Бифуркация в два узла и ли два

Заметим, что область притяжения аттрактора может как менять, так и не менять свой топологический тип при его внутренней бифуркации. Например, для потока на диске при рождении устойчивого предельного цикла из фокуса она из односвязной становится двухсвязной, а при возникновении точки типа седло-узел на устойчивом предельном цикле она двухсвязна и до, и после бифуркации. [c.160]

Для обоих вариантов бифуркационное значение / = / , рис. 3.7, 3.8, соответствует экстремуму кривой F (/ ). Состояния равновесия по обе стороны точки бифуркации седло и устойчивый узел. При слиянии этих двух простых особых точек получаем сложное состояние равновесия особую точку седло-узел. [c.103]

При 0 -62= 2 о 1(-Е2 ) > О две точки покоя сливаются и, независимо от величины Рг, появляется бифуркационная ситуация, характеризующаяся особой точкой типа седло-узел. Если = О, то бифуркация имеется при [c.112]

Кинетическая картина фазового перехода представляется фазовыми портретами, показанными на рис. 2, 3, 5, 6, 8-11, и временной зависимостью пути, пройденного точкой по траектории (рис. 4). В случае перехода второго рода (рис. 2-6) фазовый портрет имеет при Se < S притягивающий узел D, отвечающий неупорядоченной фазе при Se > 5с он трансформируется в седло и появляется дополнительный узел/фокус О, соответствующий упорядоченной фазе. В отличие от этого на фазовом портрете первого рода (рис. 8-11) при 5е = 5 происходит бифуркация, в результате которой появляются седою 5, отвечающее энергетическому барьеру на зависимости V t ), и притягивающий узел/фокус О, соответствующий упорядоченной фазе при этом притягивающий узел D неупорядоченной фазы остается неизменным. С ростом управляющего параметра в интервале (5 , 5с) седло 5 стремится к узлу D, поглощая его в точке 5с, а узел/фокус О смещается в сторону возрастания величин параметра порядка и сопряженного поля. [c.43]

Если Zi2 < О, то типичным поведением является исчезновение периодического решения по сценарию бифуркации седло-узел. Если Zi2 > О, ТО периодическое движение сохраняется, но теряет устойчивость (см. [24]). [c.248]

I. Бифуркации двукратного состояния равновесия седло-узел. [c.164]

V. Бифуркации сепаратрис седло-узла. Рождение предельного цикла из сепаратрисы седло-узла. Пусть у системы (А), являющейся системой первой степени негрубости, негрубой особой траекторией является седло-узел 0(хо, уо). Тогда в силу условий Г (см. гл. 9) ни одна из сепаратрис седло-узла не может идти в седло или являться и со- и а-сепаратрисой седло-узла. [c.169]

Состояния равновесия и их бифуркации. Возможны одно или три грубых состояния равновесия. В случае одного состояния равновесия имеем фокус (узел), устойчивый, если в точке пересечения изоклин выполняется условие ф (а )> —1, и неустойчивый в противоположном случае. В случае трех состояний равновесия между фокусами (узлами) лежит седло. [c.293]

Структура разбиения фазового пространства и бифуркации при изменении параметров вдоль линии симметричных структур. Проследим за бифуркациями и изменением структуры фазового пространства вдоль линии симметричных структур L=Q. Пусть X > Хг (Хг определяется выражением (4)). Единственное состояние равновесия системы — неустойчивый фокус (узел). Бесконечность неустойчива. Вокруг фокуса существует [c.297]

Слияние особых точек — простейшая бифуркация системы (1). Другие возможные бифуркации связаны со сменой устойчивости состояния равновесия О3, с бифуркациями сепаратрис (сепаратрисы, идущие из седла в седло) и появлением предельных циклов из бесконечности, из петли сепаратрисы, из сгущения траекторий и из сепаратрисы особой точки седло-узел. Все эти бифуркации могут быть прослежены для системы (1). [c.314]

