образом, при переходе ц через значение —1 в окрестности предельного цикла с периодом То возникает новый предельный цикл с периодом 2То — бифуркация удвоения периода ). На рис. 20 условно изображены две последовательные такие бифуркации на рисунках а, б сплошными линиями показаны устойчивые циклы периодов 2То, 47 о, а штриховыми — ставшие неустойчивыми предыдущие циклы. [c.170]

Если принять условно неподвижную точку отображения Пуанкаре за точку л = 0, то вблизи нее отображение, описывающее бифуркацию удвоения периода можно представить в виде разложения [c.171]

Обозначим значения параметра А., отвечающие последовательным обратным бифуркациям удвоения через Am+i, причем они расположены в последовательности Л , >Л, +1. Покажем, что эти числа удовлетворяют закону геометрической прогрессии с тем же универсальным показателем 6, что и для прямых бифуркаций. [c.181]

Мультипликатор —1 и бифуркация удвоения периода. [c.45]

Рис. 18. Бифуркация удвоения периода

Оставшиеся рисунки иллюстрируют дальнейшие возможные изменения фазового портрета. На рис. 20д показан момент образования -критического седло-узла его исчезновение приведет к рождению странного аттрактора. На рис. 20 е изображено первое простое касание неустойчивого и устойчивого многообразий точки Q. В этот момент и при дальнейшем изменении параметров, приводящем к рождению гомоклинических точек транс-версального пересечения, аттрактор в кольце является странным. На рис. 20 ж уже произошла бифуркация удвоения периода точки N и возникла устойчивая двоякопериодическая траектория (замкнутой инвариантной кривой не стало). При дальнейшем изменении параметров может реализоваться каскад [c.51]

Каскад удвоений. Последовательность бифуркаций удвоения- в однопараметрических семействах происходит следующим образом. Устойчивый первоначально цикл — аттрактор теряет устойчивость с прохождением мультипликатора через —1. В этот момент от него ответвляется, в типичном семействе систем, устойчивый цикл вдвое большего, в момент бифуркации, периода он замыкается после двух обходов теряющего устойчивость цикла (п. 1.2). При дальнейшем изменении параметра новый цикл испытывает ту же бифуркацию удвоения, затем родившийся аттрактор, с примерно четырехкратным, периодом, удваивается еще раз и т. д. Оказывается, весь этот каскад удвоений, в бесконечном количестве, происходит в типичном семействе на конечном отрезке изменения параметра. Более того, промежутки между последовательными удвоениями убывают асимптотически в геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии универсален — не зависит от рассматриваемого [c.79]

Удвоение в гамильтоновых системах. В гамильтоновых системах также встречаются каскады удвоений, но выглядят они несколько иначе. В этом случае бифуркация удвоения состоит в том, что при изменении параметра эллиптическая пери- [c.81]

Рис. 30. Три последовательные бифуркации удвоения периода в типично семействе отображений, сохраняющих площадь (гамильтонов случай)

Системы с аттракторами Фейгенбаума. Известно, что бесконечная последовательность бифуркаций удвоения периода [c.151]

Справедливо ли это хотя бы для диффеоморфизмов диска, — неизвестно. Возможно, что еще до того, как произойдет бесконечное множество бифуркаций удвоения периода, уже возникает бесконечное неблуждающее множество за счет касания многообразий седловых точек. [c.152]

Бифуркация удвоения периода и бифуркация рождения тора из цикла в мягком случае — внутренняя бифуркация, в жестком — кризис. [c.160]

Бифуркации удвоения в системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой. В кн. Методы качественной теории дифференциальных уравнений . Горький, 1980, 31—43 [c.212]

Бифуркации удвоения П риода [c.212]

Старый предельный цикл исчезая, сменяется новым, при движении по которому системе для ее возвращения в исходное состояние, требуется вдвое больше времени, чем при движении при предыдущем исходном цикле, т.е. каждый раз при переходе с одного предельного цикла на другой происходит удвоение периода [65] (бифуркация удвоения по сценарию Фейгенбаума). Это и определяет иерархию неустойчивости. При переходе к новому устойчивому циклу (или к новой структуре) ее система реагирует на предыдущее состояние. Поэтому и в неживой природе используется понятие память системы . Оно характеризует [c.33]

