Бифуркация от сепаратрисы седла

V. Бифуркации сепаратрис седло-узла. Рождение предельного цикла из сепаратрисы седло-узла. Пусть у системы (А), являющейся системой первой степени негрубости, негрубой особой траекторией является седло-узел 0(хо, уо). Тогда в силу условий Г (см. гл. 9) ни одна из сепаратрис седло-узла не может идти в седло или являться и со- и а-сепаратрисой седло-узла. [c.169]

На рис. 7. ПО изображены последовательные стадии перехода через общие бифуркации от обычного синхронизма к стохастическому. При переходе от рис. а к б происходит смена узла на фокус. Затем (рис. 7. ПО, в) фокус меняет устойчивость, и от него рождается устойчивый предельный цикл. Одновременно происходит сближение сепаратрис седла 5Г и 5i и соответственно 52 и So. После этого (рис. 7. ПО, г) сепаратрисы пересекаются, причем вместе с пересечением сепаратрис 5а и 52 происходит исчезновение устойчивого предельного цикла. [c.364]

Векторные поля с петлей сепаратрисы седла, имеющего нулевую седловую величину, встречаются в типичных семействах с не менее чем двумя параметрами. Бифуркации таких полей в типичных двупараметрических семействах описаны в п. 2.6. Бифуркации петли сепаратрисы в типичных многопараметрических семействах исследованы в работе [79]. [c.98]

Теорема 1 ([92]). В типичном двупараметрическом семействе векторных полей класса С , г З, встречаются только такие поля с петлей сепаратрисы седла, имеющего нулевую седловую величину, бифуркации которых в этом семействе изображены на рис. 39. [c.108]

Лукьянов В. И.. О бифуркациях динамических систем с петлей сепаратрисы седло-узла . Дифференц. уравнения, 1982, 18. вып. 9, 1493—1506 [c.213]

IV. Бифуркации сепаратрисы, идущей из седла в седло. Возможны два случая. [c.167]

Слияние особых точек — простейшая бифуркация системы (1). Другие возможные бифуркации связаны со сменой устойчивости состояния равновесия О3, с бифуркациями сепаратрис (сепаратрисы, идущие из седла в седло) и появлением предельных циклов из бесконечности, из петли сепаратрисы, из сгущения траекторий и из сепаратрисы особой точки седло-узел. Все эти бифуркации могут быть прослежены для системы (1). [c.314]

Вг) бифуркации сепаратрис седлообразных точек покоя (сшитых или несшитых), идущих из седлообразной точки покоя в такую же точку покоя или седло (сшитое или несшитое) [c.368]

Гг) бифуркации сшитых сепаратрис седло-узла (сшитого или несшитого), выходящих из седло-узла и возвращающихся в него же. [c.368]

Какая из этих возможностей реализуется, можно определить по знаку седловой величины. Так как величина + Qy в седле Ог имеет значение —2Аг > О, то из петли сепаратрисы седла может появиться или к ней стянуться только неустойчивый предельный цикл. Так как, с другой стороны, попадание точки А на кривую 51 (5г) соответствует появлению петли сепаратрисы седла Ог, то, следовательно, при возрастании реализуется вторая возможность. При возрастании А] от значения Н = — к2 последовательно осуществляются бифуркации [c.404]

Возможны бифуркации, полностью аналогичные бифуркациям седло-узла на плоскости. Если сепаратриса седло-узла или седло-фокуса-фокуса идет в него же и при i и при 1 - [c.472]

Аналогом сепаратрисы, образующей петлю , является в трехмерной системе случай, когда изолированная сепаратриса седла включается в сепаратрисную поверхность того же седла. Целый ряд основных случаев бифуркации такой сепаратрисы, [c.474]

Простейший пример нелокальной бифуркации на двумерной поверхности — появление седловой связки , когда выходящая сепаратриса одного седла пересекается при изменении параметра в некоторый момент с входящей сепаратрисой другого (и, следовательно, сливается с ней при этом значении параметра). При прохождении бифуркационного значения параметра сепаратрисы обеих седел меняются местами . Эта бифуркация встречается неустранимым образом в однопараметрических семействах векторных полей, т. е. является типичной. [c.97]

Проследим за изменением качественной структуры и бифуркациями при движении точки в пространстве параметров вдоль кривой 1 + + л — Я = 0. Точкам на этой кривой соответствует сложная особая точка, возникшая в результате слияния Оз и О4. Это будет особая точка типа седло-узел для всех точек кривой, за исключением двух точки (ц = 0, Я=1), для которой в фазовом пространстве сливаются три особые точки, и точки В (рис. 167)— вырожденного седло-узла. Качественная картина разбиения фазового пространства на траектории будет определяться наличием или отсутствием предельных циклов, охватывающих фазовый цилиндр, и расположением сепаратрис, ограничивающих узловую область особой точки седло-узел. На рис. 168 изображе- [c.314]