Проследим за изменением качественной структуры и бифуркациями при движении точки в пространстве параметров вдоль кривой 1 + + л — Я = 0. Точкам на этой кривой соответствует сложная особая точка, возникшая в результате слияния Оз и О4. Это будет особая точка типа седло-узел для всех точек кривой, за исключением двух точки (ц = 0, Я=1), для которой в фазовом пространстве сливаются три особые точки, и точки В (рис. 167)— вырожденного седло-узла. Качественная картина разбиения фазового пространства на траектории будет определяться наличием или отсутствием предельных циклов, охватывающих фазовый цилиндр, и расположением сепаратрис, ограничивающих узловую область особой точки седло-узел. На рис. 168 изображе- [c.314]

Как указано в 4 гл. 10, при бифуркациях такого состояния равновесия возникает петля сепаратрисы. При значениях параметров, при которых точка М лежит на нижней ветви кривой Д (см. рис. 171, а, б), нетрудно видеть, опираясь на проведенное исследование характера состояний равновесия, что эта петля окружает левое состояние равновесия — узел или фокус. При значениях же параметров, при которых точка М лежит на верхней части кривой Д — при бифуркациях точки М, появляется петля вокруг правого узла илн фокуса. Пусть параметры изменяются так, что от первого из указанных расположений [c.332]

В случае более высоких размерностей структурно устойчивые локальные бифуркации возникают, когда одно из собственных значений дифференциала диффеоморфизма равно 1 или -1, а остальные лежат вне единичной окружности. В качестве простого примера мы опишем семейство, получающееся как прямое произведение отображений (7.3.2) с линейным сжимающим отображением. Возникающие в результате бифуркации называются бифуркациями типа седло — узел. Притягивающие и отталкивающие неподвижные точки, которые возникали в одномерном примере (7.3.2), теперь являются седлом и фокусом соответственно (см. 1.2). При приближении параметра к нулю они сливаются, и для значений параметра т > О неподвижные точки отсутствуют. Таким образом, мы получаем следующую картину (см. рис. 7.3.4). [c.309]

Рассмотрим простейшие бифуркации автономных систем на фазовой плоскости, происходящие при изменении параметров системы. Простейшим бифуркациям соответствуют переходы через так называемые негрубые системы первой степени негрубости, когда появляется только одна траектория из запрещенных в грубых системах а) состояние равновесия седло-узел б) сложный фокус в) сепаратриса, идущая из седла в то же самое седло (сепаратрисная петля) или в другое седло г) двойной предельный цикл. [c.313]

Обсудим эти бифуркации подробнее. Пусть изменение состояния системы происходит в результате изменения некоторого параметра а. Бифуркационное значение параметра обозначим через о. Бифуркация первого типа изображена на рис. 15.5 а. При значении параметра а < о в системе существовало два состояния равновесия-седло и узел. При а = ао они слились, образовав сложную особую точку седло — узел. При последующем увеличении параметра а состояние равновесия исчезает. [c.313]

Ограничив Я только вещественными значениями, мы получим уже встречавшееся нам уравнение (1.13.1), описывающее соскальзывание шарика по стенке вазы с одним (Я1<0) или с двумя (Я О) ямами в разрезе. Следовательно, единственный узел, существующий при Я сО, переходит в два узла при Я О (рис. 1.13.5 и 1.13.6). Иначе говоря, происходит бифуркация из одного узла в два узла (рис. 1.14.1). Следует подчеркнуть, что (1.14.12) описывает не только новые положения равновесия, но и релаксацию [c.64]

Таким образом, в подкритической области начало координат — узел, в надкритической области — седло, следовательно, происходит перестройка фазового портрета в окрестности однородного равновесия, представленная на рис. 90. Здесь до и после бифуркации существует лишь одно равновесие, переходящее из узла в седло. [c.211]