При рассмотрении бифуркаций неподвижных точек и периодических движений были выделены, но оставлены без внимания особые случаи типа с значениями ф = 2я/3 и ф = л/2 коразмерности 2. Рождение двумерного тора при общей бифуркации типа Л ф п бифуркация удвоения типа Л 1 (ф = я) были обнаружены в 1959 г. [259, 260]. Рассмотрение особых бифуркаций [c.117]

Таково возможное объяснение возникновения серий бифуркаций удвоения. Ни для одномерного, ни тем более для многомерного отображения описанная картина те получила полного доказательства, хотя она хорошо подтверждается численными вычислениями неподвижной точки отображения 2", возможностью приближенного определения числа а и собственного значения, большего единицы, и нескольких других, меньших единицы. Наличие и характер пересечения кривой и поверхности не выяснялся. [c.177]

В заключение на рис. 7.11 наглядно представлена вложенная структура для отображения прямой в прямую при т = 2 — бифуркация удвоения кратности неподвижной точки. На рис. 7.11 изображены графики отображения Т и Т . График отображения Т в квадрате Ох подобен графику отображения в квадрате О . Однократная неподвижная точка Ха отображения соответствует однократной точке Х1 отображения Т, но для отображения Т точка Х2 является двукратной неподвижной точкой. [c.177]

Теперь можно подвести итог. При уменьшении е происходит счетное множество бифуркаций рождения пар неподвижных точек отображений вида (2.31) и континуальное множество пар последовательностей вида (2.38). Кроме того, с одной из неподвижных точек каждой родившейся пары происходит бесконечная серия бифуркаций удвоения кратности. Нечто подобное происходит и с последовательностями вида (2.38). После завершения [c.183]

В общем случае, эволюцию системы описывают бифуркационными диаграммами, содержащими каскад бифуркаций, отвечаюший последовательности Фейгенбаума [25] при переходе через порог устойчивости период Т удваивается в последовательности 2Т, 4Т, 8Т и т.д. Такая последовательность отвечает последовательности бифуркаций удвоения периода. На рисунке 1.10 показан [c.41]

В этом параграфе основной период, т. е. период первого периодического движения, обозначаем как То (а не ft). Критические значеиня числа Рейнольдса, отвечающие последовательным бифуркациям удвоения периода, будем обозначать здесь иосредством Ri. Rj,. .., опуская индекс кр (число Ri заменяет прежнее Rhpz). [c.170]

Многократное повторение бифуркаций удвоения периода открывает один из возможных путей возникновения турбулентности. В этом сценарии число бифуркаций бесконечно, причем они следуют друг за другом (по мере увеличения R) через все убывающие интервалы последовательность критических значений Ry, R2,. .. стремится к конечному пределу, за которым периодичность исчезает вовсе и в пространстве возникает слож[1ый апериодический аттрактор, ассоциируемый в этом сценарии с возникновением турбулентности. Мы увидим, что этот сценарий обладает замечательными свойствами универсальности и масштабной инвариантности М. J. Feigenbaum, 1978) ). [c.172]

Последовательность бифуркаций удвоения периода (нумеруемых далее порядковыми номерами 1, 2,. ..) не обязательно должна начинаться с первой же бифуркации периодического движения. Она может, в принципе, начаться и после нескольких первых бифуркаций с возникно ением несоизмеримых частот, после их синхронизации за счет рассмотренного в 30 механизма. [c.172]

Преобразование (32,5) имеет неподвил<ную точку — корень уравнения х, = 1 —Хх . Эта точка становится неустойчивой при X > Л[, где Ai — значение параметра Х, для которого мультипликатор (х = —2Я,л , = —1 из двух написанных уравнений находим Л = 3/4. Это — первое критическое значение параметра Х, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант затем будут сформулированы точные утверждения. [c.173]

Таким образом, интенсивность новых спектральных компонент, появляющихся после бифуркации удвоения периода, превышает таковую для следующей бифуркации в определенное, не зависящее от номера бифуркации, число раз (М. У. Feieenbaum, 1979) ). [c.180]

Рис. 29. Три последовательных бифуркации удвоения для диффеоморфизма плоскости. Бифуркации происходят при переходе от рис. а к рис. б, от 2 к d и от d к е. На рис. виг показаны перестройки неподвижных точек квадрата диффеоморфизма. На рис. г сплошными линиями показаны инвариантные кривые диффеоморфизма, а пунктирными — инвариантные кривые его квадрата на этих кривых диффеоморфизм действует как инволюция. На рис. д сплошными линиями показаны инвариантные кривые квадрата диффеоморфизма, а пунктирными—инвариантные кривые его четвертой степени. Кривые рис. е инвариантны относительно шестнадцатой степени диффеоморфизма. Неустойчивое многообразие каждой седловой неподвижной точки содержит в своем замыкании неустойчивые ыногообрагия всех седловых неподвижных точек, рождающихся при последующих бифуркациях. Нэ рис. е изображены лишь центральная и левая части множества неподвижных точек и инвариантных кривых шестнадцатой степени диффеоморфизма