Hi) бифуркации сшитых сепаратрис, идущих из седла в седло (седла могут быть как сшитыми, так и несшитыми) [c.368]

Сепаратриса, идущая из седла в то же седло (образующая петлю сшитой системы) и ее бифуркации. Предположим, как и в предыдущем случае, что при неизменных линиях сшивания частные системы зависят от параметров ц,- ( = 1, 2,..., к). Пусть при значениях = 1 у рассматриваемой сшитой системы существует сшитая сепаратриса, идущая из седла О в седло О. Тогда по поводу возможных бифуркаций при изменении параметра такой сепаратрисы можно повторить все сказанное относительно аналогичной сепаратрисы аналитической системы. [c.380]

Тождественность разбиения фазового пространства для исходной и аппроксимирующей систем обуславливается здесь в первую очередь сохранением особенностей бифуркаций, связанных с сепаратрисами седел, так как седловая величина не изменилась при переходе к аппроксимирующей системе (для обеих систем в седле + Qy = А [г). [c.460]

Рассмотрим простейшие бифуркации автономных систем на фазовой плоскости, происходящие при изменении параметров системы. Простейшим бифуркациям соответствуют переходы через так называемые негрубые системы первой степени негрубости, когда появляется только одна траектория из запрещенных в грубых системах а) состояние равновесия седло-узел б) сложный фокус в) сепаратриса, идущая из седла в то же самое седло (сепаратрисная петля) или в другое седло г) двойной предельный цикл. [c.313]

Наконец, последний тип бифуркации проиллюстрирован на рис. 3.5, где показан случай рождения устойчивого предельного цикла из петли сепаратрисы седла. Пусть сепаратрисы седла при некотором значении X имеют расположение, представленное на рис. 3.5, а. Предположим, что при увеличении параметра X ветви сепаратрисы сближаются и при некотором значении Х == Яц сливаются, образуя петлю (рис. 3.5, б). Если при дальнейшем увеличе-1И1И X сепаратрисы седла вновь разделяются так, как показано на рис. 3.5, б, то из петли рождается предельный цикл. Значение А. = в этом случае является бифуркационным. [c.52]

Бифуркация от сепаратрисы седла. Перейдем к рассмотрению малого неавтономного возмущения автономной системы с сепаратрисой, идущей из седла в него же. Предварительно опишем бифуркацию, возникающую при малом автономном возмущении, изученную в работах А. А. Андронова и Е. А. Леонтович [5]. [c.369]

Пример. Изображенная на рис. 32 система имеет npw е = бо полуустойчивый предельный цикл, на который наматывается неустойчивая сепаратриса седла и с которого сматывается устойчивая сепаратриса другого седла. После исчезновения цикла, скажем, при е>8о, сепаратрисы этих седел замыкаются, когда параметр е пробегает последовательность значений ei>6o, Ei- eo. Локальная бифуркация здесь — слияние устойчивого и неустойчивого циклов в полуустойчивый при е=Ео и его исчезновение при е>ео. Она сопровождается счетным множеством полулокальных бифуркаций — замыкания сепаратрис при e=Ei. [c.88]

Бифуркации рождения периодич. движения. В табл. 1 приведены основные Б. рождения (если фазовые портреты просматривать слова направо) или исчезновения (если справа налево) периодич. движений. Они разбиты на 3 группы. Если говорить об исчезновении периодич. движений, то к 1-й группе (первые 2 строки) относятся такие Б., при к-рых период периодич. движения Т- ж (или частота оу- О) при ц, - 0, а амплитуда колебаний около ср. значения к нулю не стремится. В автоколебат. системах примером такой Б. является возникновение модуляции при действии периодич. силы на автогенератор. Предельный цикл — образ модулир. колебаний — при этом рождается из петли сепаратрисы седло — узел при слиянии и исчезновении двух состояний равновесия седла и узла (табл. 1, строка 1). Знание подобной Б. позволяет оиределить свойства нового режима, возникшего после перехода через критич. точку,— возникшая модуляция будет характеризоваться конечной амплитудой и близкой к нулю частотой модуляции. [c.211]