В дальнейшем для удобства тильду мы будем опускать. Ранее из линейного анализа (4.1) было показано, что тип равновесия определяется величиной у= К (1). Если у < 1, то равновесие -неустойчивый узел (фокус), если у > 1, то узел (фокус) становится устойчивым. При переходе через и = 1 происходит смена устойчивости по типу бифуркации Андронова-Хопфа, когда собственные значения пересекают мнимую ось. В случае обшего положения при зтом из равновесия рождается предельный цикл. Однако конкретные примеры трофической функции V (лг) могут приводить к иным результатам. [c.228]

Рассмотрим теперь бифуркации, происходящие при изменении со. О сложном характере зависимости со от параметров говорилось выше. Каждому рациональному значению со соответствует некоторая область значений параметров. При переходе от одного рационального значения со к другому происходит бесчисленное множество бифуркаций. Границы области постоянного рационального значения со определяются слияниями седел и узлов синхронизма. При слиянии седла с узлом возникает сложная неподвижная точка типа седло-узел. Фрагмент изменений, происходящих со стохастическим синхронизмом при слиянии седел м узлов и образовании сложных седлоузловых точек, представлены на рис. 7.112. [c.366]

Бифуркации рождения периодич. движения. В табл. 1 приведены основные Б. рождения (если фазовые портреты просматривать слова направо) или исчезновения (если справа налево) периодич. движений. Они разбиты на 3 группы. Если говорить об исчезновении периодич. движений, то к 1-й группе (первые 2 строки) относятся такие Б., при к-рых период периодич. движения Т- ж (или частота оу- О) при ц, - 0, а амплитуда колебаний около ср. значения к нулю не стремится. В автоколебат. системах примером такой Б. является возникновение модуляции при действии периодич. силы на автогенератор. Предельный цикл — образ модулир. колебаний — при этом рождается из петли сепаратрисы седло — узел при слиянии и исчезновении двух состояний равновесия седла и узла (табл. 1, строка 1). Знание подобной Б. позволяет оиределить свойства нового режима, возникшего после перехода через критич. точку,— возникшая модуляция будет характеризоваться конечной амплитудой и близкой к нулю частотой модуляции. [c.211]

Задание Aq, Л, удовлетворяющих бифуркационным условиям, означает, согласно (3.24), выбор F, Re. Тогда бифуркационное значение 5,( (,) подсчитывается по формуле (3,25). Бифуркационные изменения в системе могут происходить как при положительных, так и при отрицательных значениях q q > О, Л, > О либо С() 4- 2 < О, Л, < 0 каждому из этих двух случаев соответствует одно положительное и одно отрицательное значение Лд. Oi-сюда следуют выводы 1) -q > О, т. е. бифуркационные значения плотностей жидкости в областях G,, G.. превышают соответствующие плотности основного течення 2) взаимная ориентация поперечных (вдоль OY) скоростей основного потока, т. е, знаки и, и и , не влияет на возникновение бифуркационной ситуации 3) согласно оценкам величин Лц, существует нижняя граница значений числа Re > О, при которых может наступить бифуркащ1я 4) бифуркационное значение массовой силы может быть как положительным, так и отрицательным 5) если наряду с и q параметры основного течения в области G, заданы, то после подсчета 5,( о) получим из формулы S, = 1-с,-ь 2аг(П ,-П )р бифуркационное значение комплекса а(П , -П ), входящего в условие (3,17), (3.18) функционирования у-области, В особой точке при е = s >Q возможны бифуркации двух типов 1) сложное состояние равновесия седло-узел , получающееся при [c.92]

Выбор Д влияет на модуль и знак к - коэффициента при старшем члене в числителе дроби (3.70) именно он определяет монотошюсть (бифуркация отсутствует) либо немонотонность (бифуркация существует) правой ветви бифуркационной кривой. При Z), = О линия (3.70) имеет одну монотонную ветвь. Если бифуркация существует, то она представляется сложной особой точкой седло - устойчивый узел. Состояния равновесия, соответствующие точкам на бифуркационной кривой (рис, 3.22) при А> А° - устойчивые узлы. Расчеты [c.119]