Рассмотрим вначале режимы мягкого возникновения стохастич. автоколебаний. Осн. бифуркации в этом случае представлены на рис. 4. Это — рождение тора из предельного цикла при потере им устойчивости, бифуркация удвоения периода, слияние устойчивого и седлового циклов и их исчезновение, сопровождающееся возникновением странного аттрактора, сложные деформации ( гофрирование ) тора и его разру- [c.695]

ФЁДОРОВСКИЕ ГРУППЫ — то же, что пространственные группы симметрии (см. Симметрия кристаллов). ФЁЙГЕНБАУМА УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ—явление универсальности, связанное с бесконечными последовательностями бифуркаций удвоения периода устойчивых перио-дич. траекторий. Это явление было обнаружено и исследовано М. Фейгенбаумом (М. Feigenbaum) в 1978 [1—3]. Бифуркация удвоения периода происходит в том случае, когда для периодич, траектории у, зависящей от параметра ц, собственное значение А. (ц) оператора монодромии, задающего сдвиг вдоль Y на период, проходит через значение [c.276]

А.(ц,)= —1. При прохождении параметра через бифуркац. значение ii от у ответвляется новое периодич. решение У], к-рое при = совпадает с дважды пройденным у. При дальнейшем изменении ц собств. значение (ц) может также пройти через — 1 при нек-ром Цг- и-2)= — после чего от У] ответвляется периодич. траектория с периодом вдвое большим, чем период yi, и т. д. Оказывается, что в типичных ситуациях происходят бесконечные последовательности бифуркаций удвоения, причём бифуркац. значения Hi накапливаются к предельному згтачению = lim fi . [c.276]

Ф. у. удобно изучать для семейств одномерных отображений. Ъшичным примером служит / (д )= 1 — p.v , хе е [—I, 1], цб[0, 2]. При hl = 0,75 происходит первая бифуркация удвоения из неподвижной точки Xo = /j рож-даетс пара трчек, образующих цикл периода 2. Следующие бифуркац. значения Ц2= 1,25, Цз = 1,3681 и т. д. Последовательность Рои як 1,40155, а отношения [c.276]

На рис. 75 изображена бифуркационная диаграмма, характеризующая переход динамической системы от порядка к хаосу, который сопровождается бесконечной последовательностью бифуркаций удвоения периода в соответствии с законом Фейгенбаума [188]. В общем случае движение такой системы описывается одномерным точечным отображением с гладким максимумом, для которого функция последования записывается в виде [186] [c.106]

Если в работе А. С. Алексеева исследовалась конкретная система автоматического регулирования, для которой были обнаружены серии бифуркаций удвоения и явления, получившие позднее название перемежаемости, то в работах [234, 235] Н. Н. Леонова рассмотрения носят общий характер. В работе [235] (1960 г.) исследуется невзаимнооднозначное точечное отображение прямой в прямую вида [c.25]

Серии бифуркаций при касании инвариантных многообразий 5+ и 8 . Описываемые в этом разделе серии бифуркаций были обнаружены в работах [117—119, 137, 262]. Они возникают в нроцессо сближения и касания интегральных многообразий седловых равновесий или седловых периодических движений. Касания инвариантных многообразий и 8 приводят к возникновению гомоклинических структур или их изменениям как на уровне исходных инвариантных многообразий, так и новых, возникающих в гомоклинической структуре. Эти серии бифуркаций состоят в попарном рождении периодических движений разных типов, например и Г , и последующем трансформировании периодического движения Г по типу серии бифуркаций удвоения периода. В результате возникает как бы двойная серия бифуркаций рождения пар и последующих удвоений одного из движений в каждой паре. Рождение из ничего пар периодических движений, по существу, уже было описано в главе 6 в ситуациях 2, 3 и 6. Проводимое там рассмотрение следует лишь несколько нрод(1Л-жить с точки зрения происходящих в этих ситуациях бифуркаций. [c.178]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...