Сопоставим теперь расположение а- и со-сепаратрис для структур на 1>пс. 159, 9 и 159, 3. Отметим точки пересечения с а- и со-сепаратрисами на отрезке прямой х = Ж1 выше фокуса (ближайшие но ходу сепаратрис от седло-узла). Для структуры на рис. 159,9 след со-сепаратрисы на прямой х = Х1 расположен ниже следов а-сенаратрис. Для структуры на рис. 159,5, наоборо-рот — выше. При убывании Я последовательно должны осуществиться бифуркации, соответствующие совпадению на прямой X = XI следа со-сепаратрисы со следом ссгсепаратрисы (выходящей из седло-узла вверх) и со следом аз-сенаратрисы (выходящей вниз). Так как седловая величина (Рж + у)2 = Я—1 при Я > 1 положительна, то при образовании первой петли (при Я = Я ) к ней стягивается неустойчивый предельный цикл (см. гл. И) (рпс. 159, 8). При расположении следа со-сепаратрисы между следами аг и аг-сепаратрис будет существовать замкнутый контур, образованный со-сепаратрисой седло-узла (рис. 159,7). При совпадении следов со- и аг-сепаратрис при Я == Я < Я возникает петля сепаратрисы (рис. 159,6), от которой при ее разрушении с уменьшением Я рождается неустойчивый предельный цикл, охватывающий оба состояния равновесия, и возникает [c.300]

Единственно возможная последовательность бифуркаций при возрастании ц такая, при которой слияние точек Р и Рз предшествует слиянию Р, Рг и Р, Ра. Очевидно также, что если последняя из перечисленпых бифуркаций осуш ествляется, то осуш еств-ляются и остальные. Осуществимость последней бифуркации следует из того, что при достаточно больших х (когда максимум изоклины горизонтальных наклонов, равный (Я,+ 1)/ я, будет меньше максимума изоклины вертикальных наклонов, равного единице) со-сепаратриса седла будет иметь всюду отрицательный наклон, и, следовательно, точка Р будет лежать заведомо выше точки Pi. Очевидно, что в этом случае и предельные циклы, охватывающие фазовый цилиндр, не могут существовать. Осуществляется структура разбиения фазового цилиндра на траек-торип, представленная на рис. 169,8. Слиянию точек Р, Р% и Р, Pi соответствуют расположения сепаратрис, представленные на рис. 169, 5—6 и 169, 6—7. Поведение сепаратрис с точностью до четного числа предельных циклов определяет здесь качественную структуру. Значения параметра х, соответствующие разбиениям рис. 169,5—6 и рис. 169,6—7, будут бифуркационными. При изменении ц от этих бифуркационных значений в направлении возрастания или убывания векторное поле на сепаратрисах поворачивается соответственно по или против часовой стрелки, и сепаратрисы, идущие из седла в седло, разрушаются. Соответствующие грубые структуры изображены на рис. 169,5—169,7. [c.320]

Качественные картины фазового пространства п возможные бифуркации при О < < 1. Кривые к соединяют области пространства параметров, соответствуюш ие структурам, представленным на рис. 173,1 и 173,0. Прп возрастании s вдоль /с-кривых точки Pi и Рг на пересечении прямой ф = ar sin с а- и ю-сепаратрисами седла на верхнем полуцилиндре монотонно сближаются, совпадают прп некотором значении s = so k) (соответственно а = ао к)) (рис. 173, i—2) и затем монотонно расходятся. Множества точек so k), ао к), соответствующие негрубой бифуркационной структуре, для которой ос- и -сепаратрисы седла образуют петлю на верхнем полуцилиндре (Pi и Рг совпадают), образуют в пространстве параметров непрерывную кривую L. Каждая /с-кривая пересекает в одной точке кривую L. [c.337]

Слияние и исчезновение особых точек — простейшая бифуркация, возможная в системе (1). Другие возможные бифуркации связаны со сменой устойчивости состояния равновесия Oi, с бифуркациями сепаратрис, идущих из седла в седло (при этом появляются илн исчезают предельные циклы) и появлением предельных циклов из сгущения траекторий, из сепаратрисы особой точкп седло-узел и из бесконечности. Все эти бифуркации могут быть прослежены для системы (1). Знание всех бифуркаций позволяет дать разбиение пространства параметров у > О, Я > О, d на области с различной структурой разбиения фазового пространства на траектории. [c.346]

Разбиение пространства параметров на области с различными качественными структурами фазового пространства. Проследим за сменой структур и бифуркациями при изменении л для фиксированного Л = Яо из интервала 1 < Л < иь При л = О качественная картина разбиения фазового пространства эквивалентна представленной на рис. 169, 1. Бесконечность устойчива. Для л из интервала О < 1 <Яо качественная картина будет эквивалентна представленной на рис. 169, 2. Бесконечность неустойчива. Из нее появился устойчивый предельный цикл. При Ц, = Яо в точке (О, 1) появляется спгатое вырожденное состояние равновесия (если [X < Ц, ) или сшитый седло-узел с устойчивой узловой областью (если [X > х ). Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 168, II—III или 168, III соответственно. При дальнейшем возрастании х сложная сшитая особая точка разделяется на две простые седло 04(94, pi) и устойчивый фокус (узел) Оз(фз, рз). Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 169,5. Обе со-сепаратрисы седла Oi идут в точку [c.436]