Из (3.4) следует, что при г<1 имеет место состояние равповесия типа О , а при г> 1 — типа т. е. соответственно устойчивый узел и седлоузел, а бифуркация происходит при переходе через границу N . [c.185]

Если произведение определителя матрицы Z — на алгебраическое дополнение к элементу этой матрицы, стоягцему на пересечении второй строки и первого столбца, положительно, то в обгцем случае в результате бифуркации касания периодическое движение исчезает ( седло-узел ). При обратном знаке этого произведения движение сохраняется, но теряет устойчивость [24. [c.249]

Бифуркация. Как правило, функции fn xi, Х2) в правой части уравнений (19.1) содержат параметры, описывающие влияние внешних условий на систему. Пусть нам известно решение (19.1) при определенном значении параметра . Найдем такое значение ео, что при малом отклонении от него (е = о + Ае) новедение системы качественно меняется. Если такое значение существует, говорят, что система (19.1) имеет точку бифуркации при е = sq, а изменение фазового портрета называют бифуркацией. В качестве простого примера найдем точку бифуркации линейной системы (19.7), полагая кц = е, ki2 = 21 = О, 22 = —с < 0. Поскольку Sp к = — с, det к = —ес, то при е < О особая точка — устойчивый узел, а для любого > О — седло. Система претерпевает бифуркацию при = 0. [c.172]

Известными методами качественной теории обнаруживается, что для всех значений параметров а>0, s>0, Я>0, 0< состояния равновесия Oi (ar sin , 0) — устойчивый узел или фокус, Ог (л — ar sin , 0)—седло. Траектории на нижнем полуцилиндре идут из бесконечности на верхний полуцилиндр. На нижнем полуцилиндре и вокруг точки Oi циклов пет (см. 6). Все бифуркации могут происходить только на верхнем полуцилиндре. [c.340]

Слияние и исчезновение особых точек — простейшая бифуркация, возможная в системе (1). Другие возможные бифуркации связаны со сменой устойчивости состояния равновесия Oi, с бифуркациями сепаратрис, идущих из седла в седло (при этом появляются илн исчезают предельные циклы) и появлением предельных циклов из сгущения траекторий, из сепаратрисы особой точкп седло-узел и из бесконечности. Все эти бифуркации могут быть прослежены для системы (1). Знание всех бифуркаций позволяет дать разбиение пространства параметров у > О, Я > О, d на области с различной структурой разбиения фазового пространства на траектории. [c.346]

Разбиение пространства параметров на области с различными качественными структурами фазового пространства. Проследим за сменой структур и бифуркациями при изменении л для фиксированного Л = Яо из интервала 1 < Л < иь При л = О качественная картина разбиения фазового пространства эквивалентна представленной на рис. 169, 1. Бесконечность устойчива. Для л из интервала О < 1 <Яо качественная картина будет эквивалентна представленной на рис. 169, 2. Бесконечность неустойчива. Из нее появился устойчивый предельный цикл. При Ц, = Яо в точке (О, 1) появляется спгатое вырожденное состояние равновесия (если [X < Ц, ) или сшитый седло-узел с устойчивой узловой областью (если [X > х ). Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 168, II—III или 168, III соответственно. При дальнейшем возрастании х сложная сшитая особая точка разделяется на две простые седло 04(94, pi) и устойчивый фокус (узел) Оз(фз, рз). Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 169,5. Обе со-сепаратрисы седла Oi идут в точку [c.436]

Здесь уместно подробнее рассмотреть перестройку, происходящую с однородным решением. До бифуркации Нт = Vm = представляет собой устойчивый узел. В момент перехода del через нуль один иэ характеристических корней меняет знак. При зтом типичная бифуркация - распад седлоузла на седло и узел. Однако в данной задаче перестройка фазового портрета происходит иначе. А именно переходя к каноническим координатам линейной заменой переменных [c.210]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...