При х я(Я — 1)+1 одна из со-сепаратрис седла 0 уходит в бесконечность. Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 169, 8. Между линиями Я = х и р, = я(Я—1)+1 при возрастании х осуш ествляются две бифуркации сепаратрис при некотором х = х (Яо) возникает сепаратриса, идуш ая из седла Оц в седло 0, и при [х = х (Яо)> х Ч о) возникает петля сепаратрисы вокруг цилиндра. [c.436]

Пусть со не меняется и не происходит бифуркаций слияния неподвижных точек. Тогда возможные изменения будут состоять только в изменениях неподвижных точек и расположениях сепаратрисных кривых. При этом седло-вые точки должны оставаться седловыми. А узлы могут переходить в фокусы и обратно. Фокус может сменить устойчивость, и при этом от него отделится либо обычный, либо стохастический синхронизм. При смене взаимного расположения сепаратрис может произойти возникновение стохастического синхронизма. Эта бифуркация в суженном виде будет в дальнеЙ1ием рассмотрена отдельно. Сейчас же ограничимся ее изображением на рис. 7. ПО. [c.364]

Рис. 35. Бифуркация петли сепаратрисы, предельной для еёПаратриСЫ дрУ гого седла. При е<0 показан момент возникновения седловой связки

Бифуркации могут быть не связаны с изменением характера особых точек. Например, бифуркациями являются рождение предельного цикла КЗ петли сепаратрисы (т. с. сепаратрисы выходящей и входящей в одно и то же седло) или распад цолуустойчивого Предельного цикла на устойчивый и неустойчивый. [c.40]

Исчезновение устойчивого синхронизма У происходит при перехлесте сепаратрис У" " и 8" седла В . Эта бифуркация имеет место при ц, = 1,205. После нее фазовый портрет приобретает вид, показанный на рис. 7.45. Обе бифуркации синхронизмов Л" " и Л типа 7У+1 происходят при изменении параметра от 1,39 до [c.208]

Далее изложим результаты Афраймовича, Быкова и Шильникова (1977) (рис. 2.32). При г = г1 13,92 они обнаружили бифуркацию, при которой сепаратрисы возвращаются в седло. При г > Г из петель сепаратрис рождаются седловые периодические движения +, вокруг фокусов С+, С (и одновременно появляется не являющееся аттрактором инвариантное множество линий канторовской структуры, включающее счетное множество седло-вых периодических движений сепаратрисы Г+, Г пересекаются и стремятся [c.151]

Выбор этой задачи обусловился тем, что в исходной системе возможен широкий набор бифуркаций (осуществляются все типы бифуркаций первой степени негрубости) и удалось строго установить структуру разбиения пространства параметров как для исходной системы (что до сих пор не было сделано), так и для аппроксимирующих систем. Здесь возникают различия в структуре разбиения пространства параметров и фазового пространства, позволяющие оценить влияние аппроксимаций на структуры разбиения и обнаружить, в частности, важную роль, которую играет седловая величина (см. гл. 9). Сохранение количественной близости характеристик не оказалось обязательным для сохранения качественной структуры разбиения фазового пространства и пространства параметров системы. Использование седловой величины при качественном исследовании сшитых систем опирается на возможность перенесения утверждений, касающихся условий устойчивости петли сепаратрисы (см. гл. 9) и рождения от нее предельных циклов, на неаналитические системы (см. гл. 17), содержащие петлю, в состав которой входит аналитическое седло. [c.433]

Сохранение структуры разбиения плоскости параметров в этих точках требует более жестких условий для класса характеристик, не изменяющих структуру разбиения плоскости параметров. Такой точкой, например, для рассматриваемой плоскости параметров о, V при характеристиках рис. 243, а, б будет точка А, в которой смыкаются пять областей. Пеизменность качественной структуры разбиения плоскости параметров системы (9) при характеристиках рис. 243, а, б обуславливается тем, что величина Рц, + Qy с точностью до величин порядка для фокуса и для седла имеет одинаковое значение при обеих аппроксимациях, и при изменении знака а не только появляется цикл из особой точки, но и происходит изменение характера бифуркаций для петли сепаратрисы. Это условие не будет соблюдено, еслп перейти к релейным характеристикам. [c.455]

Как уже упоминалось, бифуркации могуг заключаться в качест ном изменении расположения сепаратрис седел. Укажем здесь одну та возможность - разделение сепаратрисы без рождения предельного ци когда значению (Х = а(, соответствует консервативная система. Имен при а<а сепаратрисы Х и X" седла О расположены так, как пока но на рис. 3.11. С ростом параметра а ветви Ь к "сближаются, а а=ад они сливаются, образуя петлю Ь, причем все траектории в петли замкнуты. При дальнейшем возрастании параметра а петля расщепляется на две сепаратрисы и но они расположены уже так, как Х и Ь" При этом ни при а>ад, ни при а<ар предельн цикл не рождается. [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...